湘教版（2019）3.1 函数学案

这是一份湘教版（2019）3.1 函数学案，共9页。

教材要点
要点 同角三角函数的基本关系式
状元随笔 (1)利用sin2α＋cs2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sinαcsα＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)关系式的逆用及变形：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)因为sin29π4＋cs2π4＝1，所以sin2α＋cs2β＝1成立，其中α，β为任意角．( )
(2)对任意角α，sinα＝cs α·tan α都成立．( )
(3)sin2θ2＋cs2θ2＝1.( )
(4)对任意的角α，都有tanα＝sinαcsα成立．( )
2．若α为第二象限角，且sin α＝23，则cs α＝( )
A．－53 B．13 C．53 D．－13
3．已知tan α＝12，且α∈π，3π2，则sin α的值是( )
A．－55 B．55 C．255 D．－255
4．已知tan α＝－12，则2sinαcsαsin2α−cs2α的值是________．
题型1 利用同角三角函数的基本关系求值
角度1 已知角的某个三角函数值，求其余三角函数值
例1 (1)已知sinα＝－15，且α是第三象限角，求cs α，tan α的值；
(2)已知cs α＝－35，求sin α，tan α的值．
方法归纳
在使用开平方关系sin α＝±1−cs2α和csα＝±1−sin2α时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限．
角度2 利用弦化切求值
例2 已知tanα＝2，求下列各式的值．
(1)2sinα−3csα4sinα−9csα；(2)4sin2α－3sinαcs α＋1.
方法归纳
所求式子都是关于sin α、cs α的分式齐次式(或可化为分式齐次式)，将其分子、分母同除以cs α的整数次幂，就是把所求式子用tan α表示，再求式子的值．
角度3 与sin θ±cs θ，sin θcs θ有关的求值．
例3 已知θ∈(0，π)，sin θ＋cs θ＝12，求：
(1)sin θ·cs θ；(2)sin θ－cs θ.
方法归纳
此类问题求值时，若涉及开方，要注意利用角的范围确定三角函数值的符号．如该题易忽略角θ的取值范围得sin θ－cs θ＝±72，实际上，结合0＜θ＜π这一条件，可以确定sin θ－cs θ的符号．
跟踪训练1 (1)已知sinθ+csθsinθ−2csθ＝12，则tan θ的值为( )
A．－4 B．－14
C．14 D．4
(2)已知sin θ＋cs θ＝15，且0＜θ＜π，则sin θ－cs θ＝________．
题型2 利用同角三角函数关系化简
例4 化简：
(1)sinα1+sinα−sinα1−sinα；
(2)1+2sin10°cs10°cs10°+1−cs210°.
方法归纳
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cs2α＝1，以降低次数，达到化简的目的．
跟踪训练2 (1)化简：1−2sin130°cs130°sin130°+1−sin2130°；
(2)化简：sin2αtanα＋2sin αcs α＋cs2αtanα.
题型3 利用同角三角函数关系证明
例5 求证：1−2sinxcsxcs2x−sin2x＝1−tanx1+tanx .
方法归纳
证明简单三角恒等式的思路
(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．
(2)证明左右两边等于同一个式子．
(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.
(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
跟踪训练3 求证：tan2α－sin2α＝tan2α·sin2α.
易错辨析 忽略题目隐含范围致错
例6 已知sinθ＝1−a1+a，cs θ＝3a−11+a，若θ为第二象限角，则下列结论正确的是( )
A．a∈19，1 B．a＝1
C．a＝1或a＝19 D．a＝19
解析：∵sin2θ＋cs2θ＝1，∴1−a1+a2＋3a−11+a2＝1，
解得a＝1或a＝19，
当a＝1时，sinθ＝0，θ不是第二象限角，舍去；
当a＝19时，sin θ＞0，cs θ＜0，符合题意．
∴a＝19.故选D.
答案：D
易错警示
课堂十分钟
1．已知sin α＝13，α∈π2，π，则tan α的值为( )
A．－24 B．24 C．－22 D．22
2．已知sin α＝55，则sin4α－cs4α的值为( )
A．－15 B．－35 C．15 D．35
3．已知sinθ＋cs θ＝43(0＜θ＜π4)，则sin θ－cs θ的值为( )
A．23 B．－23 C．13 D．－13
4．若tan x＝2，则cs2x－2sinx cs x＝________．
5．化简：1−2sinαcsαcs2α−sin2α·1+2sinαcsα1−2sin2α.
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点
sin2α＋cs2α＝1 tanα＝ eq \f(sin α,cs α)
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．解析：∵α是第二象限角，∴cs α＝－1−sin2α＝－53.
故选A.
答案：A
3．解析：∵α∈(π，3π2)，∴sinα<0.由tan α＝sinαcsα＝12，
sin2α＋cs2α＝1，得sinα＝－55.
故选A.
答案：A
4．解析：2sinαcsαsin2α−cs2α＝2tanαtan2α−1＝2×(−12)(−12)2−1＝43.
答案： eq \f(4,3)
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)∵sin2α＋cs2α＝1，∴cs2α＝1－sin2α＝1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(24,25) .
又∵α是第三象限角，∴csα<0，
即cs α＝－ eq \f(2\r(6),5) ，∴tan α＝ eq \f(sin α,cs α) ＝－ eq \f(1,5) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2\r(6)))) ＝ eq \f(\r(6),12) .
(2)∵cs α＝－ eq \f(3,5) <0，∴α是第二或第三象限角．
当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0，
∴sin α＝ eq \r(1－cs2α) ＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(4,5) ，
tanα＝ eq \f(sin α,cs α) ＝－ eq \f(4,3) ；
当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0，
∴sin α＝－ eq \r(1－cs2α) ＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))\s\up12(2)) ＝－ eq \f(4,5) ，
tanα＝ eq \f(sin α,cs α) ＝ eq \f(4,3) .
例2 解析：(1)原式＝ eq \f(\f(2sin α,cs α)－3,\f(4sin α,cs α)－9) ＝ eq \f(2tan α－3,4tan α－9) ＝ eq \f(2×2－3,4×2－9) ＝－1.
(2)4sin2α－3sinαcs α＋1
＝ eq \f(4sin2α－3sinαcs α,sin2α＋cs2α) ＋1
＝ eq \f(4tan2α－3tanα,tan2α＋1) ＋1
＝ eq \f(4×4－3×2,4＋1) ＋1＝3.
例3 解析：(1)∵sinθ＋cs θ＝ eq \f(1,2) ，∴(sin θ＋cs θ)2＝ eq \f(1,4) ，
即1＋2sin θcs θ＝ eq \f(1,4) ，∴sin θ·cs θ＝－ eq \f(3,8) .
(2)∵θ∈(0，π)，由(1)知sin θcs θ＝－ eq \f(3,8) ，
∴sin θ>0，cs θ<0，即sin θ－cs θ>0，
∴sin θ－cs θ＝ eq \r(（sin θ－cs θ）2) ＝ eq \r(1－2sin θcs θ) ＝ eq \r(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,8)))) ＝ eq \r(1＋\f(3,4)) ＝ eq \f(\r(7),2) .
跟踪训练1 解析：(1) eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－2cs θ) ＝ eq \f(tan θ＋1,tan θ－2) ＝ eq \f(1,2) ，解得tan θ＝－4.
故选A.
(2)∵sin θ＋cs θ＝ eq \f(1,5) ，∴(sin θ＋cs θ)2＝ eq \f(1,25) ，
解得sin θcs θ＝－ eq \f(12,25) ，
∴(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝ eq \f(49,25) .
∵0<θ<π且sin θcs θ<0，∴sin θ>0，cs θ<0，
∴sin θ－cs θ>0，∴sin θ－cs θ＝ eq \f(7,5) .
答案：(1)A (2) eq \f(7,5)
例4 解析：(1) eq \f(sin α,1＋sin α) － eq \f(sin α,1－sin α) ＝
eq \f(sin α（1－sin α）－sin α（1＋sin α）,（1＋sin α）（1－sin α）) ＝ eq \f(－2sin2α,1－sin2α) ＝ eq \f(－2sin2α,cs2α) ＝－2tan2α.
(2) eq \f(\r(1＋2sin10°cs 10°),cs 10°＋\r(1－cs210°)) ＝ eq \f(\r(（cs10°＋sin 10°）2),cs 10°＋sin 10°)
＝ eq \f(|cs 10°＋sin 10°|,cs 10°＋sin 10°) ＝1.
跟踪训练2 解析：
(1)原式＝ eq \f(\r(sin2130°－2sin130°cs 130°＋cs2130°),sin130°＋\r(cs2130°))
＝ eq \f(|sin130°－cs 130°|,sin 130°＋|cs 130°|) ＝ eq \f(sin 130°－cs 130°,sin 130°－cs 130°) ＝1.
(2)原式＝sin2α· eq \f(sinα,cs α) ＋2sin αcs α＋cs2α· eq \f(csα,sin α)
＝ eq \f(sin4α＋2sin2αcs2α＋cs4α,sinαcs α) ＝ eq \f(（sin2α＋cs2α）2,sinαcs α)
＝ eq \f(1,sin αcs α) .
例5 证明：左边＝ eq \f(1－2sin x cs x,cs2x－sin2x) ＝ eq \f(sin2x＋cs2x－2sinx cs x,（cs x－sin x）（cs x＋sin x）) ＝ eq \f(cs x－sin x,cs x＋sin x) ＝ eq \f(1－tan x,1＋tan x) ＝右边，∴原式成立．
跟踪训练3 证明：左边＝tan2α－sin2α＝ eq \f(sin2α,cs2α) －sin2α
＝ eq \f(sin2α－sin2αcs2α,cs2α) ＝ eq \f(sin2α（1－cs2α）,cs2α)
＝sin2α· eq \f(sin2α,cs2α) ＝tan2α·sin2α＝右边
∴原式成立．
[课堂十分钟]
1．解析：因为sinα＝13，α∈(π2,π)，
所以cs α＝－1−sin2α＝－223，
则tanα＝sinαcsα＝－24.
故选A.
答案：A
2．解析：sin4α－cs4α＝sin2α－cs2α＝2sin2α－1＝2×15－1＝－35.
故选B.
答案：B
3．解析：∵已知sinθ＋cs θ＝43 (0＜θ＜π4)，
∴1＋2sin θcs θ＝169，∴2sin θcs θ＝79.
故sin θ－cs θ＝－(sinθ−csθ)2＝－1−2sinθcsθ＝－23.
故选B.
答案：B
4．解析：∵tan x＝2，
∴原式＝cs2x−2sinxcsxcs2x+sin2x＝1−2tanx1+tan2x＝1−41+4＝－35.
答案：－ eq \f(3,5)
5．解析：原式＝ eq \f(（sinα－cs α）2,cs2α－sin2α) · eq \f(（sinα＋cs α）2,sin2α＋cs2α－2sin2α)
＝ eq \f(（sin2α－cs2α）2,（cs2α－sin2α）（cs2α－sin2α）) ＝1.
易错原因
纠错心得
忽略了sin θ＞0，cs θ＜0这一条件确定a的范围，或者利用平方关系解出a值后，未检验致错，易错选C.
利用同角三角函数基本关系求参数时，要注意检验．