
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高中数学湘教版(2019)必修 第一册第2章 一元二次函数、方程和不等式2.3 一元二次不等式导学案
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这是一份高中数学湘教版(2019)必修 第一册第2章 一元二次函数、方程和不等式2.3 一元二次不等式导学案,共8页。
教材要点
要点一 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
状元随笔 一元二次不等式的解法:
(1)图象法:一般地,当a>0时,解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的一元二次不等式,一般可分为三步:
①确定对应方程ax2+bx+c=0的解;②画出对应函数y=ax2+bx+c的图象简图;③由图象得出不等式的解集.
对于a<0的一元二次不等式,可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解;也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式,再求解.
(2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解,当p<q时,若(x -p)(x -q)>0,则x>q或x<p;若(x -p)(x -q)<0,则p<x<q.有口诀如下“大于取两边,小于取中间\”.
要点二 分式不等式的解法
(1)fxgx≥0⇔________;
(2)fxgx>0⇔________.
基础自测
1.不等式x−2x<0的解集是( )
A.{x|x>0} B.{x|x<2}
C.{x|x>2或x<0} D.{x|02.不等式1x>1的解集为( )
A.{x|x<1} B.{x|0C.{x|x>1} D.{x|x>0}
3.关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集的条件是( )
A.a>0Δ>0 B.a>0Δ<0
C.a<0Δ>0 D.a<0Δ<0
4.若不等式x2-ax+1>0对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是________.
题型1 解分式不等式
例1 解下列不等式:
(1)1−x2x+6≥0;
(2)x−1x+2>1.
方法归纳
(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解,但要注意分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.
跟踪训练1 (1)不等式x+61−x≥0的解集为( )
A.{x|-6≤x≤1} B.{x|x≥1或x≤-6}
C.{x|-6≤x<1} D.{x|x>1或x≤-6}
(2)不等式x+1x−2≤2的解集为________.
题型2 不等式恒成问题
角度1 在R上恒成立问题
例2 一元二次不等式2kx2+kx-38<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为( )
A.{k|-3<k≤0} B.{k|-3≤k<0}
C.{k|-3≤k≤0} D.{k|-3<k<0}
角度2 在给定范围内的恒成立问题
例3 设函数y=mx2-mx-1.
(1)若对于一切实数x,y<0恒成立,求m的取值范围;
(2)对于x∈{x|1≤x≤3},y<-m+5恒成立,求m的取值范围.
方法归纳
一元二次不等式恒成立问题的常见类型及解法
(1)在R上恒成立问题.
ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔a<0Δ>0
ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立⇔ a<0∆≤0
(2)在给定区间上的恒成立问题.
方法一:①a>0时,ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时小于0.
②a<0时,ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时大于0.
方法二:分离参数,转化为函数的最值问题.
跟踪训练2 (1)设a为常数,∀x∈R,ax2+ax+1>0,则a的取值范围是( )
A.{x|0<a<4} B.{x|0≤a<4}
C.{x|a>0} D.{x|a<4}
(2)若对于任意x∈[m,m+1],都有x2+mx-1<0成立,则实数m的取值范围是________.
题型3 简单的高次不等式的解法
例4 (1)不等式x2+5x−6x−1≥0的解集为( )
A.(1,2]∪3,+∞ B.−6,1∪1,+∞
C.[-3,1)∪2,+∞ D.−6,+∞
(2)不等式x2−3x+2x−42x+3≤0的解集为( )
A.{x|-3B.{x|x<-3或1≤x≤2}
C.{x|x=4或-3D.{x|x=4或x<-3或1≤x≤2}
方法归纳
简单高次不等式a(x-b1)(x-b2)…(x-bn)>0的解法:穿线法.
注意:系数化正,右上往左下,奇穿偶不穿,单独考虑孤立点.
跟踪训练3 (1)不等式x>1x的解集是( )
A.(1,+∞)
B.(-∞,-1)∪1,+∞
C.(-1,0)∪1,+∞
D.(-∞,-1)∪0,1
(2)不等式3x−42x+1x−12<0的解集为________.
易错辨析 解分式不等式时忽略“分母不等于0”致误
例5 不等式x+1x−12≥0的解集为( )
A.{x|x≥-1} B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|x≥-1且x≠1} D.{x|x≥1或x≤-1}
解析:∵(x-1)2≥0,
∴原不等式等价于x+1≥0x−1≠0,
解得x≥-1且x≠1.故选C.
答案:C
易错警示
课堂十分钟
1.不等式x−2x+1>0的解集为( )
A.{x|x<-2或x>1} B.{x|x<-1或x>2}
C.{x|-22.已知集合A={x|xx+2≤0},集合B={x|x>0},则A∪B=( )
A.{x|x≥-2} B.{x|x>-2}
C.{x|x≥0} D.{x|x>0}
3.不等式3x−12−x≤1的解集为( )
A.{x|34≤x≤2} B.{x|34≤x<2}
C.{x|x<34或x≥2} D.{x|x≤34或x>2}
4.不等式2x2-kx-k>0对于一切实数恒成立,则k的取值范围为( )
A.(-8,0) B.(0,8)
C.(-∞,-8)∪0,+∞ D.−∞,0∪8,+∞
5.若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集为{x|-3<x<1}.
(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;
(2)ax2+bx+3>0的解集为R,求b的取值范围.
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
{x|xx2} {x|x1要点二
fx·gx≥0gx≠0 f(x)·g(x)>0
[基础自测]
1.解析:不等式x−2x<0等价于x(x-2)<0,0则不等式x−2x<0的解集是{x|0答案:D
2.解析:依题意1x>1⇒1x-1>0⇒1−xx>0⇔x(1-x)>0⇔x(x-1)<0⇔0答案:B
3.解析:要使ax2+bx+c≤0的解集是空集,则需满足a>0Δ<0.
答案:B
4.解析:因为不等式x2-ax+1>0对任意实数x恒成立,
所以Δ=a2-4<0,解得-2答案:(-2,2)
题型探究·课堂解透
例1 解析:(1)原不等式可化为x−12x+6≤0,
∴(x−1)(2x+6)≤02x+6≠0
∴−3≤x≤1x≠−3,即-3故原不等式的解集为{x|-3(2)原不等式可化为x−1x+2-1>0.
∴x−1−x+2x+2>0,∴−3x+2>0,则x<-2.
故原不等式的解集为{x|x<-2}.
跟踪训练1 解析:(1)原不等式变为:x+6x−1≤0⇔(x+6)(x-1)≤0且x-1≠0.解得-6≤x<1,故原不等式的解集为{x|-6≤x<1}.故选C.
(2)移项得x+1x−2-2≤0,即x−5x−2≥0,
此不等式等价于(x-5)(x-2)≥0且x-2≠0,
解得x<2或x≥5.
故原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}.
答案:(1)C (2){x|x<2或x≥5}
例2 解析:∵2kx2+kx-38<0为一元二次不等式,∴k≠0,
又2kx2+kx-38<0对一切实数x都成立,
则必有2k<0∆=k2−4×2k×(−38)<0
解得-3答案:D
例3 解析:(1)若m=0,显然-1<0恒成立;
若m≠0,则m<0,Δ=m2+4m<0⇒-4∴m的取值范围为{m|-4(2)y<-m+5恒成立,
即m(x2-x+1)-6<0恒成立,
∵x2-x+1=x−122+34>0,
又m(x2-x+1)-6<0,
∴m<6x2−x+1.
∵函数y=6x2−x+1=6x−122+34在1≤x≤3时的最小值为67.
∴只需m<67即可.
∴m的取值范围为{m|m<67}.
跟踪训练2 解析:(1)①当a=0时,1>0恒成立,即a=0时满足题意;
②当a≠0时,则有a>0a2−4a<0,解得0综上得a的取值范围是{x|0≤a<4}.故选B.
(2)作出二次函数y=x2+mx-1的草图,对于任意x∈{x|m≤x≤m+1},都有x2+mx-1<0,
则m2+m2−1<0,m+12+mm+1−1<0,
解得-22答案:(1)B (2){m|−22例4 解析:(1)由x2+5x−6x−1≥0,
解得x≥-6且x≠1,
所以不等式的解集为[-6,1)∪1,+∞.
(2)∵x2−3x+2x−42x+3≤0,
即x+3≠0x+3x2−3x+2x−42≤0,即x+3≠0x+3x−1x−2x−42≤0,
当x=4时不等式成立,又∵(x-4)2≥0恒成立,
不等式x+3≠0x+3x−1x−2≤0,
利用穿针引线画出y=(x+3)(x-1)(x-2)的简图如图所示:
解得此不等式的解集为{x|x<-3或1≤x≤2},
故原不等式的解集为:{x|x=4或x<-3或1≤x≤2} .
答案:(1)B (2)D
跟踪训练3 解析:(1)因为x>1x,所以x-1x=x2−1x>0,
所以x(x2-1)=x(x-1)(x+1)>0.
画出示意图如图.
所以解集为(-1,0)∪1,+∞.故选C.
(2)∵(x-1)2≥0,
所以不等式3x−42x+1x−12<0,等价于x−1≠03x−42x+1<0,即x≠1−12解得:-12所以不等式的解集为:−12,1∪1,43.
答案:(1)C (2)−12,1∪1,43
[课堂十分钟]
1.解析:因为x−2x+1>0等价于(x-2)(x+1)>0,解得x>2或x<-1,
即不等式x−2x+1>0的解集为{x|x<-1或x>2}.
答案:B
2.解析:xx+2≤0⇔xx+2≤0x+2≠0⇒-2∵A={x|-20},∴A∪B={x|x>-2}.
答案:B
3.解析:不等式3x−12−x≤1可化为4x−32−x≤0,
即(4x−3)(x−2)≥02−x≠0
解得:x≤34或x>2,
故不等式的解集为{x|x≤34或x>2}.
答案:D
4.解析:∵2x2-kx-k>0对于一切实数恒成立,
∴Δ=(-k)2-4×2×(-k)=k2+8k<0,
得-8即k∈(-8,0).
答案:A
5.解析:若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集为{x|-3则(1-a)x2-4x+6=0的根为-3,1,
∴61−a=-3×1,解得a=3,
(1)代入a=3,不等式2x2+(2-a)x-a>0为2x2-x-3>0,
解得x<-1或x>32,
即不等式2x2+(2-a)x-a>0的解集为{x|x<−1或x>32};
(2)代入a=3,不等式ax2+bx+3>0为3x2+bx+3>0,
∵3x2+bx+3>0的解集为R,
∴Δ=b2-4×3×3<0,
解得-6Δ>0
Δ=0
Δ<0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2)
有两个相等的实数根x1=x2=-b2a
没有实数根
ax2+bx+c>0(a>0)的解集
____________
{x|x≠-b2a}
R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集
____________
∅
________
易错原因
纠错心得
忽视了(x-1)2≠0,只认为(x-1)2≥0,原不等式等价于x+1≥0,解得x≥-1,错选A.
解分式不等式时要先移项再通分,不要去分母,使不等式右边化为0.且记“只要解分式不等式,分母都不为零”.
教材要点
要点一 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
状元随笔 一元二次不等式的解法:
(1)图象法:一般地,当a>0时,解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的一元二次不等式,一般可分为三步:
①确定对应方程ax2+bx+c=0的解;②画出对应函数y=ax2+bx+c的图象简图;③由图象得出不等式的解集.
对于a<0的一元二次不等式,可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解;也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式,再求解.
(2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解,当p<q时,若(x -p)(x -q)>0,则x>q或x<p;若(x -p)(x -q)<0,则p<x<q.有口诀如下“大于取两边,小于取中间\”.
要点二 分式不等式的解法
(1)fxgx≥0⇔________;
(2)fxgx>0⇔________.
基础自测
1.不等式x−2x<0的解集是( )
A.{x|x>0} B.{x|x<2}
C.{x|x>2或x<0} D.{x|0
A.{x|x<1} B.{x|0
3.关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集的条件是( )
A.a>0Δ>0 B.a>0Δ<0
C.a<0Δ>0 D.a<0Δ<0
4.若不等式x2-ax+1>0对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是________.
题型1 解分式不等式
例1 解下列不等式:
(1)1−x2x+6≥0;
(2)x−1x+2>1.
方法归纳
(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解,但要注意分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.
跟踪训练1 (1)不等式x+61−x≥0的解集为( )
A.{x|-6≤x≤1} B.{x|x≥1或x≤-6}
C.{x|-6≤x<1} D.{x|x>1或x≤-6}
(2)不等式x+1x−2≤2的解集为________.
题型2 不等式恒成问题
角度1 在R上恒成立问题
例2 一元二次不等式2kx2+kx-38<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为( )
A.{k|-3<k≤0} B.{k|-3≤k<0}
C.{k|-3≤k≤0} D.{k|-3<k<0}
角度2 在给定范围内的恒成立问题
例3 设函数y=mx2-mx-1.
(1)若对于一切实数x,y<0恒成立,求m的取值范围;
(2)对于x∈{x|1≤x≤3},y<-m+5恒成立,求m的取值范围.
方法归纳
一元二次不等式恒成立问题的常见类型及解法
(1)在R上恒成立问题.
ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔a<0Δ>0
ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立⇔ a<0∆≤0
(2)在给定区间上的恒成立问题.
方法一:①a>0时,ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时小于0.
②a<0时,ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时大于0.
方法二:分离参数,转化为函数的最值问题.
跟踪训练2 (1)设a为常数,∀x∈R,ax2+ax+1>0,则a的取值范围是( )
A.{x|0<a<4} B.{x|0≤a<4}
C.{x|a>0} D.{x|a<4}
(2)若对于任意x∈[m,m+1],都有x2+mx-1<0成立,则实数m的取值范围是________.
题型3 简单的高次不等式的解法
例4 (1)不等式x2+5x−6x−1≥0的解集为( )
A.(1,2]∪3,+∞ B.−6,1∪1,+∞
C.[-3,1)∪2,+∞ D.−6,+∞
(2)不等式x2−3x+2x−42x+3≤0的解集为( )
A.{x|-3
C.{x|x=4或-3
方法归纳
简单高次不等式a(x-b1)(x-b2)…(x-bn)>0的解法:穿线法.
注意:系数化正,右上往左下,奇穿偶不穿,单独考虑孤立点.
跟踪训练3 (1)不等式x>1x的解集是( )
A.(1,+∞)
B.(-∞,-1)∪1,+∞
C.(-1,0)∪1,+∞
D.(-∞,-1)∪0,1
(2)不等式3x−42x+1x−12<0的解集为________.
易错辨析 解分式不等式时忽略“分母不等于0”致误
例5 不等式x+1x−12≥0的解集为( )
A.{x|x≥-1} B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|x≥-1且x≠1} D.{x|x≥1或x≤-1}
解析:∵(x-1)2≥0,
∴原不等式等价于x+1≥0x−1≠0,
解得x≥-1且x≠1.故选C.
答案:C
易错警示
课堂十分钟
1.不等式x−2x+1>0的解集为( )
A.{x|x<-2或x>1} B.{x|x<-1或x>2}
C.{x|-2
A.{x|x≥-2} B.{x|x>-2}
C.{x|x≥0} D.{x|x>0}
3.不等式3x−12−x≤1的解集为( )
A.{x|34≤x≤2} B.{x|34≤x<2}
C.{x|x<34或x≥2} D.{x|x≤34或x>2}
4.不等式2x2-kx-k>0对于一切实数恒成立,则k的取值范围为( )
A.(-8,0) B.(0,8)
C.(-∞,-8)∪0,+∞ D.−∞,0∪8,+∞
5.若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集为{x|-3<x<1}.
(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;
(2)ax2+bx+3>0的解集为R,求b的取值范围.
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
{x|x
fx·gx≥0gx≠0 f(x)·g(x)>0
[基础自测]
1.解析:不等式x−2x<0等价于x(x-2)<0,0
2.解析:依题意1x>1⇒1x-1>0⇒1−xx>0⇔x(1-x)>0⇔x(x-1)<0⇔0
3.解析:要使ax2+bx+c≤0的解集是空集,则需满足a>0Δ<0.
答案:B
4.解析:因为不等式x2-ax+1>0对任意实数x恒成立,
所以Δ=a2-4<0,解得-2答案:(-2,2)
题型探究·课堂解透
例1 解析:(1)原不等式可化为x−12x+6≤0,
∴(x−1)(2x+6)≤02x+6≠0
∴−3≤x≤1x≠−3,即-3
∴x−1−x+2x+2>0,∴−3x+2>0,则x<-2.
故原不等式的解集为{x|x<-2}.
跟踪训练1 解析:(1)原不等式变为:x+6x−1≤0⇔(x+6)(x-1)≤0且x-1≠0.解得-6≤x<1,故原不等式的解集为{x|-6≤x<1}.故选C.
(2)移项得x+1x−2-2≤0,即x−5x−2≥0,
此不等式等价于(x-5)(x-2)≥0且x-2≠0,
解得x<2或x≥5.
故原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}.
答案:(1)C (2){x|x<2或x≥5}
例2 解析:∵2kx2+kx-38<0为一元二次不等式,∴k≠0,
又2kx2+kx-38<0对一切实数x都成立,
则必有2k<0∆=k2−4×2k×(−38)<0
解得-3
例3 解析:(1)若m=0,显然-1<0恒成立;
若m≠0,则m<0,Δ=m2+4m<0⇒-4
即m(x2-x+1)-6<0恒成立,
∵x2-x+1=x−122+34>0,
又m(x2-x+1)-6<0,
∴m<6x2−x+1.
∵函数y=6x2−x+1=6x−122+34在1≤x≤3时的最小值为67.
∴只需m<67即可.
∴m的取值范围为{m|m<67}.
跟踪训练2 解析:(1)①当a=0时,1>0恒成立,即a=0时满足题意;
②当a≠0时,则有a>0a2−4a<0,解得0综上得a的取值范围是{x|0≤a<4}.故选B.
(2)作出二次函数y=x2+mx-1的草图,对于任意x∈{x|m≤x≤m+1},都有x2+mx-1<0,
则m2+m2−1<0,m+12+mm+1−1<0,
解得-22
解得x≥-6且x≠1,
所以不等式的解集为[-6,1)∪1,+∞.
(2)∵x2−3x+2x−42x+3≤0,
即x+3≠0x+3x2−3x+2x−42≤0,即x+3≠0x+3x−1x−2x−42≤0,
当x=4时不等式成立,又∵(x-4)2≥0恒成立,
不等式x+3≠0x+3x−1x−2≤0,
利用穿针引线画出y=(x+3)(x-1)(x-2)的简图如图所示:
解得此不等式的解集为{x|x<-3或1≤x≤2},
故原不等式的解集为:{x|x=4或x<-3或1≤x≤2} .
答案:(1)B (2)D
跟踪训练3 解析:(1)因为x>1x,所以x-1x=x2−1x>0,
所以x(x2-1)=x(x-1)(x+1)>0.
画出示意图如图.
所以解集为(-1,0)∪1,+∞.故选C.
(2)∵(x-1)2≥0,
所以不等式3x−42x+1x−12<0,等价于x−1≠03x−42x+1<0,即x≠1−12
答案:(1)C (2)−12,1∪1,43
[课堂十分钟]
1.解析:因为x−2x+1>0等价于(x-2)(x+1)>0,解得x>2或x<-1,
即不等式x−2x+1>0的解集为{x|x<-1或x>2}.
答案:B
2.解析:xx+2≤0⇔xx+2≤0x+2≠0⇒-2
答案:B
3.解析:不等式3x−12−x≤1可化为4x−32−x≤0,
即(4x−3)(x−2)≥02−x≠0
解得:x≤34或x>2,
故不等式的解集为{x|x≤34或x>2}.
答案:D
4.解析:∵2x2-kx-k>0对于一切实数恒成立,
∴Δ=(-k)2-4×2×(-k)=k2+8k<0,
得-8
答案:A
5.解析:若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集为{x|-3
∴61−a=-3×1,解得a=3,
(1)代入a=3,不等式2x2+(2-a)x-a>0为2x2-x-3>0,
解得x<-1或x>32,
即不等式2x2+(2-a)x-a>0的解集为{x|x<−1或x>32};
(2)代入a=3,不等式ax2+bx+3>0为3x2+bx+3>0,
∵3x2+bx+3>0的解集为R,
∴Δ=b2-4×3×3<0,
解得-6Δ>0
Δ=0
Δ<0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2)
有两个相等的实数根x1=x2=-b2a
没有实数根
ax2+bx+c>0(a>0)的解集
____________
{x|x≠-b2a}
R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集
____________
∅
________
易错原因
纠错心得
忽视了(x-1)2≠0,只认为(x-1)2≥0,原不等式等价于x+1≥0,解得x≥-1,错选A.
解分式不等式时要先移项再通分,不要去分母,使不等式右边化为0.且记“只要解分式不等式,分母都不为零”.