专题03 一元二次方程及其应用（知识串讲+8大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）一元二次方程
（1）一元二次方程定义及其一般式：①整式方程②未知数只有1个③未知数最高次二次④一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
（2）方程解的应用：将解代入方程，将已知代数式跟所求代数式建立联系，整体代入（整体思想）
（二）解一元二次方程
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
（2）因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解；十字相乘法：
（3）公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2－4ac≥0）.
（4）配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．
（三）根的判别式（△）
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac.
（1）b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根．
（2）b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根．
（3）b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
（4）b2－4ac≥0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根（有解）
（四）根与系数的关系（韦达定理）
（1）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝.（结合完全平方公式的变形）
（2）使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0.
（五）一元二次方程实际应用
（1）解题步骤：①审题；②找等量关系；③设未知数；④列方程；⑤解方程；⑥检验；⑦写出答案．
（2）常考类型：①增长率问题：a（1±x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量；②利润问题：总利润=单件商品利润×销量；③几何面积（通过平移的方式整合面积）；④赛制问题：单循环（两两之间只相遇一次）与双循环（两两之间相遇两次）
⑤传染问题：公式：（a+x）n=M其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数
考点一遍过
考点1：一元二次方程——定义
典例1：（23·24上·天津·期中）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0B．(x+2)(x+3)=x2−1
C．x2−2x−1=0D．x2−2x=3
【变式1】（23·24上·白银·期中）若a是常数，下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A．a+1x2+5x−1=0B．a2−1x2−2x+3=0
C．a2+1x2+2x+1=0D．a−1x2+3x+1=0
【变式2】（23·24上·宜宾·阶段练习）若(m+2)xm2−2+5x+3=0是一元二次方程，则m的值为（ ）
A． 2 B． -2C． 1D．-1
【变式3】（23·24上·郑州·阶段练习）关于x的方程m−1x2+2x−3=0是一元二次方程，则m的取值是（ ）
A．m>23B．m≠1C．任意实数D．m≠−1
【变式4】（13·14上·苏州·阶段练习）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x2−2xy+y2=0B．x(x+3)=x2−1
C．x2−2x=3D．x+1x=0
【变式5】（23·24上·珠海·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2+2x=x2−1B．x+y=6
C．x2+2x+1=0D．1x2+1x−1=0
考点2：一元二次方程——一般式
典例2：（23·24上·武汉·期中）在一元二次方程x2−5x=2中，二次项系数为1时，常数项是（ ）
A．−5B．5C．2D．−2
【变式1】（23·24上·武汉·期中）一元二次方程−3x+5x2=6化为一般形式ax2+bx+c=0a≠0后，a，b，c的值可以是（ ）
A．a=−5，b=−3，c=6B．a=−3，b=5，c=−6
C．a=−3，b=5，c=6D．a=5，b=−3，c=−6
【变式2】（23·24上·常州·期中）一元二次方程2x2−xx−4=5的一般形式是（ ）
A．x2−4x+5=0B．x2+4x+5=0C．x2+4x−5=0D．3x2−4x+5=0
【变式3】（23·24上·新乡·阶段练习）方程x+2x−3=0化为一般形式后，常数项为（ ）
A．1B．−1C．−6D．−5
【变式4】（23·24上·葫芦岛·阶段练习）若关于x的一元二次方程xk−1+k2−1x+1=8x−k没有一次项，则k的值为（ ）
A．±1B．±3C．－1D．3
【变式5】（23·24上·岳阳·阶段练习）若一元二次方程m−2x2+3m2+15x+m2−4=0的常数项是0，则m的值为（ ）
A．2B．±2C．−2D．−10
考点3：一元二次方程——解的应用
典例3：（23·24上·佛山·期中）关于x的一元二次方程ax2+bx=6的一个根为x=2，则代数式4a+2b的值是（ ）
A．3B．6C．10D．12
【变式1】（23·24上·奉贤·期中）如果关于x的方程a−1x2−2x+a2−1=0有一个根是0，那么a的值是（ ）
A．1或−1B．1C．−1D．0
【变式2】（23·24上·泉州·期中）已知x=2是关于x的方程x2−6x+m=0的一个根，则m的值为（ ）
A．8B．−8C．16D．−16
【变式3】（23·24上·六盘水·阶段练习）已知代数式−ax2+bx的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程−ax2+bx+2=0的解是（ ）
A．x1=0,x2=1B．x1=−1,x2=2
C．x1=−2,x2=2D．x1=−1,x2=−2
【变式4】（23·24上·鞍山·阶段练习）已知实数a是一元二次方程x2−2023x+1=0的根，求代数式a2−2022a−a2+12023的值为（ ）
A．1B．−1C．2D．−2
【变式5】（23·24上·珠海·期中）已知m是关于x的一元二次方程x2−x−2=0的一个根，则2024−m2+m的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
考点4：一元二次方程——解的估算
典例4：（23·24上·太原·阶段练习）观察下面的表格，一元二次方程x2−x=1.4的一个近似解是（ ）．
A．0.11B．1.6C．1.7D．1.8
【变式1】（22·23上·潮州·期末）根据下列表格的对应值：可确定方程x2+12x−15=0的一个根x的范围是（）
A．1