湘教版（2019）必修 第一册第3章 函数的概念与性质3.1 函数导学案

这是一份湘教版（2019）必修 第一册第3章 函数的概念与性质3.1 函数导学案，共10页。
教材要点
要点一 “五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
利用“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的简图，先分别令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，列表求出长度为一个周期的闭区间上的五个关键点的坐标，再描点，并用平滑的曲线连接出一个周期上的图象，最后向左、右分别扩展，即可得到函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的简图．
要点二 图象变换
1．A对函数y＝A sin x图象的影响(振幅变换)：一般地，对任意A＞0且A≠1，函数y＝A sin x的图象可以由y＝sin x的图象上每一点的________不变、________乘以A得到．
2．ω对函数y＝sin x图象的影响(周期变换)：一般地，对任意ω＞0且ω≠1，函数y＝sin ωx的图象可由y＝sin x的图象上每一点的纵坐标不变、横坐标伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的________而得到．
3．φ对函数y＝sin (x＋φ)图角的影响(相位变换)：一般地，y＝sin (x＋φ)(x∈R，常数φ≠0)的图象可以由y＝sin x的图象向____(当φ＞0)或向____(当φ＜0)平移________个单位长度得到．
4．函数y＝sin x的图象与y＝A sin (ωx＋φ)＋k的图象关系：
状元随笔 (1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．
(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．
(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)将y＝sin x的图象向右平移π4个单位，得到y＝sin x+π4的图象．( )
(2)将y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到y＝sin 12x的图象．( )
(3)将y＝sin x图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2sin x的图象．( )
2．为了得到函数y＝sin x−π3的图象，只需把函数y＝sin x的图象( )
A．向左平移π3个单位长度 B．向右平移π3个单位长度
C．向上平移π3个单位长度 D．向下平移π3个单位长度
3．函数y＝cs 4x的图象可由函数y＝cs x的图象经过怎样的变换得到( )
A．所有点的横坐标变为原来的4倍
B．所有点的横坐标变为原来的14倍
C．所有点的纵坐标变为原来的4倍
D．所有点的纵坐标变为原来的14倍
4．函数y＝sin x－15的图象可以看作把y＝sin x的图象向____平移____个单位长度而得到．
题型1 用“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的图象
例1 作出函数y＝2sin x2+π6的一个周期内的简图．
方法归纳
五点法作函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)图象的步骤．
(1)列表，令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，依次得出相应的(x，y)值．
(2)描点．
(3)连线得函数在一个周期内的图象．
(4)左右平移得到y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的图象．
跟踪训练1 用“五点法”作出函数y＝2sin 2x+π4在[0，π]上的图象．
题型2 三角函数图象的变换
角度1 同名三角函数图象的变换
例2 由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换，可以得到函数y＝－2sin 2x−π6＋1的图象．
方法归纳
三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意以下两点：
(1)两种变换中平移的单位长度不同，分别是|φ|和φω，但平移方向是一致的．
(2)虽然两种平移单位长度不同，但平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的．
角度2 异名三角函数图象的变换
例3 为了得到函数y＝sin 2x−π6的图象，可以将函数y＝cs 2x的图象( )
A．向右平移π6个单位长度 B．向右平移π3个单位长度
C．向左平移π6个单位长度 D．向左平移π3个单位长度
方法归纳
不同名三角函数之间的变换方法
(1)利用诱导公式，寻找不同名三角函数之间的关系，主要利用π2±α化简．
(2)用诱导公式将不同名三角函数化为同名三角函数后，再根据平移、伸缩变换，得出最终结果．
跟踪训练2 (1)要得到函数y＝3sin 2x+π4的图象，只需将函数y＝3sin 2x的图象( )
A．向左平移π4个单位长度
B．向右平移π4个单位长度
C．向左平移π8个单位长度
D．向右平移π8个单位长度
(2)把函数y＝cs 3x+π4的图象适当变换就可以得到y＝sin (－3x)的图象，这种变换可以是( )
A．向右平移π4个单位长度
B．向左平移π4个单位长度
C．向右平移π12个单位长度
D．向左平移π12个单位长度
题型3 三角函数图象变换的综合应用
例4 把函数y＝f(x)图象上的各点向右平移π6个单位长度，然后把横坐标扩大到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23，所得图象的解析式是y＝2sin 12x+π3，求f(x)的解析式．
方法归纳
(1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法．
(2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可．
跟踪训练3 将函数y＝cs x的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移π4个单位长度得曲线C，则曲线C对应的函数解析式是____________________．
易错辨析 三角函数图象变换规则不清致误
例5 为了得到y＝sin 12x的图象，只需要将y＝sin 12x−π6的图象( )
A．向左平移π6个单位 B．向右平移π6个单位
C．向左平移π3个单位 D．向右平移π3个单位
解析：∵y＝sin 12x−π6＝sin 12x−π3，
∴当由y＝sin 12x−π6的图象得y＝sin 12x的图象时，应该是向左平移π3个单位．
易错警示
课堂十分钟
1．把函数y＝sin x的图象向左平移π3个单位长度后所得图象的解析式为( )
A．y＝sin x－π3 B．y＝sin x＋π3
C．y＝sin x−π3 D．y＝sin x+π3
2．为了得到y＝cs x4的图象，只需把y＝cs x的图象上的所有点( )
A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的14，横坐标不变
3．要得到函数y＝cs 3x+π5的图象，需将函数y＝cs 3x的图象( )
A．向左平移π15个单位长度
B．向左平移π5个单位长度
C．向右平移π15个单位长度
D．向右平移π5个单位长度
4．把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是________．
5．已知函数y＝3sin 12x−π4.
(1)用“五点法”画函数在一个周期内的图象；
(2)说出此图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点二
1．横坐标 纵坐标
2.1ω
3．左 右 |φ|
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)√
2．解析：将函数y＝sin x的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的解析式为y＝sin(x-π3).故选B.
答案：B
3．解析：将函数y＝cs x的图象上所有点的横坐标变为原来的14倍，纵坐标不变，得到函数y＝cs 4x的图象．
答案：B
4．答案：下 15
题型探究·课堂解透
例1 解析：令t＝ eq \f(x,2) ＋ eq \f(π,6) ，列表如下：
描点连线，得到如图所示的函数图象：
跟踪训练1 解析：列出x，y的对应值表：
描点，连线，如图所示．
例2 解析：方法一 y＝sin x的图象
向右平移π6个单位长度 y＝sin x−π6的图象所有点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变y＝sin 2x−π6的图象 关于x轴作对称变换 y＝－sin 2x−π6的图象各点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变y＝－2sin 2x−π6的图象 向上平移1个单位长度 y＝－2sin 2x−π6＋1的图象．
方法二 y＝sin x的图象
所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变y＝2sin x的图象 关于x轴作对称变换 y＝－2sin x的图象所有点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变y＝－2sin 2x的图象 向右平移π12个单位长度 y＝－2sin 2x−π6的图象 向上平移1个单位长度 y＝－2sin 2x−π6＋1的图象．
例3 解析：因为y＝cs 2x＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))) ，而y＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋\f(π,2))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) ，所以y＝cs 2x的图象向右平移 eq \f(π,3) 个单位长度可得到y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) 的图象．
答案：B
跟踪训练2 解析：(1)∵y＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) ＝3sin 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8))) ＝3sin 2(x＋φ)，∴2φ＝ eq \f(π,4) ，∴φ＝ eq \f(π,8) ，故需将函数y＝3sin 2x的图象向左平移 eq \f(π,8) 个单位长度．故选C.
(2)∵y＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,4))) ＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－3x)))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－3x)) ＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12))))) ，∴将y＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12))))) 的图象向左平移 eq \f(π,12) 个单位长度就可以得到y＝sin (－3x)的图象．故选D.
答案：(1)C (2)D
例4
所以f(x)＝3cs x．
跟踪训练3 解析：y＝cs x→y＝csx2→y＝cs12(x−π4)＝cs(x2−π8).
答案：y＝cs(x2−π8)
[课堂十分钟]
1．解析：根据图象变换的方法，y＝sin x的图象向左平移π3个单位长度后得到y＝sin(x+π3)的图象．
答案：D
2．解析：由图象的周期变换可知，A正确．
答案：A
3．解析：将函数y＝cs 3x的图象，向左平移π15个单位长度，可得函数y＝cs(3x+π5)的图象，
故选A.
答案：A
4．解析：把函数y＝sin x的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y＝sin(x+π3)的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数y＝sin(2x+π3)的图象．
答案：y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
5．解析：(1)列表：
描点连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数一个周期内的图象，如图所示．
(2)方法一：①把y＝sin x图象上所有的点向右平移π4个单位长度，得到y＝sin(x-π4)的图象；
②把y＝sin(x-π4)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(12x−π4)的图象；
③将y＝sin(12x−π4)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin(12x−π4)的图象．
方法二：①把y＝sin x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin12x的图象；
②把y＝sin12x图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到y＝sin12(x−π2)＝sin (12x−π4)的图象；
③将y＝sin(12x−π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin (12x−π4)的图象．
易错原因
纠错心得
错因1：审题不清，没有弄清哪一个函数图象变换得另一个函数图象；
错因2：平移的单位长度由于忽视x的系数导致错误．
在解决三角函数图象的平移变换时，注意以下几点：
(1)平移之前应先将函数解析式化为同名的函数；
(2)弄清楚平移的方向，即要清楚平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
(3)平移的单位数是针对单一自变量x而言的，不是ωx＋φ中的φ，而是φω.
x
－ eq \f(π,3)
eq \f(2π,3)
eq \f(5π,3)
eq \f(8π,3)
eq \f(11π,3)
t
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
y
0
2
0
－2
0
x
－ eq \f(π,8)
eq \f(π,8)
eq \f(3π,8)
eq \f(5π,8)
eq \f(7π,8)
2x＋ eq \f(π,4)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
y
0
eq \r(2)
0
－ eq \r(2)
0
eq \f(1,2) x－ eq \f(π,4)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
eq \f(π,2)
eq \f(3π,2)
eq \f(5π,2)
eq \f(7π,2)
eq \f(9π,2)
y
0
3
0
－3
0