专题01 一次方程（组）及其应用（分层训练）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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【基础训练】
一、单选题
1．（22-23下·济宁·期末）我们把ac bd称作二阶行列式，规定它的运算法则为ac bd＝ad﹣bc，如果有21 3−xx＝3，那么x的值为（ ）
A．3B．2C．﹣2D．0
【答案】B
【分析】根据题意可得关于x的一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意，得：
2x−3−x=3
2x+x=3+3，
3x=6，
x=2．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握二阶行列式的定义是解答本题的关键．
2．（22-23下·阳泉·期中）我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事．现请你欣赏下列描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里，问风速是多少？（ ）．
A．50里/分B．150里/分C．200里/分D．250里/分
【答案】A
【分析】设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，根据顺风4分钟飞跃1000里及逆风4分钟走了600里，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可．
【详解】解：设孙悟空的速度为x里/分，风速为y里/分，
依题意，得：4(x+y)=10004(x−y)=600，
解得：x=200y=50，
答：风速为50里/分．
故选：A
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．（22·23上·唐山·期末）在解方程x−13+x=3x+12时，方程两边同时乘以6，正确的是（ ）．
A．2x−1+6x=9x+1B．2x−1+6x=33x+1
C．2x−1+x=33x+1D．x−1+x=33x+1
【答案】B
【分析】方程两边同时乘以6，化简得到结果，即可作出判断．
【详解】解：解方程x−13+x=3x+12时，方程两边同时乘以6得：
2x−1+6x=33x+1．
故选：B．
【点睛】本题考查解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解．掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
4．（22-23上·大连·期中）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．3x−y=2B．x2+3x−2=0C．12x=13D．x+1x−2=0
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的定义进行一一判断即可．
【详解】解：A．3x−y=2含有两个未知数，所以不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B．x2+3x−2=0未知数的最高次数是2，所以不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C．12x=13是一元一次方程，故本选项符合题意；
D．1x 不是整式，所以不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程称为一元一次方程是解题的关键．
5．（22·23下·威海·一模）计算−6×23−□−23的结果为6，那么“□”所表示的数字是（ ）
A．13B．23C．3D．−193
【答案】C
【分析】根据题意列出等式−6×23−□−23=6，计算化简即可．
【详解】解：∵根据题意列出等式−6×23−□−23=6，
所以−4+6×□−8=6， −12+6×□=6，即□=3，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是一元一次方程等知识内容，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
6．（22·23上·宁波·期末）《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四；问人数几何？”大意为：若干人共同出资购买某物品，若每人出八钱，则多了三钱；若每人出七钱，则少了四钱，问共有几人？设人数共有x人，则可列方程为（ ）
A．8x−3=7x+4B．8x+3=7x−4C．8x+4=7x−3D．8x−4=7x+3
【答案】A
【分析】根据该物品的价格不变即可得出关于x的一元一次方程．
【详解】解：设共有x人，
根据题意得：8x−3=7x+4，
故选：A．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系．
7．（22-23下·奉贤·期末）如果关于x的方程ax＝b有无数个解，那么a、b满足的条件是（ ）
A．a＝0，b＝0B．a＝0，b≠0C．a≠0，b＝0D．a≠0，b≠0
【答案】A
【分析】根据方程有无数个解的特征即可进行解答．
【详解】解：∵方程ax=b有无数个解，
∴未知数x的系数a=0，
∴b=0．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，明确方程有无数个解的条件是解题的关键．
8．（22-23下·宁波·期末）成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（ ）
A．5x+6y=14y+x=5x+yB．5y+6x=14x+y=5y+xC．5x+6y=14x+y=5y+xD．5y+6x=14y+x=5x+y
【答案】C
【分析】根据将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等可得4x+y=5y+x，再根据5只雀、6只燕重量为1斤可得5x+6y=1，由此即可得．
【详解】解：由题意，可列方程为5x+6y=14x+y=5y+x，
故选：C．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．
9．（22-23下·昆明·期中）在等式y=kx+b中，当x=2时，y=1；当x=−3时，y=11．那么这个等式为（ ）
A．y=2x−5B．y=2x+5C．y=−2x+5D．y=−2x−5
【答案】C
【分析】分别把当x=2时，y=1；当x=−3时，y=11代入等式y=kx+b中，得到关于k，b的一元二次方程组，求出k，b的值，即可得出答案．
【详解】解：分别把当x=2时，y=1；当x=−3时，y=11代入等式y=kx+b中，得{1=2k+b11=−3k+b，
解得{k=−2b=5
∴等式为y=−2x+5．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用及解法，理解题意，熟练解方程组是解题的关键．
10．（22·23上·清远·期末）若x=2是关于x的方程2x−a=−6的解，则a的值为（ ）
A．−2B．2C．−10D．10
【答案】D
【分析】把x=2代入方程2x−a=−6，即可求解a的值．
【详解】∵x=2是关于x的方程2x−a=−6的解，
∴2×2−a=−6，
解得：a=10．
故选：D
【点睛】本题考查方程的解的定义：方程的解是指使方程左右两边相等的未知数的值．理解方程的解的定义是解题的关键．
11．（22-23下·信阳·期末）某车间有22名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天可生产54个螺栓或24个螺母，若分配x人生产螺栓，剩余的工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓与螺母配套．下列方程不正确的是（ ）
A．54x2422−x=12B．2422−x54x=12
C．54x:2422−x=1:2D．2422−x=2×54x
【答案】B
【分析】先求出有22−x人生产螺母，再根据恰好使每天生产的螺栓与螺母配套、一个螺栓套两个螺母列出方程即可得．
【详解】解：由题意得：有22−x人生产螺母，
则可列方程为54x2422−x=12或54x:2422−x=1:2或2422−x=2×54x，
故选：B．
【点睛】本题考查了列分式方程、列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．
12．（22-23·璧山·一模）我国很早就开始对数学的研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》中，《九章算术》的“方程”一章中，有许多关于一次方程组的内 容，这一章的第一个问题译成现代汉语是这样的：“上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得粮食39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得粮食34斗；上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，可得粮食26斗．问上、中、下三等谷每束各可得粮食几斗？”如图1的算筹代表了古代解决这个问题的方法，设每束上等谷、中等谷、下等谷各可得粮食x斗、y斗、z斗，则可列方程组为：3x+2y+z=39,2x+3y+z=34,x+2y+3z=26.类似地，图2所示的算筹我们可以表示为（ ）
A．2x+3y=23,3x+4y=37.B．2x+3y=23,3x+4y=32.C．3x+3y=23,4x+3y=37.D．11x+3y=23,3x+y=32.
【答案】A
【分析】根据题意可得，在算筹中，第一列代表x的系数，第二列代表y的系数，最后一列为式子的和，据此求解即可．
【详解】解：根据题意可得，在算筹中，第一列代表x的系数，第二列代表y的系数，最后一列为式子的和，
则图2所示的算筹我们可以表示为2x+3y=23,3x+4y=37.
故选：A
【点睛】此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理解算筹中各个符号代表的含义．
13．（22·23下·保定·期末）已知关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=21a2x+b2y=12的解是x=3y=6，则关于m和n的方程组a12m+n+b1m−n=21a22m+n+b2(m−n)=12 的解是（ ）
A．m=3n=6B．m=3n=−3C．m=2n=3D．m=2n=−3
【答案】B
【分析】根据关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=21a2x+b2y=12的解是x=3y=6列方程组即可解答．
【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=21a2x+b2y=12的解是x=3y=6，
∴2m+n=3m−n=6，
∴解得：m=3n=−3，
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，学会运用整体思想是解题的关键．
14．（22·23下·眉山·期中）某项工作，甲单独做要4天完成，乙单独做要6天完成，若甲先做1天后，然后甲、乙合作完成此项工作，若设甲一共做了x天，所列方程是（ ）
A．x+14+x6=1B．x4+x+16=1
C．x4+x−16=1D．x4+14+x6=1
【答案】C
【分析】首先要理解题意找出题中存在的等量关系：甲完成的工作量+乙完成的工作量=总的工作量，根据题意我们可以设总的工作量为单位“1”，根据效率×时间=工作量，分别用式子表示甲乙的工作量即可列出方程．
【详解】解：设甲一共做了x天，则乙一共做了x−1天，
设总的工作量为1，则甲的工作效率为14，乙的工作效率为16，
由题意得，x4+x−16=1，
故选：C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键在于理解题意，列出方程．
15．（22-23下·廊坊·阶段练习）某工程队承包了对新修建的足球场及外围跑道进行草坪和地胶的铺设工作．已知该足球场及跑道的总面积为4050平方米，工程队铺设3天的草坪面积比铺设2天的地胶面积多180平方米．若该工程铺设了10天草坪以及20天地胶后完成了此项铺设工程，设该工程队每天可铺设x平方米的草坪或铺设y平方米地胶，则可列方程组为（ ）
A．20x+10y=40503x−2y=180B．10x+20y=40503x−2y=180C．20x+10y=40502x−3y=180D．10x+20y=40502x−3y=180
【答案】B
【分析】根据足球场及跑道的总面积为4050平方米，工程队铺设3天的草坪面积比铺设2天的地胶面积多180平方米．若该工程铺设了10天草坪以及20天地胶后完成了此项铺设工程，可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，10x+20y=40503x−2y=180，
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
16．（22·23下·绍兴·三模）为迎接亚运，某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元，根据题意可列方程5000x=2×400030+x，则方程中x表示（ ）
A．篮球的数量B．篮球的单价C．足球的数量D．足球的单价
【答案】D
【分析】根据购买足球的数量是篮球的2倍和方程5000x=2×400030+x，可得5000x表示购买足球的数量，从而得到答案．
【详解】解：∵购买足球的数量是篮球的2倍，且所列方程为5000x=2×400030+x，
∴5000x表示购买足球的数量，400030+x表示购买篮球的数量，
∴x表示足球的单价．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是将方程与题目中的等量关系对应．
17．（22·23下·广安·期末）某种仪器由1个A部件和2个B部件配套构成，每名工人每天可以加工50个A部件或60个B部件，现有72名工人，应怎样安排人力，才能使每天加工的A部件和B部件配套？设安排x名工人加工A部件，安排y名工人加工B部件，则可列出方程组（ ）
A．x+y=7250x=60yB．x+y=722×50x=60y
C．x+y=7250y=60xD．x+y=7250x=2×60y
【答案】B
【分析】设安排x名工人加工A部件，安排y名工人加工B部件，根据“仪器由1个A部件和2个B部件配套构成，每名工人每天可以加工50个A部件或60个B部件，现有72名工人”，即可列出二元一次方程组．
【详解】解：设安排x名工人加工A部件，安排y名工人加工B部件，
根据题意得：x+y=722×50x=60y，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18．（22·23上·平凉·期末）一件夹克衫先按成本价提高50%标价，再将标价打8折出售，结果获利28元，如果设这件夹克衫的成本价是x元，那么根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．80%(1+50%)x=x−28B．80%(1+50%)x=x+28
C．80%(1+50%x)=x−28D．80%(1+50%x)=x+28
【答案】B
【分析】根据打折销售的题型，成本价×（1+50%）×80%=成本+利润，设成本为x元，由等量关系即可列出方程．
【详解】设成本价是x，根据题意知，
80%(1＋50%)x＝x＋30，
故选：B．
【点睛】本题考查了打折销售的问题，掌握售价=成本价+利润的等量关系式是解题的关键．
19．（22·23上·荆州·期末）如图，在2022年11月的日历表中用“”框出8，10，16，22，24五个数，它们的和为80，若将“”在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（ ）
A．40B．56C．65D．90
【答案】D
【分析】设正中间的数为x，则x为整数，再求得这5个数的和为5x，令5x的值分别为40、56、65、90，分别列方程求出x的值并进行检验，即可得到符合题意的答案．
【详解】解：设正中间的数为x，则x为整数，这5个数的和为：x+x−8+x−6+x+6+x+8=5x，
A、当5x=40时，得x=8，左上角没有数字，不符合题意；
B、当5x=56时，得x=565，不是整数，不符合题意；
C、当5x=65时，得x=13，13为第3行第一个数字，不符合题意；
D、当5x=90时，得x=18，符合题意；
∴它们的和可能是90，
故选D．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，设正中间的数为x，求得五个数的和是5x并分类讨论是解题的关键．
20．（22·23下·漳州·期中）某学校为了增强学生体质，决定让各班去购买跳绳和毽子作为活动器械．七年1班生活委员小亮去购买了跳绳和毽子共5件，已知两种活动器械的单价均为正整数且跳绳的单价比毽子的单价高．在付款时，小亮问是不是30元，但收银员却说一共45元，小亮仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了，则小亮实际购买情况是（ ）
A．1根跳绳，4个毽子B．3根跳绳，2个毽子
C．2根跳绳，3个毽子D．4根跳绳，1个毽子
【答案】D
【分析】设实际小亮去购买跳绳x根，购买毽子y件，则x+y=5，得x−yn，得m−n>0，且是正整数，依题意得nx+my=30①mx+ny=45②由①+②得m+n=15即m−n0，且是正整数，
依题意得：
nx+my=30①mx+ny=45②，
由①+②得：m+nx+y=75，
即5m+n=75，
即m+n=15，
∴m−n18×2=36，所以这个月用水量一定超过18立方米，结合（2）x>18时的代数式即可列出一元一次方程求解．
【详解】（1）根据超出部分的水费计价方式，18×2+(20-18)×2.5=41元．
故答案为41元
（2）①x≤18，应收水费2x元
②x>18，应收水费18×2+(x-18)×2.5=（2.5x-9）元
故答案为2x元，（2.5x-9）元．
（3）68.5>18×2=36，即用水量一定超过了18立方米，
根据（2）结论，可列方程2.5x-9=68.5
解得x=31立方米
所以本月用水量为31立方米．
【点睛】本意考察列代数式，用代数式求值以及一元一次方程的应用．讨论用水量x≤18和用水量x>18两种情况并结合总价=单价×数量的关系是解答本题关键．
43．（22-23下·浙江·期中）解下列方程组：
（1）s=3t−25t+s=6
（2）3x−2y=−7x5−y2=−65
【答案】（1）t=1s=1；（2）x=−1y=2
【分析】（1）方程组利用代入消元法求解即可；
（2）方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】解：（1）s=3t−2①5t+s=6②，
将①代入②得：5t+3t−2=6，
解得：t=1，代入①中，
解得：s=1，
∴方程组的解为：t=1s=1；
（2）方程组化简为3x−2y=−7①2x−5y=−12②，
①×2-②×3得：11y=22，
解得：y=2，代入中①，
解得：x=−1，
∴方程组的解为：x=−1y=2．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
44．（22-23下·泉州·期中）某商店决定购进A，B两种纪念品．购进A种纪念品7件，B种纪念品2件和购进A种纪念品5件，B种纪念品6件均需80元．
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店共有几种进货方案？
(3)已知商家出售一件A种纪念品可获利a元，出售一件B种纪念品可获利5−a元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）
【答案】(1)购进A种纪念品每件需10元、B种纪念品每件需5元；
(2)有三种方案；
(3)见解析
【分析】（1）设购进A种纪念品每件需x元、B种纪念品每件需y元，根据题意得关于x和y的二元一次方程组，解得x和y的值即可；
（2）设购进A种纪念品t件，则购进B种纪念品（100-t）件，由题意得关于t的不等式，解得t的范围，再由t为正整数，可得t的值，从而方案数可得；
（3）分别写出三种方案关于a的利润函数，根据一次函数的性质可得答案．
（1）
解：设购进A种纪念品每件需x元、B种纪念品每件需y元，
根据题意得：7x+2y=805x+6y=80，
解得：x=10y=5，
答：购进A种纪念品每件需10元、B种纪念品每件需5元；
（2）
解：设购进A种纪念品t件，则购进B种纪念品（100-t）件，
由题意得：750≤5t+500≤764，
解得50≤t≤52.8，
∵t为正整数，
∴t=50，51，52，
∴有三种方案．
第一种方案：购进A种纪念品50件，B种纪念品50件；
第二种方案：购进A种纪念品51件，B种纪念品49件；
第三种方案：购进A种纪念品52件，B种纪念品48件；
（3）
解：第一种方案商家可获利：w=50a+50（5-a）=250（元）；
第二种方案商家可获利：w=51a+49（5-a）=245+2a（元）；
第三种方案商家可获利：w=52a+48（5-a）=240+4a（元）．
当a=2.5时，三种方案获利相同；
当0≤a＜2.5时，方案一获利最多；
当2.5＜a≤5时，方案三获利最多．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组、一次函数的综合运用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
45．（22·23上·中山·期中）为预防疫情反弹，某地区开展了新一轮全员核酸检测．10月15日，人民医院派出甲、乙两支核酸检测队共26人赶赴某中学进行核酸采样，当天共采样10640人．已知甲检测队平均每人每天采样420人，乙检测队平均每人每天采样400人．
(1)求甲、乙两支检测队各有多少人？
(2)10月16日，医院继续派出甲、乙两支检测队分别前往花园小区、白云小区进行核酸采样，由于白云小区居民人数较多，医院决定从甲检测队中抽调部分人员到乙检测队，经调查发现，甲检测队每减少2人，人均每天采样量增加10人，乙检测队人均每天采样量不变．两支检测队当天共采样10720人，求从甲检测队中抽调了多少人到乙检测队？
【答案】(1)甲支检测队有12人，乙支检测队有14人
(2)从甲检测队中抽调4人到乙检测队
【分析】（1）设甲支检测队有x人，乙支检测队有y人，根据“甲、乙两支核酸检测队共26人，当天共采样10640人”可列出二元一次方程组求解即可；
（2）设从甲检测队中抽调a人到乙检测队，根据“两支检测队当天共采样10720人”列出一元一次方程求解即可．
【详解】（1）设甲支检测队有x人，乙支检测队有y人，根据题意得，
x+y=26420x+400y=10640，
整理得，x+y=26 ①21x+20y=532 ②，
把①×21−②得，y=14，
把y=14代入①解得，x+14=26
解得，x=12，
∴x=12y=14，
∴甲支检测队有12人，乙支检测队有14人；
（2）从甲检测队中抽调a人到乙检测队，
∴甲检测队的人数为（12−a）人，乙检测队的人数为（14+a）人，
∵甲检测队每减少2人，人均采样量增加10人，乙检测队人均采样量不变．
∴甲检测队人均采样量为（420+a2×10）人，
∵两支检测队当天共采样10720人，
∴12−2a420+a2×10+40014+2a=10720
整理得：a2−8a+16=0，
∴a−42=0，
∴a−4=0，
∴a1=a2=4，
∴从甲检测队中抽调4人到乙检测队．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，正确找出等量或不等量关系是解答本题的关键．
46．（22-23上·蚌埠·期中）在解方程组ax+4y＝6①3x+by＝−5②时，由于小明看错了方程①中的a，得到方程组的解为x＝1y＝2，小华看错了方程②中的b，得到方程组的解为x＝2，y＝1．
（1）求a、b的值；
（2）求方程组的正确解．
【答案】（1）a=1，b=−4；（2）x=14 ，y=2316
【分析】（1）根据方程组的解的定义，x＝1y＝2应满足方程②，x＝2，y＝1应满足方程①，将它们分别代入方程②①，就可得到关于a，b的二元一次方程组，解得a，b的值；
（2）将a，b代入原方程组，求解即可．
【详解】解：（1）将x＝1，y＝2代入②得3+2b=−5，解得：b=−4
将x＝2，y＝1代入①得2a+4=6，解得：a=1 ，
∴a=1，b=−4；
（2）方程组为：x+4y＝6①3x−4y＝﹣5②，
①+②得：x+3x=6−5 ，
4x=1 ，
解得：x=14 ，
将x=14代入①得：14+4y=6 ，
4y=234 ，
解得：y=2316 ，
∴方程组的解为x=14y=2316 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解（1）的关键，能求出a、b的值是解（2）的关键．
47．（22-23上·嘉定·期末）有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．如图是反映所挖河渠长度y(米)与挖掘时间x(时)之间的关系的部分图象．请回答下列问题：
(1)乙队开挖到30米时，用了______小时．开挖6小时时，甲队比乙队多挖了______米．
(2)甲队在0≤x≤6的时段内，y关于x的函数关系式是______．
(3)乙队在2≤x≤6的时段内，施工速度为每小时______米．
(4)如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度应为每小时______米时，才能与甲队同时完成100米的挖掘任务．
【答案】(1)2，10
(2)y=10x(0≤x≤6)
(3)5
(4)每小时12.5米
【分析】（1）看图可得结论；
（2）求出直线OC的解析式即可；
（3）根据速度等于总工作量除以工作时间即可；
（4）两队同时完成任务，可以看成代数中的追及问题．
【详解】（1）解：由图可知：乙队开挖到30米时，用了2小时，
开挖6小时时，甲队挖了60米，乙队挖了50米，
所以甲队比乙队多挖了60−50=10(米)；
故答案为：2，10；
（2）解：设直线OC的解析式为：y=kxk≠0，
把C(6，60)代入得：6k=60，解得：k=10，
∴直线OC的解析式为：y=10x，
即y与x之间的函数关系式是：y=10x(0≤x≤6)．
故答案是：y=10x(0≤x≤6)．
（3）解：施工速度为每小时50−306−2=5千米；
故答案为：5；
（4）解：设应每小时增加x千米，才能与甲队同时完成100米的挖掘任务，得
100−6010·(x+5)=100−50，
解得：x=7.5，
则x+5=12.5．
即乙队在开挖6小时后，施工速度应为每小时 12.5米，才能与甲队同时完成100米的挖掘任务．
故答案为：12.5．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握利用待定系数法求一次函数的解析式是关键．
48．（22-23上·葫芦岛·阶段练习）如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6．动点P从点A出发，每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到B点停止运动；同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿C→B→A匀速运动，到A点停止运动．设P点运动的时间为t秒（t＞0）．
(1)点P在AB上运动时，PA＝______，PB＝______，点Q在AB上运动时，BQ＝______，QA＝______（用含t的代数式表示）；
(2)求当t为何值时，AP＝BQ；
(3)当P，Q两点在运动路线上相距3个单位长度时，请直接写出t的值．
【答案】(1)t，10﹣t，2t﹣6，16﹣2t
(2)当t＝2s或t＝6s或t＝10s时，AP＝BQ
(3)当t＝133s或t＝193s时，P、Q两点在运动路线上相距的路程为3
【分析】（1）根据路程=时间×速度，结合图形可得出答案；
（2）根据等量关系AP=BQ列出方程并解答；
（3）需要分类讨论：分P、Q两点相遇前后两种情况．
【详解】（1）点P在AB上运动时，PA=t，PB=10-t，点Q在AB上运动时，BQ=2t-6，QA=16-2t.
故答案是：t，10-t，2t-6，16-2t；
（2）若Q在BC上运动，则t=6-2t，
解得t=2，
若Q在AB上运动，则t=2t-6，
解得t=6，
当点P与点B重合时，点Q与点A重合，此时AP=BQ，
t=10，
∴当t=2s或t=6s或t=10s时，AP=BQ；
（3）若P、Q两点还未相遇,则t+2t+3＝16，
解得t＝133，
若P、Q两点已经相遇，则t+2t﹣3＝16，
解得t＝193，
∴当t＝133s或t＝193s时，P、Q两点在运动路线上相距的路程为3．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键，注意：需要分类讨论，第（3）问需要注意是在运动路线上距离为3，不是PQ=3．
49．（22·23上·全国·专题练习）2018年11月日历如图所示．
(1)①小明用十字框按如图的方式框中的五个数，这五个数的和与中间数13有什么关系？
②请你用同样的方式再框五个数，五个数的和与中间数的关系是否还成立？
(2)请你把（1）中发现的规律写出来，并用学习的知识说明理由．
(3)请你用同样的方式框五个数，使这五个数的和等于115（只需画出满足条件的十字框）．
【答案】(1)①这五个数的和是中间数13的5倍；②将十字框中上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数也成立，见解析
(2)五个数的和是中间数的5倍，见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题意列式求解即可；
（2）设中间数为x，根据（1）中发现的规律求解；
（3）设中间数为a，根据题意列出方程结合5个数的关系求解即可．
【详解】（1）①6+12+13+14+20÷13=5．
故这五个数的和是中间数13的5倍；
②将十字框中上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数也成立，框数如图所示：
（2）规律：五个数的和是中间数的5倍，理由如下：
设中间数为x，则x+(x+1)+(x−1)+(x−7)+(x−7)=5x
（3）设中间数为a，依题意有
5a=115，
解得：a=23，
23−1=22,23+1=24,23−7=16,23+7=30
故中间数为23，框数略如图所示：
【点睛】此题考查了有理数的四则运算的实际应用，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练正确分析题意并列式或列方程求解．
50．（23·24上·芜湖·阶段练习）我们知道a的几何意义是：数轴上表示a的点与原点的距离，即x=x−0．这个结论可以推广为：
①a−b表示在数轴上表示数a、b的两点间的距离；
②a+b表示在数轴上表示数a、−b的两点间的距离；
根据以上结论探究：
(1)数轴上表示数x的点在1与5之间移动时，x−1+x−5的值是一个固定的值，为______．
(2)要使x−3+x+2=7，则x=______．
(3)若x−3−x+2=5，写出x的范围______．
(4)x−2020+x−2021+x−2022+x−2023+x−2024的最小值是______．
【答案】(1)4
(2)−3或4；
(3)x≤−2
(4)6
【分析】（1）根据绝对值的性质化简即可求解；
（2）分类讨论：①表示x的点在表示3的点的右侧时和②表示x的点在表示−2的点的左侧时，根据绝对值的性质化简，再解方程即可；
（3）根据题意可知当表示x的点在表示−2的点处或在表示−2的点的左侧时满足x−3−x+2=5即得出答案；
（4）原式可整理为x−2020+x−2024+x−2021+x−2023+x−2022，再根据x−2020+x−2024的最小值为4，x−2021+x−2023的最小值为2，即得出当x−2022取最小值时，原式的值最小，从而即可解答；
【详解】（1）∵数轴上表示数x的点在1与5之间移动，
∴1≤x≤5．
∴x−1≥0，x−5≤0，
∴x−1+x−5=x−1+5−x=4．
∴x−1+x−5的值是一个固定的值为4．
故答案为：4；
（2）要使x−3+x+2=7，必须使表示x的点在表示3的点的右侧或在表示−2的点的左侧．
①表示x的点在表示3的点的右侧时，x>3，
∵x−3+x+2=7，
∴x−3+x+2=7．
解得：x=4；
②表示x的点在表示−2的点的左侧时，x5，
∴t−3+2t−4=5，
解得t=163，
∴163−3=73
∴点M在折线数轴上所表示的数是73；
（3）解：①当点P在AO上，点Q在CB上时，OP=6−2t，BQ=4−t，
∵OP=BQ，
∴6−2t=4−t，
解得t=2；
②当点P在OB上时，点Q在CB上时，OP=t−3，BQ=4−t，
∵OP=BQ，
∴t−3=4−t，
解得t=3.5；
③当点P在OB上时，点Q在OB上时，OP=t−3，BQ=2t−4，
∵OP=BQ，
∴t−3=2t−4，
解得t=5；
④当点P在BC上时，点Q在OA上时，OP=5+2t−8，BQ=5+t−6.5，
∵OP=BQ，
∴5+2t−8=5+t−6.5，
解得t=9.5；
综上：当t=2或3.5，5，9.5时秒，OP=BQ．
【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
53．（23·24上·福州·开学考试）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．
(1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元？
(2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的手机共20台，请问有几种进货方案？
(3)售出一部甲种型号手机，利润率为40%，乙型号手机的售价为1280元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金m元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的值．
【答案】(1)甲型号手机的每部进价为1000元，乙型号手机的每部进价为800元
(2)四种方案：方案一：购进甲型号手机7部，购进乙型号手机13部；方案二：购进甲型号手机8部，购进乙型号手机12部；方案三：购进甲型号手机9部，购进乙型号手机11部；方案四：购进甲型号手机10部，购进乙型号手机10部．
(3)m=80
【分析】（1）先设甲型号手机每台售价为x元，乙型号手机的每部进价为y元，根据题意列出方程组，解出x及y的值；
（2）设购进甲型号手机a部，则购进乙型号手机20−a部，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围，即可得出进货方案．
（3）设总获利W元，购进甲型号手机m台，列出关系式，再求利润相同时，W与a的取值无关，据此解答即可．
【详解】（1）解：设甲型号手机的每部进价为x元，乙型号手机的每部进价为y元，
根据题意，得：2x+y=28003x+2y=4600，
解得：x=1000y=800，
答：甲型号手机的每部进价为1000元，乙型号手机的每部进价为800元；
（2）解：设购进甲型号手机a部，则购进乙型号手机20−a部，
根据题意，得： 1000a+800(20−a)≤180001000a+800(20−a)≥17400，
解得：7≤a≤10，
∵a为整数，
∴a取7或8或9或10，
则进货方案有如下四种：
方案一：购进甲型号手机7部，购进乙型号手机13部；
方案二：购进甲型号手机8部，购进乙型号手机12部；
方案三：购进甲型号手机9部，购进乙型号手机11部；
方案四：购进甲型号手机10部，购进乙型号手机10部．
（3）解：设总获利W元，购进甲型号手机a台，则：
W=1000×40%a+1280−800−m20−a
=m−80a−20m+9600；
当m=80时，W的值与a的取值无关，故（2）中的所有方案获利相同．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组与二元一次方程组的应用，能根据题意列出不等式组及利润表达式是解题的关键．
54．（23·24上·哈尔滨·期中）黑马铃薯又名“黑金刚”，它富含碘、硒等多种微量元素，特别是含有花青素、花青原素，素有“地下苹果”之称．老李今年种植了5亩A品种黑马䍅薯，10亩B品种黑马铃薯，其中A品种的平均亩产量比B品种的平均亩产量低20%，共收获两个品种黑马铃薯14000千克．
(1)求A，B两个品种黑马铃薯平均亩产量各多少千克？
(2)根据如图信息，求收购时A、B两种马铃薯每箱的收购价格分别是多少元？
(3)在（2）的条件下某蔬菜商人分两次向老李收购完这些黑马䍅薯．收购方式如下：A，B两个品种各自独立装箱，A品种每箱40千克，B品种每箱100千克，老李给出如下优惠：
第一次收购了两个品种共60箱，且收购的B品种箱数比A品种箱数多；受某些因素影响，蔬菜商人第二次收购时做出了价格调整：每箱A的收购价不变，每箱B的收购价比第一次的收购价降低16，优惠方式不变．两次收购完所有的黑马铃薯后，蔬菜商人发现第二次支付给老李的费用比第一次支付给老李费用多11400元，求蔬菜商人第一次收购A品种黑马铃薯多少箱？
【答案】(1)A品种黑马铃薯平均亩产量为800千点，B品种黑马铃薯平均亩产量为1000千克
(2)A品种每箱200元，B品种每箱300元
(3)20
【分析】（1）依题意，设B品种的亩产量为y千克，则A品种的亩产量为y1−20%，列式5y1−20%+10y=14000，解得y=1000，即可作答；
（2）依题意，设A品种每箱m元，B品种每箱n元，列出方程组2m+n=700m+2n=800，解得m=200n=300，即可作答；
（3）先算出A、B品种分别有的箱数，再设第一次收购A品种a箱，第二次收购100−a箱，则B品种第一收购为60−a箱，依题意，列式化简得25800−50a=24000+40a，解得a=20，即可作答．
【详解】（1）解：设B品种的亩产量为y千克，则A品种的亩产量为y1−20%，
根据题意得
5y1−20%+10y=14000，
解得y=1000
A品种的亩产量为1000×1−20%=800（千克）
所以A品种黑马铃薯平均亩产量为800千点，B品种黑马铃薯平均亩产量为1000千克．
（2）解：设A品种每箱m元，B品种每箱n元，
2m+n=700m+2n=800，
解得m=200n=300
所以A品种每箱200元，B品种每箱300元；
（3）解：A品种共有的箱数：800×5÷40=100（箱）
B产品共有的箱数：1000×10÷100=100（箱）
设第一次收购A品种a箱，第二次收购100−a箱，则B品种第一收购为60−a箱，
200a×0.95+30060−a×0.8=200100−a+300×1−16100−60+a⋅0.8−11400
整理得190a+14400−240a=20000−200a+25040+a⋅0.8−11400
即190a+14400−240a=24000+40a−11400
那么25800−50a=24000+40a
解得a=20
所以蔬菜商人第一次收购A品种黑马铃薯20箱．
【点睛】本题考查了一元一次方程以及二元一次方程的实际应用，难度适中，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程，对式子运算能力有一定的要求．
55．（22·23下·遂宁·阶段练习）“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某童装厂准备生产L、M两种型号的童装销往“一带一路”沿线国家和地区．现工厂有甲种布料38米，乙种布料26米．
(1)根据市场预测：若出售3套L型服装和5套M型服装共可获利300元，出售2套L型服装和3套M型服装共可获利190元．求L、M两种型号的童装每套各获利多少元？
(2)现计划用这两种布料生产这两种型号的童装50套进行市场调研．已知做一套L型号的童装需甲种布料0.5米、乙种布料1米；做一套M型号的童装需甲种布料0.9米、乙种布料0.2米． 按要求安排L、M两种型号的童装的生产套数，有哪几种方案？
【答案】(1)L、M两种型号的童装每套各获利50元，30元
(2)方案1：生产18套L型号的童装，32套M型号的童装；方案2：生产19套L型号的童装，31套M型号的童装；方案3：生产20套L型号的童装，30套M型号的童装．
【分析】（1）设L、M两种型号的童装每套各获利x元，y元，列二元一次方程组求解即可；
（2）设生产L型号的童装m件，则生产M型号的童装(50−m)件，得出关于m的一元一次不等式组，求出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各生产方案．
【详解】（1）设L、M两种型号的童装每套各获利x元，y元，由题意，得
3x+5y=3002x+3y=190，
解得：x=50y=30，
所以L、M两种型号的童装每套各获利50元，30元；
（2）设生产L型号的童装m件，则生产M型号的童装(50−m)件，
依题意得：0.5x+0.9(50−x)≤38x+0.2(50−x)≤26，
解得：352≤x≤20．
又∵m为正整数，
∴m可以取18，19，20，
∴共有3种生产方案，
方案1：生产18套L型号的童装，32套M型号的童装；
方案2：生产19套L型号的童装，31套M型号的童装；
方案3：生产20套L型号的童装，30套M型号的童装．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出二元一次方程组，（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
木杆左边挂重物个数
支点到木杆左边
挂重物处的距离
木杆右端挂重物个数
支点到木杆右端
挂重物处的距离
2
22.5cm
1
45cm
3
15cm
1
45cm
4
11.25cm
1
45cm
…
…
1
45cm
n
1
45cm
收购A或B的数量（单位：箱）
不超过30箱
超过30箱
-优惠方式
收购总价打九五折
收购总价打八折