湘教版（2019）必修 第一册第3章 函数的概念与性质3.1 函数学案

这是一份湘教版（2019）必修 第一册第3章 函数的概念与性质3.1 函数学案，共8页。
教材要点
要点 正、余弦函数的图象与性质
状元随笔 (1)正、余弦函数的单调性：
①求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求与之相关的复合函数值域(最值)关键的一步；
②单调区间要在定义域内求解；
③确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时，要注意用复合函数法来判断．
(2)正、余弦函数的最值
①明确正、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1, |cs x|≤1；
②对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定义域来决定；
③形如y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝A sin z的形式求最值．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在区间[0，3π]上，函数y＝cs x仅在x＝0时取得最大值1.( )
(2)正弦函数在第一象限是增函数．( )
(3)存在实数x，使得cs x＝2.( )
(4)余弦函数y＝cs x在[0，π]上是减函数．( )
2．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )
A．y＝cs |x| B．y＝cs |－x|
C．y＝sin (x-π2) D．y＝－sin x2
3．函数y＝1－2csπ2x的最小值，最大值分别是( )
A．－1，3 B．－1，1
C．0，3 D．0，1
4．比较大小：sin 3π5________cs π5.

题型1 正弦、余弦函数的单调性
例1 求函数y＝2sin π4−2x的单调区间．
方法归纳
求与正、余弦函数有关的单调区间的策略
(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝A cs (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间同上．
(3)①ω＜0时，一般用诱导公式转化为－ω＞0后求解；②若A＜0，则单调性相反．
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝2sin (x-〖(π)/(3)〗)，x∈[－π，0]的单调递增区间是( )
A． B．
C． D．
(2)函数y＝cs πx的单调减区间为________．
题型2 单调性在三角函数中的应用
角度1 比较大小
例2 比较下列各组数的大小．
(1)sin 21π5与sin 42π5.
(2)cs 17π8与cs 37π9
方法归纳
比较三角函数值大小的方法
(1)利用诱导公式转化为求锐角三角函数值．
(2)不同名的函数化为同名函数．
(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间．
角度2 利用正弦、余弦函数的单调性求参数
例3 已知ω＞0，函数f(x)＝sin ωx+π4在π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．(0，2)
方法归纳
对于已知形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cs (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子区间；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系求解．
跟踪训练2 (1)sin 1，sin 2，sin 3的大小关系是( )
A．sin 1＜sin 2＜sin 3 B．sin 3＜sin 2＜sin 1
C．sin 2＜sin 3＜sin 1 D．sin 3＜sin 1＜sin 2
(2)若函数f(x)＝cs 2ωx(ω＞0)在区间上为减函数，在区间上为增函数，则ω等于( )
A．3 B．2
C．32 D．23
三角函数的值域(或最值)问题
角度1 正弦、余弦函数的值域(或最值)问题
例4 求函数y＝2sin 2x−π3，x∈π3，3π4的值域
方法归纳
形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cs (ωx＋φ)的三角函数值域(或最值)问题，要注意x的取值范围．一般情况下先利用x的取值范围，求出ωx＋φ的范围，再求三角函数的值域(或最值)．
角度2 形如y＝A sin2x＋B sinx＋C或y＝A cs2x＋B csx＋C型的最值(或值域)问题
例5 求函数y＝cs2x－sinx，x∈−π3，π6的最大值和最小值及相应的x值．
方法归纳
求形如y＝A sin2x＋B sinx＋C，A≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sin x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性(有时也用t来替换cs x)．
跟踪训练3 (1)函数y＝2cs 2x+π6－1的最小值是________，此时x＝________．
(2)函数y＝y＝2sin2x＋2sinx－12，x∈π6，5π6的值域是________．
易错辨析 忽视参数的分类致误
例6 已知函数y＝2a sin 2x−π3＋b的定义域为0，π2，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．
解析：∵0≤x≤π2，∴－π3≤2x－π3≤2π3.
∴－32≤sin 2x−π3≤1.
若a＞0，
则2a+b=1，−3a+b=−5，解得a=12−63，b=−23+123.
若a＜0，则2a+b=−5，−3a+b=1，解得a=−12+63，b=19−123.
易错警示
课堂十分钟
1．下列不等式中成立的是( )
A．sin −π8＞sin −π10
B．sin 3＞sin 2
C．sin 75π＞sin −25π
D．sin 2＞cs 1
2．函数y＝sin −2x+π3在区间[0，π]上的单调递增区间为( )
A．5π12，11π12 B．0，5π12
C．π6，2π3 D．2π3，π
3．已知函数f(x)＝2sin 2x+π6－1(x∈R)，则f(x)在区间0，π2上的最大值与最小值分别是( )
A．1，－2 B．2，－1
C．1，－1 D．2，－2
4．已知函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)，若f(x)在0，π2上单调递增，则实数ω的取值范围是________．
5．求函数y＝cs2x－4csx＋1，x∈π3，2π3的值域．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点
[－1，1] [－1，1] 2kπ−π2，2kπ+π2 2kπ+π2，2kπ+3π2 [2kπ－π，2kπ] [2kπ，2kπ＋π] 2kπ＋π2 2kπ－π2 2kπ 2kπ＋π
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．解析：y＝cs |x|在0，π2上是减函数，排除A；y＝cs |－x|＝cs |x|，排除B；y＝sin x−π2＝－sin π2−x＝－cs x是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－sin x2在(0，π)上是单调递减的，排除D.
故选C.
答案：C
3．解析：∵－1≤cs π2x≤1，∴－1≤y≤3.
故选A.
答案：A
4．解析：sin 3π5＝sin π2+π10＝cs π10.
∵0＜π10＜π5＜π，y＝cs x在[0，π]上递减，
∴cs π10＞cs π5，即sin 3π5＞cs π5.
答案：＞
题型探究·课堂解透
例1 解析：∵y＝2sin π4−2x＝－2sin 2x−π4，
∴由π2＋2kπ≤2x－π4≤3π2＋2kπ(k∈Z)，
得3π8＋kπ≤x≤7π8＋kπ，k∈Z.
所以函数y＝2sin π4−2x的单调增区间为kπ+3π8，kπ+7π8(k∈Z)，
由2kπ－π2≤2x－π4≤π2＋2kπ，(k∈Z)，
得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8(k∈Z)．
所以函数y＝2sin π4−2x的单调减区间为kπ−π8，kπ+3π8(k∈Z)．
跟踪训练1 解析：(1)令2kπ－π2≤x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，解得2kπ－π6≤x≤2kπ＋5π6，k∈Z，又∵－π≤x≤0，∴－π6≤x≤0.
故选D.
(2)由2kπ≤πx≤π＋2kπ，k∈Z得2k≤x≤1＋2k，k∈Z，
即函数y＝cs πx的单调减区间为2k，2k+1k∈Z.
答案：(1)D (2)2k，2k+1k∈Z
例2 解析：(1)∵sin 21π5＝sin 4π+π5＝sin π5，
sin 42π5＝sin 8π+2π5＝sin 2π5，
又∵y＝sin x在0，π2上单调递增，
且0