专题04 二次函数及其应用（知识串讲+15大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义。
（二）二次函数的图像性质
（三）二次函数图像与系数的关系
（四）二次函数图像的平移
（1）平移步骤：
①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；（也可再一般式上进行平移）
②保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”．（左右对x，上下对y）
（五）二次函数与方程不等式的关系
（1）平移步骤：
①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；（也可再一般式上进行平移）
②保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”．（左右对x，上下对y）
（六）二次函数的对称性
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是(−b2a,4ac−b24a)
①抛物线是关于对称轴x=-b2a 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22
（七）二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-b2a时，y=4ac−b24a，
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-b2a时，y=4ac−b24a，
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
（八）二次函数的解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式
①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
②交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
③顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．
（九）二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
考点一遍过
考点1：二次函数定义
典例1：（2022下·八年级课时练习）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2
【答案】D
【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．
【详解】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定．
【变式1】（2022上·安徽·九年级校联考阶段练习）以x为自变量的函数：①y=(x+2)(x−2)；②y=(x+2)2；③y=1+2x−3x2；④y=x2−x(x−1)．是二次函数的有（ ）
A．②③B．②③④C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义进行判断．
【详解】解：①y=(x+2)(x−2)=x2−4，符合二次函数的定义，故①是二次函数；
②y=(x+2)2，符合二次函数的定义，故②是二次函数；
③y=1+2x−3x2，符合二次函数的定义，故②是二次函数；
④y=x2−xx−1=x2−x2−x=−x，不符合二次函数的定义，故④不是二次函数．
所以，是二次函数的有①②③，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．
【变式2】（2022·陕西西安·西安市大明宫中学校考三模）观察：①y=6x2；②y=−3x2+5；③y=200x2+400x；④y=x3−2x；⑤y=x2−1x+3；⑥y=x+12−x2．这六个式子中二次函数有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【详解】①y=6x2是二次函数；
②y=−3x2+5是二次函数；
③y=200x2+400x是二次函数；
④y=x3−2x不是二次函数；
⑤y=x2−1x+3不是二次函数；
⑥y=x+12−x2=2x+1不是二次函数；
这六个式子中二次函数有①②③
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的定义，即一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
【变式3】（2022上·安徽滁州·九年级校考阶段练习）函数y=m−3xm2−7+2020x−2020是关于x的二次函数，则m的值为( )
A．3B．0C．−3D．±3
【答案】C
【分析】由二次函数的定义可知m2−7=2且m−3≠0然后可求得m的取值．
【详解】∵函数y=m−3xm2−7+2020x−2020是关于x的二次函数，
∴m2−7=2且m−3≠0，
解得m=−3，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的概念，掌握二次函数的概念是解题的关键．
考点2：二次函数y=a（x-h）²+k的图像性质
典例2：（2022·浙江宁波·统考中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A．m>2B．m>32C．m0，x=−b2a>0，得b0，b>0，故本选项不符合题意；
B．由抛物线可知，a>0，x=−b2a>0，得b0，b0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项不符合题意；
D．由抛物线可知，a0，得b>0，由直线可知，a>0，b0，
∴二次函数的开口方向向上，
∴排除C选项.
∵一次函数y=−mx+1，
∴b=1>0，
∵一次函数经过y轴正半轴，
∴排除A选项.
当m>0时，则−m0，∴k0，∴抛物线的开口向上，交于y轴负半轴，符合题意，故此项正确；
B、由y=x2+k得：∵ 1>0，∴抛物线的开口向上，故此项错误；
C、由y=−kx+1图象得：−k0，∴ y=x2+k的图象应交于y轴正半轴，故此项错误；
D、由y=−kx+1得：图象交于y轴的0,1，故此项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键．
考点6：反比例函数与二次函数图像判断
典例6：（2022·广西·统考中考真题）已知反比例函数y=bx(b≠0)的图象如图所示，则一次函数y=cx−a(c≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由反比例函数图象得出b>0，再分当a>0，a0，
若a0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；
当a>0，则-b2a0，则二次函数y=−kx2−x的图像开口应向下，与图像不符，故选项错误；
C、由反比例函数y=kx的图像可知，k0应位于y轴的右侧，与图像不符，故选项错误；
D、由反比例函数y=kx的图像可知，k 0时和当k < 0时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可．
【详解】解：当k > 0时，反比例函数y=kxk≠0的图象经过第一、三象限，二次函数y=x2−kx−k图象的对称轴x=k2在y轴右侧，并且二次函数y=x2−kx−k的图象与y轴交于负半轴，则A选项不符合题意，C选项符合题意；
当k < 0时，反比例函数y=kxk≠0的图象经过第二、四象限，二次函数y=x2−kx−k图象的对称轴x=k2在y轴左侧，并且二次函数y=x2−kx−k的图象与y轴交于正半轴，则B、D选项均不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对k的取值进行分类讨论(当k > 0时和当k < 0时)，注意运用数形结合的思想方法，充分寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解．
考点7：二次函数与二次函数图像判断
典例7：（2023下·江苏南京·九年级南京钟英中学校考阶段练习）函数y1，y2在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数y=y1+y2的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数图像的开口大小与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【详解】解：设y1=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2，
由图像知，a1>0，b1c1，
∴c1+c2>0，
∵函数y1的图像开口大于函数y2的图像开口，
∴a10，
∴0>b2b1>a2a1>−1，
∴b2