新高考数学二轮复习讲义专题07 任意角的三角函数、诱导公式及恒等式（2份打包，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习讲义专题07 任意角的三角函数、诱导公式及恒等式（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮复习讲义专题07任意角的三角函数诱导公式及恒等式原卷版doc、新高考数学二轮复习讲义专题07任意角的三角函数诱导公式及恒等式解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。

1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
3.任意角的三角函数
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
三个三角函数的性质如下表：
4．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan α eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
5．三角函数的诱导公式
6．常见特殊角的三角函数值
7．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1) sin(αβ)＝sin αcs βcs αsin β；
(2) cs(αβ)＝cs αcs βsin αsin β；
(3) tan(αβ)＝．
8．二倍角公式
(1)基本公式：
①sin 2α＝2sin αcs α；
②cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
③tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
(2)公式变形：
由cs 2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α可得
降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)；sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)；
升幂公式：cs 2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
9．辅助角公式
asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋θ). （其中 SKIPIF 1 < 0 ）
＝eq \r(a2＋b2)cs(x—φ). （其中 SKIPIF 1 < 0 ）
【方法技巧】
1．求三角函数值
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
2．同角三角函数基本关系式的应用
(1)利用sin2α＋cs2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
3．诱导公式
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．
如cs(5π－α)＝cs(π－α)＝－cs α.
4．三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
(3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cs2α＝taneq \f(π,4).
5．给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
6．已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．
7．利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
= 1 \* GB4 \* MERGEFORMAT ㈠分析式子结构，正确选用公式形式：
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(1)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
(2)熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：
①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
②1－tan αtan β＝eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)；
③tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；
④tan α·tan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β).
提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．
= 2 \* GB4 \* MERGEFORMAT ㈡化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“eq \r(3)”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan eq \f(π,4)”，“eq \r(3)＝tan eq \f(π,3)”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．
【核心题型】
题型一：定义法求三角函数值
1．（2022·吉林延边·高三阶段练习）若点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由题意知:9= SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 =2,所以 SKIPIF 1 < 0 ,故选D.
2．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边上有一点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据三角函数定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，再利用三角恒等变换和同角三角函数之间的基本关系即可求得结果.
【详解】角 SKIPIF 1 < 0 的终边上有一点 SKIPIF 1 < 0 ，
根据三角函数定义得 SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
3．（2021秋·江苏扬州·高三邵伯高级中学校考阶段练习）已知锐角 SKIPIF 1 < 0 终边上一点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则角 SKIPIF 1 < 0 的弧度数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】先根据定义得 SKIPIF 1 < 0 正切值，再根据诱导公式求解
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为锐角，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
题型二：利用三角函数符号判断角所在象限
4．（2017·全国·校联考二模）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是( )
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【分析】运用诱导公式先化简后根据符号定象限.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是第一或第四象限的角，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是第三或第四象限的角，
综上， SKIPIF 1 < 0 是第四象限的角.
故选：D.
5．（2019秋·河北衡水·高三统考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则点P SKIPIF 1 < 0 所在的象限是( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【详解】试题分析：∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是第三象限角，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴点P在第四象限.
考点：三角函数值符号判断.
6．（2022·浙江·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“角 SKIPIF 1 < 0 为第一或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要
【答案】B
【分析】利用定义法进行判断.
【详解】充分性：当 SKIPIF 1 < 0 时，不妨取 SKIPIF 1 < 0 时轴线角不成立.故充分性不满足；
必要性：角 SKIPIF 1 < 0 为第一或第四象限角，则 SKIPIF 1 < 0 ，显然成立.
故选：B.
题型三：知一求二
7．（2021秋·福建三明·高三三明市第二中学校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】将题设条件等式两边平方，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再将目标式平方并结合角的范围即可求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
8．（2022秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】先把已知的等式平方得到 SKIPIF 1 < 0 ，再化简代入即得解.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A．
9．（2022秋·安徽滁州·高三校考阶段练习）在三角形 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 解出A，B，C的正余弦值，将等式化简后代入，解出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
题型四：齐次式法求值
10．（2022秋·辽宁抚顺·高三校联考阶段练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，根据二倍角公式及同角的三角函数关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得答案.
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
11．（2022秋·云南昆明·高三校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】先对原式利用两角和与差的正余弦公式化简，然后再利用同角三角函数的关系化简变形，再代值计算即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
12．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简已知等式可求得 SKIPIF 1 < 0 ，结合二倍角公式，由正余弦齐次式的求法可求得结果.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
题型五：整体代换法诱导公式化简求值
13．（2014·高三课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，化简则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得结果.
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故选C.
【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
14．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据正切的和差公式求解即可．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据诱导公式进行三角恒等变换，根据已知三角函数值和角的范围进一步细化角的范围，再利用同角的三角函数基本关系式即可求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为负值，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型六：给值求角
16．（2022秋·山东青岛·高三青岛二中校考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式求出 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
17．（2022秋·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】利用二倍角的正切公式求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 结合两角和的正切公式求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 的范围，即可得出 SKIPIF 1 < 0 的范围，即可得解.
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
18．（2022·河南·安阳一中校联考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值为_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】注意到 SKIPIF 1 < 0 ，利用诱导公式和两角和的正弦公式求解，注意 SKIPIF 1 < 0 范围的确定.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，注意到
SKIPIF 1 < 0 ，于是
SKIPIF 1 < 0 ，不妨记
SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 （负值舍去），又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （正值舍去），于是计算可得：
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，于是
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型七：利用三角函数恒等变换解决三角函数性质问题
19．（2023·全国·高三专题练习）以下关于 SKIPIF 1 < 0 的命题，正确的是（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
B．直线 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 图象的一条对称轴
C．点 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 图象的一个对称中心
D．将函数 SKIPIF 1 < 0 图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，可得到 SKIPIF 1 < 0 的图象
【答案】D
【分析】根据三角函数恒等变换化简 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，计算出 SKIPIF 1 < 0 ，根据正弦函数的单调性，可判断A;采用代入验证的方法可判断 SKIPIF 1 < 0 ;根据三角函数的平移变换可得平移后的函数解析式，判断D.
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由于函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 不单调，
故函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上不是单调递增函数，A错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 不是函数 SKIPIF 1 < 0 图象的对称轴，B错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故点 SKIPIF 1 < 0 不是函数 SKIPIF 1 < 0 图象的对称中心，C错误；
将函数 SKIPIF 1 < 0 图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，可得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，D正确，
故选：D
20．（2021秋·陕西榆林·高三陕西省神木中学校考阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．0
【答案】A
【分析】利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，根据正弦函数的性质即可求解最小值．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
21．（2021秋·北京昌平·高三昌平一中校考期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求函数的 SKIPIF 1 < 0 最小值及相应的 SKIPIF 1 < 0 值；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的增区间（直接写出结论）.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取得最小值为 SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数解析式可得 SKIPIF 1 < 0 ，再求值即可.
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可得解.
（3）利用正弦函数的单调性即可求解.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取得最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
（3）令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 的增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
题型八：三角恒等变换与平面向量结合问题
22．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据向量垂直得出 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，以及正弦、余弦倍角公式即可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
结合 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以原式 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
23．（2022春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 列方程化简可求得结果；
（2）由向量的数量积运算结合三角函数恒等变换公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可求出函数的增区间.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由上式可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
24．（2020秋·吉林·高三校考期中）已知向量 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
(1)用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 .
(2)求函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值及 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)最小值为-1，此时 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用向量数量积运算公式及三角恒等变换得到 SKIPIF 1 < 0 ，再由向量线性运算法则及模长公式求出 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）在第一问的基础上，化简得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值，及此时 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
故当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，且最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
【高考必刷】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】两边平方得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，，再分 SKIPIF 1 < 0 为偶数和 SKIPIF 1 < 0 为奇数两种情况讨论求解即可.
【详解】解：由 SKIPIF 1 < 0 ，平方得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 位于第二象限， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不成立，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 位于第四象限， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，成立.
∴角 SKIPIF 1 < 0 的终边在第四象限.
故选：D.
【点睛】本题考查正弦的二倍角公式，根据三角函数的符号求角的范围，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题解题的关键在于根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据函数符号得 SKIPIF 1 < 0 的范围，再分类讨论求解.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，则在 SKIPIF 1 < 0 内的 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由第一象限点的坐标的符号列出三角函数的不等式，根据三角函数的性质求解，结合 SKIPIF 1 < 0 ，求出角 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【详解】由已知点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限得：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
【点睛】本题的考点是利用三角函数性质求三角函数的不等式，需要根据题意列出三角函数的不等式，再由三角函数的性质求出解集，结合已知的范围再求出交集，属于中档题．
3．（广东省河源市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知角 SKIPIF 1 < 0 的顶点为坐标原点，始边与 SKIPIF 1 < 0 轴的非负半轴重合，终边过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用三角函数定义和诱导公式六得出点 SKIPIF 1 < 0 与角 SKIPIF 1 < 0 的关系，再利用诱导公式一即可计算出结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，得到点 SKIPIF 1 < 0 在第四象限，即 SKIPIF 1 < 0 为第四象限角，
由三角函数定义得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
4．（2022秋·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合已知可求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出 SKIPIF 1 < 0 .
5．（2021秋·广东梅州·高三梅州市梅江区梅州中学校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 .
所以选A.
【点睛】本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.
6．（2022·全国·高三专题练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】A
【分析】先根据诱导公式化简得 SKIPIF 1 < 0 ,再结合半角公式整理得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】由诱导公式化简整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
故选：A
【点睛】本题考查诱导公式化简，半角公式，同角三角函数关系，考查运算求解能力，本题解题的关键在于寻找 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的关系，从半角公式入手化简整理.考生需要对恒等变换的相关公式熟记.
7．（2021·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由所给等式利用同角三角函数的关系可求得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用降幂公式及二倍角公式将 SKIPIF 1 < 0 整理为 SKIPIF 1 < 0 ，代入相应值即可得解.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选：C
【点睛】关键点睛：本题考查同角三角函数的关系、降幂公式、二倍角公式，解答本题的关键是由条件有 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可解，属于中档题.
8．（2020秋·江苏苏州·高三校联考阶段练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．1B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】A
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ，转化为 SKIPIF 1 < 0 ，结合数量积的坐标运算得出 SKIPIF 1 < 0 ，然后将所求代数式化为
SKIPIF 1 < 0 ，并在分子分母上同时除以 SKIPIF 1 < 0 ，利用弦化切的思想求解．
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选A．
【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言，弦化切思想应用于以下两方面：
（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角 SKIPIF 1 < 0 弦的 SKIPIF 1 < 0 次分式齐次式，分子分母同时除以 SKIPIF 1 < 0 ，可以将分式由弦化为切；
（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角 SKIPIF 1 < 0 的二次整式，然后除以 SKIPIF 1 < 0 化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以 SKIPIF 1 < 0 可以实现弦化切．
9．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）若 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ，
【答案】D
【分析】由已知和 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，再代入两角和的正切展开式可得答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
10．（2022·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．4
【答案】A
【分析】根据正切两角差公式，凑角得 SKIPIF 1 < 0 的值，再将所求式子利用平方公式和正弦二倍角公式化成齐次式，再利用商数关系，化成含 SKIPIF 1 < 0 的式子，代入求值即可.
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A.
11．（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】B
【分析】由导数的几何意义求出曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线的斜率，由此可得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合二倍角公式和同角关系求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
12．（2022秋·河南郑州·高三温县第一高级中学校联考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】先求出 SKIPIF 1 < 0 ，再分析得到 SKIPIF 1 < 0 ，即得解.
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
13．（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据切化弦公式及逆用二倍角公式求解即可．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
14．（2018·高三课时练习）已知在△ABC中，cs SKIPIF 1 < 0 ＝－ SKIPIF 1 < 0 ，那么sin SKIPIF 1 < 0 ＋csA＝( )
A． SKIPIF 1 < 0 B．－ SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为cs＝－，即cs＝－，所以sin＝－，则sin＋csA＝sinAcs＋csAsin＋csA＝sin＝－.故选B.
15．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】对 SKIPIF 1 < 0 进行通分化简，再左右两边同时平方且 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到答案
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
16．（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，化简得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入计算得到答案.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
17．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是第二象限的角，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．-5
【答案】D
【分析】先通过三角恒等变换构造齐次式求出 SKIPIF 1 < 0 ，再估算 SKIPIF 1 < 0 的范围，进而求得结论．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是第二象限的角，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ 原式 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
18．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的范围即可求出结果.
【详解】由已知可将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以选项A，B错误，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．则C错，D对，
故选：D
19．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都是锐角，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间的关系是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】推导出 SKIPIF 1 < 0 ，可得出 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，即可得解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都是锐角，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都是锐角，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 不能取（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】化简 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，求出函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再分别令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 求出整数 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得答案.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
又函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，不成立；所以 SKIPIF 1 < 0 不可取；
当 SKIPIF 1 < 0 时，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 可取到；
当 SKIPIF 1 < 0 时，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 可取到；
当 SKIPIF 1 < 0 时，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 可取到.
综上所述： SKIPIF 1 < 0 不能取 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
21．（2023秋·广西河池·高三统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴为 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 的一个对称中心为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 的图象可由 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到
【答案】C
【分析】化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用代入检验法可判断AB的正误，利用正弦函数的性质可判断C的正误，求出平移后的解析式可判断D的正误.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不是对称轴，故A错误.
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 的一个对称中心，
故B错误.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
故C正确.
SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 后对应的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，此时函数对应的函数值为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不是同一函数，故D错误.
故选：C.
22．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有且仅有1个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换化简 SKIPIF 1 < 0 ，再根据余弦函数的图像和性质求解即可.
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有且仅有1个零点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
23．（2022秋·甘肃兰州·高三兰州一中校考阶段练习）已知：函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法错误的是（ ）
A．将 SKIPIF 1 < 0 的图像向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度得 SKIPIF 1 < 0 的图像
B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 的图像关于点 SKIPIF 1 < 0 对称
【答案】C
【分析】对函数化简变形得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用正弦函数的图像与性质依次判断选项即可.
【详解】化简 SKIPIF 1 < 0
对于A，将 SKIPIF 1 < 0 的图像向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度得 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的图像关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，故D正确；
故选：C
二、多选题
24．（2022秋·福建·高三统考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为锐角，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【分析】利用两角和差正弦公式化简已知等式可求得 SKIPIF 1 < 0 ，知A错误；由 SKIPIF 1 < 0 的范围可求得 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 的范围可知B正确；由已知等式可求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用同角三角函数平方关系可构造方程求得 SKIPIF 1 < 0 的值，知C正确；利用二倍角正切公式化简 SKIPIF 1 < 0 可求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而知D错误.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
对于A，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，D错误.
故选：BC.
25．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，则下列说法错误的是（ ）
A．将 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象
B．函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴
D．点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个对称中心
【答案】BCD
【分析】由已知可得 SKIPIF 1 < 0 .根据平移变换得出解析式，即可判断A项；根据周期公式求出函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期，即可判断B项；整理代入即可判断C、D项.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
对于A项，将 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到函数 SKIPIF 1 < 0 ，故A项说法正确；
对于B项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,故B项说法错误；
对于C项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 的对称轴，故C项说法错误；
对于D项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 的对称中心，故D项说法错误.
因本题选择的是说法错误的，所以应当选择BCD.
故选：BCD.
26．（2022·浙江·模拟预测）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期是 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
C． SKIPIF 1 < 0 的图象向左移 SKIPIF 1 < 0 个单位，图像关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称
D． SKIPIF 1 < 0 取最大值时，x的取值集合为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【分析】化简 SKIPIF 1 < 0 ，根据最小正周期是 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，再根据正弦型函数的单调性、图像平移与对称性，结合对称轴方程逐个判断即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
选项A： SKIPIF 1 < 0 .判断错误；
选项B：由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.判断正确；
选项C： SKIPIF 1 < 0 的图象向左移 SKIPIF 1 < 0 个单位，可得 SKIPIF 1 < 0 ，图像不关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称.判断错误
选项D：由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 取最大值时，x的取值集合为 SKIPIF 1 < 0 .判断正确.
故选：BD
27．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】根据二倍角公式，诱导公式，同角三角函数关系依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B选项，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为第二或第四象限角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为第四象限角）或 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为第二象限角），故B错误；
对于C选项，由于 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
故选：ACD
28．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【分析】根据商的关系化简条件可求 SKIPIF 1 < 0 ，利用平方关系求 SKIPIF 1 < 0 ，再由商的关系求 SKIPIF 1 < 0 ，再利用 SKIPIF 1 < 0 ，结合二倍角公式及同角三角函数关系求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故A错误，B正确．
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故C错误，D正确．
故选：BD.
三、填空题
29．（2022·高一课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，则 SKIPIF 1 < 0 _________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再运用余弦、正弦和和差公式，以及同角三角函数间的关系，代入可得答案.
【详解】解：由已知得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
30．（2018·高三课时练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值等于________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##-0.5
【分析】由已知条件求出 SKIPIF 1 < 0 的值，即可求解
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
31．（2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为锐角，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】计算 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 解得答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
32．（2022秋·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】对条件和结论分别作恒等变换，再运用二倍角公式即可求解.
【详解】由条件： SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
33．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由平方关系求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再求出 SKIPIF 1 < 0 即可得解.
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
34．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用同角三角函数的基本关系结合两角差的余弦公式可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，即可得解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
35．（2022秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）已知角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】化简 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 的范围，即可求出结果.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
36．（2022春·海南省直辖县级单位·高一海南二中校考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是第三象限角， SKIPIF 1 < 0 ，求
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系及两角差的余弦公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及同角三角函数的商数关系及两角和的正切公式即可求解.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是第三象限角， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
37．（2020秋·上海宝山·高三上海市行知中学校考期中）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求x的值.
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值，并求出相应 SKIPIF 1 < 0 的取值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取最大值 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】(1)根据向量垂直的坐标表示列方程，结合正切函数性质解方程可得；
(2)根据数量积的坐标运算公式和三角恒等变换公式化简 SKIPIF 1 < 0 ，再由正弦函数性质求其最值及相应的 SKIPIF 1 < 0 的取值.
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取最大值 SKIPIF 1 < 0 .
38．（2021秋·安徽滁州·高三校考阶段练习）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 定义函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的值域；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 图像上的两点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标分别为和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用向量点乘的坐标公式，辅助角公式将 SKIPIF 1 < 0 进行化简后求值域即可；
（2）求出 SKIPIF 1 < 0 坐标，利用两点间的距离公式得到 SKIPIF 1 < 0 的长度，判断出 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，从而易得其 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ，依题意， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理， SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 的面积为： SKIPIF 1 < 0 .
39．（2021秋·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示结合三角恒等变换、诱导公式求解；
（2）利用三角函数的性质求解.
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
∵函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又∵ SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
40．（2022秋·江西九江·高三校联考阶段练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由三角恒等变换得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得最小正周期；
（2）先求得 SKIPIF 1 < 0 ，再求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期 SKIPIF 1 < 0
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ,
∴当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域是 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝eq \f(π,180) rad；1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
弧长l＝αr
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)αr2
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
sin α
R
＋
＋
－
－
cs α
R
＋
－
－
＋
tan α
{α|α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}
＋
－
＋
－
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cs α
cs α
余弦
cs α
－cs α
cs α
－cs α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
口诀
奇变偶不变，符号看象限
n
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
2π
sin SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
1
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
-1
0
cs SKIPIF 1 < 0
1
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
- SKIPIF 1 < 0
- SKIPIF 1 < 0
- SKIPIF 1 < 0
-1
0
1
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
1
SKIPIF 1 < 0
- SKIPIF 1 < 0
-1
- SKIPIF 1 < 0
0
0