湘教版（2019）必修 第一册3.1 函数学案设计

这是一份湘教版（2019）必修 第一册3.1 函数学案设计，共10页。
教材要点
要点 正弦曲线与余弦曲线及其画法
状元随笔 1.关于正弦函数y ＝sin x的图象
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z的图象与x∈[0，2π]上的图形一致，因为终边相同角的同一三角函数值相等．
(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由y＝sin x，x∈[0，2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．
2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较
(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法．该方法作图较精确，但较为烦琐．
(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．
提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称．( )
(2)函数y＝sin x与y＝sin (－x)的图象完全相同．( )
(3)余弦函数y＝cs x的图象与x轴有无数个交点．( )
(4)函数y＝cs x的图象与y＝sin x的图象形状和位置不一样.( )
2．不等式sin x＞0，x∈[0，2π]的解集为( )
A．[0，π] B．(0，π)
C．[0，π] D．(π2，3π2)
3．下列图象中，是y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是( )
4．用“五点法”作函数y＝cs 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是________．
题型1 用“五点法”作三角函数的图象
例1 (1)在[0，2π]内用“五点法”作出y＝－sin x－1的简图．
(2)在[0，2π]内用“五点法”作出y＝－2cs x＋3的简图．
方法归纳
作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cs x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤
跟踪训练1 作出函数y＝3＋2cs x的简图．
题型2 利用“图象变换”作三角函数的图象
例2 作出下列函数的图象
(1)y＝1−cs2α；(2)y＝sin|x|.
方法归纳
某些函数的图象可通过图象变换，如平移变换、对称变换作出，如将y＝sin x的图象在y轴右侧的保留，在左侧作右侧关于y轴的对称图形，便得到y＝sin |x|的图象，将y＝sin x图象在x轴上方的不动，x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，便得到y＝|sin x|的图象等．
跟踪训练2 函数y＝cs x＋|cs x|，x∈[0，2π]的大致图象为( )
题型3 正弦、余弦函数图象的应用
角度1 零点个数问题
例3 求方程sin x＝x10的解的个数．
方法归纳
对于含三角函数的方程的解的个数问题，一般无法直接求解，我们常转化为两个函数的图象的交点个数问题求解，这就要求我们要对三角函数的图象熟练掌握．
角度2 解三角不等式
例4 利用正弦曲线，求满足12＜sin x≤32的x的集合．
方法归纳
用正弦曲线(余弦曲线)解三角不等式(如sin x≥a或cs x≥a)的步骤
跟踪训练3 (1)方程x2＝cs x的实数解的个数为________．
(2)函数y＝2csx−1的定义域为________．
易错辨析 忽视函数定义域致误
例5 作出函数y＝1tanx·sin x的图象．
解析：由tan x≠0得x≠kπ，且x≠kπ＋π2，k∈Z，
即x≠kπ2(k∈Z)，
此时有y＝1tanx·sin x＝cs x，
即y＝cs x(x≠kπ2，k∈Z)．
其图象如下图所示．
易错警示
课堂十分钟
1．(多选)以下对正弦函数y＝sin x的图象描述正确的是( )
A．与x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
2．函数y＝cs (－x)，x∈[0，2π]的简图是( )
3．在[0，2π]内，不等式sin x＜－32的解集是( )
A．(0，π) B．π3，4π3
C．4π3，5π3 D．5π3，2π
4．直线y＝12与函数y＝sin x，x∈[0，2π]的交点坐标是________．
5．用“五点法”作出函数y＝1－13cs x的简图．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点
(0，0) (π，0) (2π，0) (0，1) (π，－1) (2π，1)
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．解析：由y＝sin x在[0，2π]的图象可得．故选B.
答案：B
3．解析：函数y＝－sin x的图象与函数y＝sin x的图象关于x轴对称，故选D.
答案：D
4．解析：令2x＝0，π2，π，3π2和2π，得x＝0，π4，π2，3π4，π.
答案：0，π4，π2，3π4，π
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)①列表：
②描点并用光滑曲线连接可得其图象如图所示．
(2)由条件列表如下：
描点、连线得出函数y＝－2cs x＋3(0≤x≤2π)的图象如图所示．
跟踪训练1 解析：(1)列表，如下表所示
(2)描点，连线，如图所示：
例2 解析：(1)∵y＝1−cs2x＝|sinx|，
∴y＝sinx，2kπ≤x≤2kπ+π，−sinx，2kπ+πsin x，所以此时两图象无交点；当0