高中数学湘教版（2019）必修 第一册第2章 一元二次函数、方程和不等式2.3 一元二次不等式学案

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册第2章 一元二次函数、方程和不等式2.3 一元二次不等式学案，共8页。
教材要点
要点 一元二次不等式
一元二次不等式的概念及形式
(1)概念：我们把只含有________未知数，并且未知数的最高次数是______的不等式，称为一元二次不等式．
(2)形式：
①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；
②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；
③ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；
④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
状元随笔 一元二次不等式的二次项系数 a有a＞0或a＜0两种，注意a≠0.当a＜0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)mx2＋5x＜0是一元二次不等式．( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，则必有a＞0.( )
(3)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.( )
2．不等式2x2－x－1＞0的解集是( )
A．{x|x＜−12或x＞1} B．{x|x＜1或x＞2}
C．{x|x＞1} D．{x|−−12＜x＜1}
3．若不等式ax2＋8ax＋21＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，那么a的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．不等式x2＋6x＋10＞0的解集为________．
题型1 不含参数的一元二次不等式的解法
例1 解不等式：(1)－3x2＋6x－2＞0；
(2)4x2－4x＋1≤0.
方法归纳
解不含参数的一元二次不等式的步骤
1．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
2．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
3．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
4．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象的草图．
5．根据图象写出不等式的解集．
记忆口诀：
设相应的二次函数的图象开口向上，并与x轴相交，则有口诀：大于取两边；小于取中间．
跟踪训练1 (1)不等式x+1x−2＜0的解集为( )
A．{x|x＜－1或x＞2} B．x−1＜x＜2
C．{x|x＜－2或x＞1} D．x−2＜x＜1
(2)不等式－x2－3x＋4＜0的解集为( )
A．{x|x＞1或x＜－4} B．{x|x＞－1或x＜－4}
C．{x|－4＜x＜1} D．{x|x＜－1或x＞4}
题型2 利用不等式解集求系数
例2 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
方法归纳
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．
(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．
(2)若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．
跟踪训练2 已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为{x|−12＜x＜13}，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
题型3 解含参数的一元二次不等式
角度1 对判别式“Δ”进行讨论
例3 解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.
角度2 对根的大小进行讨论
例4 解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R)．
角度3 对二次项系数进行讨论
例5 设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2＞0.
方法归纳
解含参数的一元二次不等式的步骤
跟踪训练3 解关于x的不等式(a－x)(x－a2)＜0，a∈R.
易错辨析 忽视二次项系数致误
例6 若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax的解集为( )
A．{x|－2＜x＜1} B．{x|x＜－2或x＞1}
C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|0＜x＜3}
解析：因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，
所以－1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＜0，
所以－ba＝－1＋2＝1，ca＝－2，即b＝－a，c＝－2a，
代入不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax整理得a(x2－3x)＞0，
因为a＜0，所以x2－3x＜0，所以0＜x＜3.故选D.
答案：D
易错警示
课堂十分钟
1．已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝( )
A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}
C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
2．关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－3＜x＜1}，则关于x的不等式cx2＋bx＋a＞0的解集为( )
A．{x|−13＜x＜1} B．{x|−1＜x＜13}
C．{x|x＜−13或x＞1} D．{x|x＜−1或x＞13}
3．已知2a＋1＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是( )
A．{x|x＜5a或x＞－a} B．{x|x＞5a或x＜－a}
C．{x|－a＜x＜5a} D．{x|5a＜x＜－a}
4．已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是________．
5. 已知函数y＝x2－(a＋b)x＋2a.
(1)若关于x的不等式y＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值；
(2)当b＝2时，解关于x的不等式y＞0.
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点
一个 2
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：原不等式化为(2x＋1)(x－1)>0，所以x1.故选A.
答案：A
3．解析：由题意可知a>0，且－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根，∴由根与系数的关系得(－7)×(－1)＝21a，解得a＝3.故选C.
答案：C
4．解析：∵Δ＝62－4×10＝－40的解集为R.
答案：R
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)不等式可化为3x2－6x＋2＜0.对应方程3x2－6x＋2＝0.因为Δ＝36－4×3×2＝12＞0，所以它有两个实数根．解得x1＝1－33，x2＝1＋33.画出二次函数y＝3x2－6x＋2的图象(如图①)，结合图象得不等式3x2－6x＋2＜0的解集是{x|1−33＜x＜1＋33}.所以不等式－3x2＋6x－2＞0的解集是{x|1－33＜x＜1＋33}.
(2)方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝12，画出二次函数y＝4x2－4x＋1的图象(如图②)，结合图象得不等式4x2－4x＋1≤0的解集是{x|x=12}.
跟踪训练1 解析：(1)因为x+1x−2