高中数学3.1 函数学案设计

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这是一份高中数学3.1 函数学案设计，共8页。

教材要点
要点一幂函数的概念
一般来说，当x为自变量而α为非零实数时，函数________叫做(α次)幂函数．
要点二幂运算的基本不等式
对任意的正数r和两正数a>b，有arbr＝(ab)r >1，即ar＞br.
对任意的负数r和两正数a>b，有arbr＝(ab)r<1，即ar要点三实数次幂函数y＝xα(α≠0)的图象与性质
eq \a\vs4\al(状元随笔) 幂函数在区间(0，＋∞)上，当α＞0时，y＝xα是增函数；当α＜0时，y＝xα是减函数．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1).( )
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限，但可能出现在第二象限．( )
(3)当幂指数α取1，3， eq \f(1,2) 时，幂函数y＝xα是增函数．( )
(4)若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大．( )
2．在函数y＝ eq \f(1,x4) ，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
3．(多选)已知幂函数f(x)＝xα(α是常数)，下列说法错误的是( )
A．f(x)的定义域为R
B．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
C．f(x)的图象一定经过点(1，1)
D．f(x)的图象有可能经过点(1，－1)
4．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(3， eq \r(3) )，则f(9)＝________．
题型1 幂函数的概念
例1 (1)(多选)下列函数中是幂函数的是( )
A．y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) B．y＝x5
C．y＝4x2 D．y＝x
(2)已知y＝(m2＋2m－2)xm2−2＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
方法归纳
(1)幂函数的判断方法
①幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数．
②如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．
(2)求幂函数解析式的依据及常用方法
①依据．
若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．
②常用方法．
设幂函数解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.
跟踪训练1 若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为( )
A．1 B．－3 C．－1 D．3
(2)已知幂函数f(x)的图象经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,9))) ，则f(4)＝________．
题型2 幂函数的图象及应用
例2 (1)函数y＝x eq \s\up6(\f(1,3)) 的图象是( )
(2)幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“＜”连接起来结果是________．
方法归纳
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x eq \s\up6(\f(1,2)) 或y＝x3)来判断．
跟踪训练2
(1)如图，曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2， eq \f(1,2) 三个值，则相应于曲线c1，c2，c3的n值依次为( )
A．－2， eq \f(1,2) ，2 B．2， eq \f(1,2) ，－2
C．－2，2， eq \f(1,2) D．2，－2， eq \f(1,2)
(2)当α∈ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)，1，2，3)) 时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限．
题型3 幂函数的性质及其应用
角度1 比较大小
例3 把 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(－\f(1,3)) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5))) eq \s\up6(\f(1,2)) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up6(\f(1,2)) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,6))) eq \s\up12(0) 按从小到大的顺序排列：____________________________．
角度2 解不等式
例4 已知(a＋1)－1＜(3－2a)－1，求a的取值范围．
方法归纳
1．比较幂的大小的策略
比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同．若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，中间值可以是“0”或“1”．
2．利用幂函数解不等式的步骤
利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：
(1)确定可以利用的幂函数；
(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系；
(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．
跟踪训练3 (1)下列两个数的大小正确的是( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8))) eq \s\up6(\f(7,8)) < eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9))) eq \s\up6(\f(7,8)) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(－\f(2,3)) < eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6))) eq \s\up12(－\f(2,3))
C．0.20.6>0.30.6 D．9－ eq \f(7,8) > eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,9))) eq \s\up6(\f(6,7))
(2)若(3－2m) eq \s\up6(\f(1,2)) ＞(m＋1) eq \s\up6(\f(1,2)) ，则实数m的取值范围为________．
eq \a\vs4\al(易错辨析) 忽视幂函数的图象特点致误例5 若函数f(x)＝(m2＋3m＋1)·xm2+m−1是幂函数，且其图象过原点，则m＝________．
解析：因为函数f(x)＝(m2＋3m＋1)·xm2+m−1是幂函数，所以m2＋3m＋1＝1，解得m＝0或m＝－3.当m＝0时，f(x)＝x－1，其图象不过原点，应舍去；当m＝－3时，f(x)＝x5，其图象过原点．
答案：－3
易错警示
课堂十分钟
1．设α∈ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3，\f(1,2)，－1)) ，则使函数y＝xα的定义域为R且函数y＝xα为奇函数的所有α的值为( )
A．－1，3 B．－1，1
C．1，3 D．－1，1，3
2．在同一坐标系中，函数f(x)＝ax＋ eq \f(1,a) 与g(x)＝ax2的图象可能是( )
3．设a＝2－6，b＝3－4，c＝7－2，则a，b，c的大小关系为( )
A．b＜a＜c B．a＜c＜b
C．a＜b＜c D．c＜b＜a
4．已知幂函数f(x)的图象过点(4，2)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8))) ＝________．
5．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上单调递减，求f(x)的解析式．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
y＝xα
要点三
{x|x≥0} {x|x≠0} {y|y≥0} {y|y≥0} {y|y≠0} 偶函数奇函数奇函数 (－∞，0) (0，＋∞) (0，＋∞) (0，0)，(1，1) (1，1)
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：函数y＝1x4＝x－4为幂函数；函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．故选B.
答案：B
3．解析：当α＝－1时，f(x)＝x－1＝1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，因此A，B错误；当x＝1时，f(1)＝1，因此C正确，D错误．故选ABD.
答案：ABD
4．解析：设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，
∵幂函数y＝f(x)的图象过点(3，3)，
∴3＝3α，解得α＝12，
∴f(x)＝x，∴f(9)＝9＝3.
答案：3
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)A不符合幂函数的特点，C中系数不是1，BD是幂函数．
故选BD.
(2)由幂函数的定义可知
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))
解得m＝－3或1，n＝ eq \f(3,2) .
答案：(1)BD (2)见解析
跟踪训练1 解析：因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋2m－2＝1，,m>0，)) 所以m＝1.
故选A.
(2)设f(x)＝xα(α为常数)，所以 eq \f(1,9) ＝3α，α＝－2，
所以f(4)＝4－2＝ eq \f(1,16) .
答案：(1)A (2) eq \f(1,16)
例2 解析：(1)由幂函数的图象过点(0，0)和(1，1)，故排除A、D；因为y＝xα中，0<α＝ eq \f(1,3) <1，所以图象在第一象限内上凸，排除C，故选B.
(2)过原点的指数α>0，不过原点的α<0，所以n<0，当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，所以p>1，01时，指数越大，图象越高，所以m>q，综上所述n答案：(1)B (2)n跟踪训练2 解析：(1)对于函数y＝x－2，y＝x2，y＝x eq \s\up6(\f(1,2)) ，令x＝4，得到的函数值依次为 eq \f(1,16) ，16，2.函数值由大到小对应的解析式为y＝x2，y＝x eq \s\up6(\f(1,2)) ，y＝x－2.因此相应于曲线c1，c2，c3的n值依次为2， eq \f(1,2) ，－2.故选B.
(2)幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图象经过第一、三象限；y＝x eq \s\up6(\f(1,2)) 的图象经过第一象限；y＝x2的图象经过第一、二象限．所以幂函数y＝xα eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＝－1，\f(1,2)，1，2，3)) 的图象不可能经过第四象限．
答案：(1)B (2)四
例3 解析： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,6))) eq \s\up12(0) ＝1， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(－\f(1,3)) >1， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5))) eq \s\up6(\f(1,2)) <1， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up6(\f(1,2)) <1，∵y＝x eq \s\up6(\f(1,2)) 为增函数，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up6(\f(1,2)) < eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5))) eq \s\up6(\f(1,2)) .综上， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up6(\f(1,2)) < eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5))) eq \s\up6(\f(1,2)) < eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,6))) eq \s\up12(0) < eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(－\f(1,3)) .
答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up6(\f(1,2)) < eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5))) eq \s\up6(\f(1,2)) < eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,6))) eq \s\up12(0) < eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(－\f(1,3))
例4 解析：①当a＋1>0，且3－2a>0时，∵(a＋1)－1<(3－2a)－1，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋1>0，,3－2a>0，,a＋1>3－2a，))
解得 eq \f(2,3) ②当a＋1<0，且3－2a>0时，
(a＋1)－1<0，(3－2a)－1>0.符合题意．可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋1<0，,3－2a>0，)) 解得a<－1.
③当a＋1<0且3－2a<0时，∵(a＋1)－1<(3－2a)－1，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋1<0，,3－2a<0，,a＋1>3－2a，)) 不等式组解集为∅.
综上所述，a的取值范围为(－∞，－1)∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(3,2))) .
跟踪训练3 解析：(1)∵函数y＝x eq \s\up6(\f(7,8)) 在(0，＋∞)上单调递增，又 eq \f(1,8) > eq \f(1,9) ，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8))) eq \s\up6(\f(7,8)) > eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9))) eq \s\up6(\f(7,8)) ，A错；∵函数y＝x－ eq \f(2,3) 在(0，＋∞)上为减函数，又 eq \f(2,3) > eq \f(π,6) ，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(－\f(2,3)) < eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6))) eq \s\up12(－\f(2,3)) ，B正确；由幂函数单调性知0.20.6<0.30.6，C错；9－ eq \f(7,8) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9))) eq \s\up6(\f(7,8)) < eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9))) eq \s\up6(\f(6,7)) < eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,9))) 67，∴9－ eq \f(7,8) < eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,9))) eq \s\up6(\f(6,7)) ，D错．故选B.
(2)∵函数y＝x eq \s\up6(\f(1,2)) 在定义域[0，＋∞)上是增函数，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－2m≥0，,m＋1≥0，,3－2m>m＋1，))
解得－1≤m< eq \f(2,3) .
故实数m的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,3))) .
答案：(1)B (2) eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,3)))
[课堂十分钟]
1．解析：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1是常见的五个幂函数，显然y＝xα为奇函数时，α＝－1，1，3，又函数的定义域为R，所以α≠－1，故α＝1，3.故选C.
答案：C
2．解析：因为当a>0时，f(x)＝ax＋1a是增函数，与y轴的交点在正半轴上，g(x)＝ax2的开口向上；当a<0时，f(x)＝ax＋1a是减函数，与y轴的交点在负半轴上，g(x)＝ax2的开口向下；所以只有A中的图象符合，故选A.
答案：A
3．解析：a＝2－6＝8－2，b＝3－4＝9－2，c＝7－2，由幂函数y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，可知b答案：A
4．解析：设幂函数为f(x)＝xα(α为常数).
∵函数f(x)的图象过点(4，2)，∴2＝4α，
∴α＝12，∴f(x)＝x12，
∴f＝(18)12＝24.
答案： eq \f(\r(2),4)
5．解析：∵幂函数y＝x3m－9在区间(0，＋∞)上单调递减，∴3m－9<0，即m<3.
又∵m∈N*，∴m＝1，2.
又y＝x3m－9的图象关于y轴对称，即该函数是偶函数，
∴3m－9是偶数．∴m＝1.
∴f(x)＝x－6.
最新课程标准
学科核心素养
1.通过具体实例，结合y＝x，y＝ eq \f(1,x) ，y＝x2，y＝ eq \r(x) ，y＝x3的图象，理解它们的变化规律．
2．了解幂函数．
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(数学抽象、数学运算)
2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ eq \f(1,x) ，y＝x eq \s\up6(\f(1,2)) 的图象，掌握它们的性质．(直观想象、逻辑推理)
3．能利用幂函数的单调性比较大小．(数学运算)
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x eq \s\up6(\f(1,2))
y＝ eq \f(1,x)
定义域
R
R
R
________
________
值域
R
________
R
________
________
奇偶性
奇函数
________
________
非奇非偶
函数
________
单调性
在R上递增
在________
上递减，
在________
上递增
在R上递增
在________
上递增
在(－∞，0)
和(0，＋∞)
上递减
图象
过定点
________
________
易错原因
纠错心得
忽视了函数图象过原点，没有对所求m值进行检验，致使得到错误答案：0或－3
幂函数的图象过原点，则指数大于0；图象不过原点，则指数小于或等于0.