湘教版（2019）必修 第一册3.1 函数导学案

这是一份湘教版（2019）必修 第一册3.1 函数导学案，共10页。

教材要点
要点 函数y＝tan x的图象和性质
状元随笔 如何作正切函数的图象
(1)几何法
就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐．
(2)“三点两线”法
“三点”是指−π4，−1，(0，0)，π4，1；“两线”是指x＝－π2和x＝π2.在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在−π2，π2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正切函数在整个定义域内是增函数．( )
(2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( )
(3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期π.( )
(4)函数y＝tan x为奇函数，故对任意x∈R都有tan (－x)＝－tan x．( )
2．函数y＝tan x+π4的定义域是( )
A．{x|x≠−π4} B．{x|x≠π4}
C．{x|x≠kπ−π4，k∈Z} D．{x|x≠kπ+π4，k∈Z}
3．已知函数f(x)＝tan 2x+π3，则函数f(x)的最小正周期为( )
A．π4 B．π2
C．π D．2π
4．比较大小：tan 135°________tan 138°.(填“＞”或“＜”)

正切函数的定义域、周期性、奇偶性
例1 (1)函数f(x)＝tan 12x+π3的最小正周期为( )
A．π4 B．π2
C．π D．2π
(2)函数f(x)＝x·tan x的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
(3)函数y＝tanx−1tanx+π6的定义域为________________．
方法归纳
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠π2＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用正切函数的图象求解．
(2)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为T＝πω，常利用此公式来求与正切函数有关的周期．
(3)函数y＝tan x是奇函数，其图象关于原点对称．若函数y＝tan (ωx＋φ)是奇函数，则φ＝kπ2(k∈Z)．
跟踪训练1 (1)函数y＝1tanx的定义域为( )
A．{x|x≠0} B．{x|x≠kπ，k∈Z}
C．{x|x≠kπ+π2，k∈Z┤} D．{x|x≠kπ2，k∈Z}
(2)(多选)关于函数y＝tan 2x−π3，下列说法正确的是( )
A．是奇函数
B．在区间0，π3上单调递减
C．π6，0为其图象的一个对称中心
D．最小正周期为π2
正切函数的单调性及应用
角度1 求正切函数的单调区间
例2 求函数y＝tan −3x+π4的单调区间．
方法归纳
求函数y＝A tan (ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－π2＜ωx＋φ＜kπ＋π2，k∈Z，解得x的范围即可．
(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝
－A tan (－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
角度2 比较大小
例3 比较tan 1.5，tan 2.5，tan 3.5的大小．
方法归纳
运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
跟踪训练2 (1)已知a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
(2)函数y＝tan 12x−π4的单调增区间为________．
题型3 正切函数图象与性质的综合应用
例4 已知函数f(x)＝2tan x2−π3.
(1)求f(x)的最小正周期、定义域；
(2)若f(x)≥2，求x的取值范围．
方法归纳
解答正切函数图象与性质问题应注意的两点
(1)对称性：正切函数图象的对称中心是kπ2，0(k∈Z)，不存在对称轴．
(2)单调性：正切函数在每个−π2+kπ，π2+kπ(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．
跟踪训练3 设函数f(x)＝tan x2−π3.
(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；
(2)求不等式－1≤f(x)≤3的解集．
易错辨析 不能正确掌握正切函数的对称中心致误
例5 函数y＝tan (2x＋θ)＋n的图象的一个对称中心为π6，−1，其中θ∈0，π2，则点(θ，n)对应的坐标为________.
解析：因为y＝tan x的对称中心为kπ2，0，k∈Z，所以由y＝tan (2x＋θ)＋n的图象的一个对称中心为π6，−1可知，n＝－1，2×π6＋θ＝kπ2，k∈Z.
又θ∈0，π2，所以θ＝π6.
答案：π6，−1
易错警示
课堂十分钟
1．函数y＝tan 35x是( )
A．周期为π的偶函数 B．周期为5π3的奇函数
C．周期为5π3的偶函数 D．周期为π的奇函数
2．函数y＝tan (x＋π5)的单调递增区间是( )
A．−π2+kπ，π2+kπ(k∈Z)
B．−7π10+kπ，3π10+kπ(k∈Z)
C．−3π10+kπ，7π10+kπ(k∈Z)
D．−π5+kπ，π5+kπ(k∈Z)
3．已知a＝tan 2，b＝tan 3，c＝tan 5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是( )
A．a＞b＞c B．a＜b＜c
C．b＞a＞c D．b＜a＜c
4．函数y＝tan π4+6x的定义域为________．
5．设函数f(x)＝tan x3−π3.
(1)求函数f(x)的最小正周期、对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点
{x|x≠kπ+π2，k∈Z} R kπ(k∈Z，k≠0) 奇函数 kπ−π2，kπ+π2(k∈Z)
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．解析：由x＋π4≠kπ＋π2，k∈Z，得x≠kπ＋π4，k∈Z.故选D.
答案：D
3．解析：解法一 函数y＝tan (ωx＋φ)的周期T＝πω，可得T＝π2＝π2.
解法二 由诱导公式可得tan 2x+π3
＝tan 2x+π3+π＝tan 2x+π2+π3，
所以fx+π2＝f(x)，所以周期为T＝π2.
故选B.
答案：B
4．解析：因为90°＜135°＜138°＜270°，又函数y＝tan x在区间(90°，270°)上是增函数，所以tan 135°＜tan 138°.
答案：＜
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)由T＝πω，
得T＝π12＝2π.故选D.
(2)因为函数f(x)＝x·tan x的定义域为{x|x≠kπ+π2，k∈Z}，关于原点对称，
且f(－x)＝(－x)·tan (－x)＝(－x)·(－tan x)＝x·tan x＝f(x)，
所以函数f(x)＝x·tan x是偶函数．故选B.
(3)由题意知tanx−1≥0,tan(x+π6)≠0,x+π6≠kπ+π2,k∈Z
解得π4+kπ≤x＜π2+kπk∈Z，x≠−π6+kπk∈Z，x≠π3+kπk∈Z．
所以函数的定义域为π4+kπ，π3+kπ∪π3+kπ，π2+kπ(k∈Z)
答案：(1)D (2)B
(3)π4+kπ，π3+kπ∪π3+kπ，π2+kπ(k∈Z)
跟踪训练1 解析：(1)函数y＝1tanx有意义时，需使tanx≠0，x≠kπ+π2k∈Z，
所以函数的定义域为{x|x≠kπ+π2，且x≠kπ，k∈Z}＝{x|x≠kπ2，k∈Z┤}.故选D.
(2)函数y＝tan 2x−π3是非奇非偶函数，A错误；在区间0，π3上单调递增，B错误；因为当x＝π6时，tan 2×π6−π3＝0，所以π6，0为其图象的一个对称中心，C正确；最小正周期为π2，D正确．
答案：(1)D (2)CD
例2 解析：y＝tan −3x+π4＝－tan 3x−π4.
由－π2＋kπ<3x－π4<π2＋kπ(k∈Z)，得－π12+kπ3所以函数y＝tan −3x+π4的单调递减区间为−π12+kπ3，π4+kπ3(k∈Z)．
例3 解析：tan 2.5＝tan (2.5－π)，tan 3.5＝tan (3.5－π)，又－π2<2.5－π<3.5－π<1.5<π2，y＝tan x在−π2，π2上是增函数．故tan (2.5－π)跟踪训练2 解析：(1)a＝tan 1>0，b＝tan 2＝－tan (π－2)<0，c＝tan 3＝－tan (π－3)<0，∵π2>π－2>π－3>0，且y＝tan x在0，π2上单调递增，∴tan (π－2)>tan (π－3)>0，∴－tan (π－2)<－tan (π－3)<0，故a>0>c>b.故选C.
(2)y＝tan 12x−π4，由kπ－π2<12x－π4答案：(1)C (2)2kπ−π2，2kπ+3π2，k∈Z
例4 解析：(1)对于函数f(x)＝2tan x2−π3，它的最小正周期为π12＝2π，由x2−π3≠kπ＋π2，求得x≠2kπ＋5π3，故它的定义域为{x|x≠2kπ+5π3，k∈Z}.
(2)f(x)≥2，即tan x2−π3≥1，故π4＋kπ≤x2−π3跟踪训练3 解析：(1)由x2−π3≠π2＋kπ(k∈Z)．得x≠5π3＋2kπ(k∈Z)．
所以f(x)的定义域是{x|x≠5π3+2kπ，k∈Z}.
因为ω＝12，所以最小正周期T＝πω＝π12＝2π.
由－π2＋kπ得－π3＋2kπ所以函数f(x)的单调递增区间是−π3+2kπ，5π3+2kπ(k∈Z)．
由x2−π3＝kπ2(k∈Z)，得x＝kπ＋23π(k∈Z)，故函数f(x)的对称中心是kπ+23π，0，k∈Z.
(2)由－1≤tan x2−π3≤3，
得－π4＋kπ≤x2−π3≤π3＋kπ(k∈Z)，解得π6＋2kπ≤x≤4π3＋2kπ(k∈Z)．
所以不等式－1≤f(x)≤3的解集是{x|π6+2kπ≤x≤4π3+2kπ，k∈Z}.
[课堂十分钟]
1．解析：函数的周期T＝π35＝5π3，函数y＝tan 35x是奇函数．故选B.
答案：B
2．解析：∵y＝tan x的单调递增区间为−π2+kπ，π2+kπ(k∈Z)，
令kπ－π2＜x＋π5＜kπ＋π2，解得kπ－7π10＜x＜kπ＋3π10，k∈Z，
∴函数y＝tan (x＋π5)的单调递增区间是−7π10+kπ，3π10+kπ(k∈Z)．故选B.
答案：B
3．解析：tan 5＝tan [π＋(5－π)]＝tan (5－π)，
由正切函数在π2，π上为增函数且π>3>2>5－π>π2，可得tan 3>tan 2>tan (5－π)．故选C.
答案：C
4．解析：由π4＋6x≠kπ＋π2(k∈Z), 得x≠kπ6+π24(k∈Z)．
答案：xx≠kπ6+π24，k∈Z
5．解析：(1)fx＝tan x3−π3，T＝π13＝3π，
令x3−π3＝kπ2，k∈Z，解得x＝π＋32kπ，k∈Z，
故对称中心为π+32kπ，0k∈Z.
(2)令x3−π3＝0，解得x＝π，
令x3−π3＝π4，解得x＝7π4，
令x3−π3＝－π4，解得x＝π4，
令x3−π3＝π2，解得x＝5π2，
令x3−π3＝－π2，解得x＝－π2，
所以函数fx＝tan x3−π3的图象与x轴的一个交点坐标为π，0，图象上的点有7π4，1，π4，−1两点，
在这个−π2，5π2周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为x＝－π2和x＝5π2，
从而得到函数fx在一个周期−π2，5π2内的简图(如图)．
解析式
y＝tan x
图象
定义域
______________
值域
____________
周期
____________
奇偶性
____________
单调性
在区间____________________都是增函数
对称中心
kπ2，0(k∈Z)
易错原因
纠错心得
误认为正切函数的对称中心是(kπ，0)(k∈Z)，导致解题错误．
通过正切函数的图象准确掌握正切函数的对称中心是kπ2，0(k∈Z)，而不是(kπ，0)(k∈Z)．