新高考数学二轮复习讲义专题10 导数在函数中的应用（2份打包，原卷版+解析版）

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1．导数的概念
(1)如果当Δx→0时，平均变化率eq \f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq \f(Δy,Δx)有极根，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，
并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或 SKIPIF 1 < 0 ，
即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，
相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
4．导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
6．函数的单调性与导数的关系
7．利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数
y＝f(x)在定义域内的单调性．
8．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
9．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【方法技巧】
1．(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”：在“点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，不一定在曲线上．
2．根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
3．函数极值的两类热点问题
(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤
①确定函数的定义域．
②求导数f′(x)．
③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根．
④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．
(2)根据函数极值情况求参数的两个要领
①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
②验证：求解后验证根的合理性．
【核心题型】
题型一：由函数的单调区间求参数
1．（2022·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考三模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2020·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若对于 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 都 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2019·四川达州·统考一模）若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的减函数，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型二：由函数在区间上单调性求参数
4．（2022·宁夏吴忠·吴忠中学校考三模）若函数 SKIPIF 1 < 0 ，在定义域内任取两个不相等的实数 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·安徽·南陵中学校联考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型三：含参数的分类讨论问题
7．（2023·全国·高三专题练习）若 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极大值点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．（2023秋·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 有四个不同的零点，则a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．（2020·全国·高三专题练习）已知不等式ex﹣x﹣1＞m[x﹣ln（x+1）]对一切正数x都成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，e]
题型四：根据极值（点）求参数问题
10．（2021秋·四川泸州·高三四川省泸县第二中学校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．（2022·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 存在极大值点和极小值点，则实数 SKIPIF 1 < 0 可以取的一个值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．（2022·陕西西安·西安中学校考二模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 的不同实根个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
题型五：由导数求函数的最值问题
13．（2022·安徽·巢湖市第一中学校联考模拟预测）已知不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
14．（2022秋·湖南郴州·高三校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 若方程 SKIPIF 1 < 0 恰有3个不同的实根，则实数a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
15．（2021秋·河南驻马店·高三校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型六：由函数最值求参数问题
16．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
17．（2022·辽宁丹东·统考一模）设 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
18．（2022秋·河南洛阳·高三校联考阶段练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则a的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型七：函数的单调性 极值和最值问题综合
19．（2023·全国·模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的最值；
(2)若关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数k的取值范围．
20．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为常数， SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数.
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
21．（2023·广东广州·统考二模）已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【高考必刷】
一、单选题
22．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）函数 SKIPIF 1 < 0 ，则满足不等式 SKIPIF 1 < 0 的实数x的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
23．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
24．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点为 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
25．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
26．（2023·全国·模拟预测）函数 SKIPIF 1 < 0 恰有3个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
27．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）在区间 SKIPIF 1 < 0 上总存在零点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
28．（2022秋·新疆·高三校联考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 均满足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的导数，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 有四个不同的零点，从小到大依次为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
30．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 存在两个极小值点,则 SKIPIF 1 < 0 的取值可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
31．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处有极值，且极值为8，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 有三个零点
B． SKIPIF 1 < 0
C．曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0
D．函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数
32．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当m＞0时，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0
B．当m＝l时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
C．当m＝l时，函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为1
D．若 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0
34．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数
B． SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则正实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
三、填空题
35．（2023·全国·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为2，则实数 SKIPIF 1 < 0 __________.
36．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的两个极值点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______．
37．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的一个零点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________．
38．（2022·湖南郴州·安仁县第一中学校考模拟预测） SKIPIF 1 < 0 的两个极值点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为________.
四、解答题
39．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)对 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
40．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数a的取值范围．
41．（2023·四川凉山·统考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
42．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 有三个零点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(a>0且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)>0
f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)<0
f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0
f(x)在(a，b)上是常数函数