专题01 一次方程（组）及其应用（知识串讲+9大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）等式的性质
（1）性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b±c .
（2）性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.即若a＝b，则ac＝bc，(c≠0)．
（3）性质3：（对称性）若a=b,则b=a.
（4）性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c.
（二）方程的概念
（1）方程：含有未知数的等式叫做方程：使方程左右两边值相等的未知数的值叫做方程的解，方程的解也叫它的根：求方程解的过程叫做解方程。
（2）一元一次方程：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程：它的一般形式为ax+b=0(a≠0)．其解为x＝．
（3）二元一次方程（组）：
①二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做二元一次方程．一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．
②二元一次方程组：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
③二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程
的一个解，一个二元一次方程有无数多个解．
④二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（三）解一元一次方程
（1）一般步骤：①去分母：②去括号：③移项：④合并同类项：⑤系数化为1．
（2）理论根据和注意点
①去分母→根据等式性质2→注意点：勿漏乘不含分母的项，分子是两项以上的代数式须加上括号；
②去括号→根据去括号法则（分配律）→注意点：一是勿漏乘括号内每一项；二是括号前是“－”，括号内各项都要变号；
③移项→根据移项法则（等式性质1）→注意点：一是移项要变号，二是勿漏项；
④合并同类项→根据合并同类项法则→注意点：系数相加，字母及它的指数不变
（四）解二元一次方程组
解二元一次方程组的基本思想是消元，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有代入消元法和加减消元法．
（五）一次方程（组）的应用
步骤：设（未知数）→列（方程）→解（方程）→答（作答）
关键点：确认等量关系；常见的等量关系：
①行程问题基本等量关系：
路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。
顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速）
②工程问题：
工作总量=工作时间×工作效率。
③配套问题：
实际生产比＝配套比。
④商品销售问题：
利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100%
总利润＝单利润×数量
现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分）
现数量＝原数量－（原数量＋）
⑤数字问题：一个十位数可表示为：10×十位上的数字＋个位上的数字；一个百位数可表示为：100×百位上的数字＋10×十位上的数字＋个位上的数字。以此类推。
⑥平均增长率（下降率）问题：计算公式：原数×（1＋增长率）＝总数，
原数×（1－下降率）＝总数。
考点一遍过
考点1：方程的解
典例1：（22·23上·红河·期末）小刚同学在做作业时，不小心将方程3x−3−■=x+1中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x=7，请问这个被涂黑的常数■是（ ）
A．6B．5C．4D．1
【变式1】（22·23上·泰安·期末）若关于x的一元一次方程12023x+5=3x−7的解为x=−3，则关于y的一元一次方程12023y+2+5=3y+2−7的解为（ ）
A．y=−3B．y=−4C．y=−5D．y=−6
【变式2】（22·23上·盐城·期末）整式mx−n的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值：
则关于x的方程−mx+n=9的解为（ ）
A．x=−5B．x=−4C．x=−2D．x=1
【变式3】（22·23·浙江·模拟预测）一宾馆有一人间、两人间、三人间三种客房供游客租住，某旅行团共15人准备租用客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（ ）
A．6种B．5种C．4种D．3种
【变式4】（22·23下·石家庄·阶段练习）若x=2y=1和x=−2y=0都是方程ax+by=2的解，则a+b的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式5】（22·23下·嘉兴·阶段练习）下列某个方程与x−y=3组成方程组的解为x=2y=−1，则这个方程是（ ）
A．12x+2y=3B．2x−y=6yC．3x−4y=10D．2x−2y=6
考点2：等式的性质
典例2：（23·24上·长沙·期中）若a=b，m是任意有理数，则下列等式不一定成立的是（ ）
A．a+m=b+mB．a−m=b−m
C．am=bmD．am=bm
【变式1】（23·24上·哈尔滨·阶段练习）下列运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果a+5=5−b，那么a=bB．若ac=bc，则a=b
C．若2x=2a−b，则x=a−bD．若x2=6x，则x=6
【变式2】（23·24上·全国·专题练习）“△〇□”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放〇的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【变式3】（22·23上·河北·阶段练习）下列方程的变形正确的是（ ）
A．由−2x=9，得x=−29B．由13x=0，得x=3
C．由7=−2x−5，得2x=5−7D．由1+12x=−3x，得2+x=−6x
【变式4】（22·23下·沧州·期末）嘉淇利用砝码和自制天平做一个物理实验，估测物体质量，有两种不同质量的物体、，同种物体的质量都相等，下面两个天平中右边都比左边低，天平中砝码的质量如图所示，的质量可能为（ ）

A．25gB．21gC．20gD．19g
【变式5】（22·23下·长春·阶段练习）下列变形正确的是（ ）
A．由4x−5=3x+2得4x−3x=−2+5
B．由23x−1=12x+3得4x−1=3x+3
C．由3x−1=2x+3得3x−1=2x+6
D．由−2x=−3得x=32
考点3：解一元一次方程
典例3：（23·24上·广州·期中）解方程
(1)2x+3=5x
(2)5x−2=3x+2
【变式1】（23·24上·广州·期中）解方程：
(1)x+5=8
(2)3x+4=5−2x
(3)82x−1−x−1=−22x−1
【变式2】（23·24上·大连·期中）解方程：
(1)x+32=3x−12；
(2)3x+7=32−2x．
【变式3】（23·24上·綦江·期中）解下列方程
(1)x−25x=−6+5
(2)4x−3=6x+5
【变式4】（23·24上·全国·专题练习）解方程：
(1)1−3x−2=4
(2)2x+13−5x−16=1
(3)x−10.3−x+20.5=1.2
(4)3x−1−7=2
【变式5】（23·24上·十堰·期中）解方程：
(1)2x−x+3=1.5−2x
(2)7x+2=5x+8
考点4：一次方程的实际应用
典例4：（23·24上·哈尔滨·阶段练习）制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，1m3木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有12m3木材，要使生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌，应用多少立方米木材来生产桌面？多少立方米木材生产桌腿？
【变式1】（23·24上·海淀·开学考试）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为130斤，求大象的体重．请将下列解答过程补充完整：

解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重和=21块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，所以
①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x斤，则可列方程为：______．
②解这个方程得，x=______．
③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量=______．个搬运工的体重
④最终可求得：大象的体重为______斤．
【变式2】（23·24上·武汉·期中）红领巾球馆计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球，己知该品牌的乒乓球拍每副定价150元，乒乓球每盒定价15元．元旦期间该品牌决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即
方案一：买一副乒乓球拍送两盒乒乓球；
方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的90%付款．
该球馆计划购买乒乓球拍10副，乒乓球x盒（x>20，x为整数）．
(1)当x=40时，若该球馆按方案一购买，需付款______元；若该球馆按方案二购买，需付款_____元；
(2)当x为何值时，分别用两种方式购买所需费用一样？
(3)若x=40，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写出购买方案，并计算出此方案所需费用；如果不能，请说明理由．
【变式3】（23·24上·沈阳·期中）已知数轴上两点A，B对应的数分别为−4，10，点P为数轴上一动点，对应的数为x．
(1)若点P到点A，点B的距离相等，请求出x的值；
(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为20?若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
(3)一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，2秒后，另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，追上小球甲后立即以原来的速度向相反的方向运动，设点A的运动的时间为t秒．请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时t的值．
【变式4】（22-23下·浦东新·期末）六年级（1）班、（2）班各有48人，两个班都有一些同学参加课外数学小组，（1）班参加数学小组的人数恰好是（2）班没有参加数学小组人数的12，（2）班参加数学小组的人数恰好是（1）班没有参加数学小组人数的23，六年级（1）班、（2）班没有参加数学小组的各有多少人？
【变式5】（23·24上·哈尔滨·阶段练习）水是生命之源，节约用水是全社会的共同责任．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控的手段达到节水的目的，某市自来水收费的价格表如下（水费按月结算）
小亮家一月份用水256立方米，二月份用的水量比一月份用的125少2立方米．
(1)求小亮家一月份应交的水费．
(2)求小亮家二月份应交的水费．
(3)若小亮家三月份交的水费是二月份水费的2714，求小亮家三月份的用水量多少立方米．
【变式6】（23·24上·南岸·期中）如图，在数轴上点A表示的数是−4，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．

(1)点B表示的数是______；点C表示的数是______；
(2)若点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q重合，求出t的值和此时点P对应的数；
(3)在（2）的条件下，当点Q到达点A后沿原路按原速返回，点P到达点B后两个点同时停止运动．是否存在某一时刻t，使得P、Q两点间的距离恰好等于线段AB的一半，如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．
【变式7】（23·24上·沙坪坝·阶段练习）如图，将某些具有一定规律的数按照如下图的方式进行排列，得到一个数阵，用如图的一个矩形框框住其中的4个数：
(1)若方框内最右上角的数是97，则最左下角的数为________；
(2)若方框内最右上角的数用a表示，请用含a的代数式表示这4个数之和；
(3)方框内的4个数之和可能为612吗？若可能，求最右上角的数；若不可能，请说明理由．
【变式8】（22·23上·漯河·期末）某校初一（1）班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况．
(1)请补全表格．
(2)参赛者E得82分，他答对了几道题？
(3)参赛者F说他错了10个题，得50分，请你判断可能吗？并说明理由
【变式9】（23·24上·哈尔滨·阶段练习）比优特超市销售甲、乙两种商品，已知甲商品每件进价40元，售价60元；乙商品每件售价48元，利润率为60%．
(1)每件甲商品利润率为______；乙商品每件进价为______元；
(2)若超市同时购进甲、乙两种商品共52件，总进价为1790元，则购进乙种商品多少件？
(3)在“十一国庆”期间超市所有商品有优惠促销活动，方案如下：
①购买商品不超过300元，不优惠；
②购买商品超过300元，但不超过500元，按照售价九折优惠；
③购买商品超过500元时，按照售价的八折优惠；
按照以上优惠条件，若王阿姨一次性购买甲商品实际付款432元，求王阿姨此次购物购买多少件甲商品？
【变式10】（23·24上·哈尔滨·阶段练习）修一条公路，甲工程队单独承包要40天完成，乙工程队单独承包要60天完成．
(1)现在由两个工程队合作承包，几天可以完成？
(2)如果甲、乙两工程队合作12天后，因甲工程队另有任务，剩下的工作由乙工程队完成，则修好这条路共需要几天？
考点5：方程组的概念
典例5：（22·23下·周口·阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
①x+6=13y−x=2 ②x+y=154y−3x=3 ③1x+1y=3x+y=2 ④x=1y=2
A．①②B．③④C．①②④D．①②③
【变式1】（22·23下·济宁·阶段练习）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A．x+y=1xy=2B．5x−2y=31x+y=3C． 2x+y=03x−2=yD．z=5x2+y3=7
【变式2】（22·23下·廊坊·期中）若二元一次方程组4x−3y=13⊗的解为x=1y=−3，则⊗表示的方程可以是（ ）
A．x+y=4B．1x−y=4C．xy=−3D．y=−3
【变式3】（22·23下·东莞·阶段练习）在方程组2x−y=1y=3z+1，x=23y−x=1，x+y=03x−y=5，xy=1x+2y=3中，是二元一次方程组的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点6：解二元一次方程组
典例6：（23·24上·深圳·期中）解方程组：x+3y=14x−23−y−22=1
【变式1】（23·24上·长沙·开学考试）（1）计算：−12023+9−38+|1−3|
（2）解方程组：2x−y=−14x+3y=23
【变式2】（22·23下·延边·期末）计算：x−2y=32x+8y=18
【变式3】（22·23下·温州·期中）计算：选用适当的方法解下列方程组
(1)x=3y+42x−5y=6
(2)4x−y=52x+y=13
【变式4】（22·23下·成都·期末）已如方程组x+y=3a+7x−y=5a+1的解为正数．
(1)求a的取值范围；
(2)化简：a2−6a+9．
【变式5】（23·24上·济南·期中）解方程组：
(1)3x+4y=165x−8y=34；
(2)x−12+y+13=1x+y=4．
考点7：一次方程组的实际应用
典例7：（23·24上·哈尔滨·阶段练习）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天．
(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；
(2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的45；
(3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？
【变式1】（23·24上·广州·阶段练习）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书，已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
(1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
(2)为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）；购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书超过40本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
【变式2】（23·24上·沙坪坝·阶段练习）某城市自行车赛线路为从起点出发，先骑行一段缓下坡路，再骑行一段平路到达折返点，然后从折返点沿原路线返回起点（起点即终点）．假定某运动员A在平路上骑行的速度始终是25千米/小时，下坡的骑行速度始终是30千米/小时，上坡的骑行速度始终是20千米/小时，已知该运动员从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟．
(1)求比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是多少千米？
(2)某参赛运动员B骑行时，下坡的速度是上坡速度的2倍，且从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟，求该运动员B骑行时的上坡速度是多少千米/小时？
【变式3】（22·23下·沙坪坝·期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．

(1)如图1所示幻方，求x的值；
(2)如图2所示幻方，求a，b的值；
(3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整．
【变式4】（22-23下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
【变式5】（23·24上·重庆·期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人 每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多．
(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车；
(2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人．
【变式6】（23·24上·沙坪坝·阶段练习）成都大运会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款文创纪念品，已知A、B两款纪念品的进价分别为30元/个、25元/个．
(1)网店第一次用1400元购进A、B两款纪念品共50个，求A款纪念品购进的个数；
(2)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念品降价20%销售，则降价后销售A款纪念品要获得销售额800元，比按照原价销售要多卖4个才能获得同样多的销售额，求A款纪念品降价以前的售价．
【变式7】（22·23·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题：如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成．

(1)求一块长方形墙砖的长和宽；
(2)求电视背景墙的面积．
【变式8】（23·24上·福州·开学考试）我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多．”求甲、乙各有多少只羊呢？
考点8：方程组的应用——错解问题
典例8：（22·23下·郴州·阶段练习）一个星期天，小明和小文两人同解关于x、y的二元一次方程组ax+by=16①bx+ay=2②由于小明抄错了方程①，得到方程组的解为x=3y=2；小文抄错了方程②，得到方程组的解为x=−1y=2，试求a2+b2−2ab的值．
【变式1】（22-23下·江西·阶段练习）已知方程组2x+my=10 ①nx−2y=−6 ②，小聪由于看错了方程①中的系数m，得到方程组的解为x=26y=42；小明由于看错了方程②中的系数n，得到方程组的解为x=14y=−18；请你根据上述条件求原方程组的解．
【变式2】（22·23下·衡阳·阶段练习）在解方程组mx+2y=62x+ny=8时，由于粗心，小军看错了方程组中的n得解为x=73y=23，小红看错了方程组中的m，得解为x=−2y=4；
(1)小军把n看成了什么数？小红把m看成了什么数？
(2)正确的解应该是怎样的？
【变式3】（22·23下·万州·期末）甲、乙两人解同一个关于x，y的方程组ax+5y=15①4x−by=−2②，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=−3y=−1，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=5y=4．
(1)求a与b的值；
(2)求a2022−−110b2023的值．
【变式4】（22·23下·泉州·期末）甲、乙两人同解方程组ax+5y=15①4x−by=−2②甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=−3y=−1，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=5y=4，试计算a2023+−110b2023的值．
【变式5】（22·23下·全国·期末）甲、乙两位同学一起解方程组mx+ny=2px−3y=−2，甲正确地解得x=1y=−2，乙仅因抄错了题中的p，而求得x=2y=−6，求原方程组中m，n，p的值．
考点9：方程组的应用——含参问题
典例9：（23·24上·深圳·期中）阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足m﹣n=6，就称点Pm﹣1，3n+1为“燕南点”．例如：点E3，1，令m−1=33n+1=1得m=4n=0，m﹣n=4≠6 ，所以E3，1不是“燕南点”；F4，−2，令m−1=43n+1=−2得m=5n=−1，m﹣n=6，所以F4，−2是“燕南点”．
（1）点A 7,1，B 6,4是“燕南点”的是
（2）点Ma，2a﹣1是“燕南点”，请判断点M在第几象限？并说明理由；
（3）若以关于x，y的方程组x+y=22x−y=t的解为坐标的点Cx，y是“燕南点”，求t的值．
【变式1】（22·23下·盐城·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组2x+y=4mx+2y=1+2m（实数m是常数）
(1)若x+y=1，求实数m的值
(2)若−5≤x−y≤2，求实数m的取值范围．
(3)在（2）的条件下，化简m+2+2m−3．
【变式2】（12·13下·扬州·期末）已知方程组x−y=1+3ax+y=−7−a中x为非正数，y为负数．
(1)求a的取值范围；
(2)在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax+x>2a+1的解集为x