湘教版（2019）必修 第一册第3章 函数的概念与性质3.1 函数导学案

这是一份湘教版（2019）必修 第一册第3章 函数的概念与性质3.1 函数导学案，共7页。
教材要点
要点 三种函数增长快慢的比较
状元随笔 (1)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a＞0，b＞1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．
(2)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlgax＋n(m，n，a为常数，m＞0，x＞0，a＞1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝lg12x的衰减速度越来越慢．( )
(2)函数y＝lg x的增长速度越来越快．( )
(3)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．( )
(4)对任意x∈(0，＋∞)，总有2x＞x2.( )
2．下表显示了函数值y随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能符合的函数模型为( )
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
3．已知y1＝2x，y2＝2x，y3＝lg2x，当2＜x＜4时，有( )
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1
4．函数y＝x2与函数y＝ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的是________．
题型1 几种函数模型增长的差异
例1 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2021x B．y＝x2021
C．y＝2021x D．y＝lg2021x
(2)已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是( )
A．y1＝x2，y2＝2x，y3＝lg2x
B．y1＝2x，y2＝x2，y3＝lg2x
C．y1＝lg2x，y2＝x2，y3＝2x
D．y1＝2x，y2＝lg2x，y3＝x2
方法归纳
几类不同增长的函数模型
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．
(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数函数模型．
(3)增长速度较慢的函数模型是对数函数模型．
跟踪训练1 四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间(x＞1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝lg2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝2x
C．f3(x)＝lg2x D．f4(x)＝2x
题型2 指数函数、对数函数与幂函数模型的增长比较例2 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，x≥0的图象，如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2021)，g(2021)的大小．
方法归纳
比较函数增长快慢的方法：(1)利用指数函数、幂函数、对数函数不同的增长特点比较函数增长的快慢；(2)借助函数图象，通过图象特点以及变化趋势来比较函数的增长快慢；(3)通过计算相同区间上函数值的增量的大小来比较函数增长的快慢．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示．
(1)指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数．
(2)借助图象，比较f(x)和g(x)的大小．
题型3 函数模型的选择
例3 为践行“绿水青山就是金山银山\”的发展理念，聊城市环保部门近年来利用水生植物(例如浮萍、蒲草、芦苇等)，对国家级湿地公园——东昌湖进行进一步净化和绿化．为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例，对水生植物的生长进行了科学管控，并于2020年对东昌湖内某一水域浮萍的生长情况作了调查，测得该水域二月底浮萍覆盖面积为45 m2，四月底浮萍覆盖面积为80 m2，八月底浮萍覆盖面积为115 m2.若浮萍覆盖面积y(单位：m2)与月份x(2020年1月底记x＝1，2021年1月底记x＝13)的关系有两个函数模型y＝kax(k＞0，a＞1)与y＝mlg2x＋n(m＞0)可供选择．
(1)你认为选择哪个模型更符合实际？并解释理由；
(2)利用你选择的函数模型，试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148 m2？(可能用到的数据lg215≈3.9，3239≈1.37，32023≈66.72)
方法归纳
指数、对数函数模型在实际问题中有广泛应用，可根据增长得快慢特征选择、建立函数模型，再利用指数、对数运算解决问题，已经给出函数模型的，则直接代入相应的数据计算解决．
跟踪训练3 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·lgbt.
利用你选取的函数，回答下列问题：
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
(2)最低种植成本是________(元/100 kg.)
课堂十分钟
1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝100 B．y＝100x
C．y＝1.01x D．y＝lg2x
2.
能反映如图所示的曲线的增长趋势的是( )
A．一次函数 B．幂函数
C．对数函数 D．指数函数
3．能使不等式lg2x＜x2＜2x一定成立的x的取值区间是( )
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(4，＋∞)
4．下列选项是四种生意预期的效益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________．(填序号)
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg (x＋1)；④y＝50.
5．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动．某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，有两种方案如下：
方案一：每年植树1万平方米；
方案二：每年树木面积比上年增加9%.
你觉得哪个方案较好？
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点
增函数 增函数 增函数 ax>xn>lgax
[基础自测]
1．答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．解析：根据函数值的变化，随着x的变化，函数值呈现爆炸型增长．因此只有指数函数模型符合．
答案：C
3．解析：观察三类函数的图象可知(图略).
答案：A
4．解析：作出y＝x2与y＝ln x的图象，通过比较图象可得．
答案：y＝x2
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)指数函数y＝ax在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快．故选A.
(2)从题中表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数型函数变化，变量y3的增长速度最慢，呈对数型函数变化．故选B.
答案：(1)A (2)B
跟踪训练1 解析：对比四种函数的增长速度，当x充分大时，指数函数增长速度越来越快，因而最终在前面的物体具有的函数关系是f4(x)＝2x.
答案：D
例2 解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，x≥0，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，
所以f(1)>g(1)，f(2)