新高考数学二轮复习讲义专题12 平面向量 （2份打包，原卷版+解析版）

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考的一．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
考点二．向量的线性运算
考点三.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
考点四．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，
使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
考点五．平面向量的坐标表示
(1)向量及向量的模的坐标表示
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(2)平面向量的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)．
考点六．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.
考点七.向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π].
考点八.平面向量的数量积
考点九.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
考点十.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
【方法技巧】
求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
【核心题型】
题型一：平面向量的基础知识
1．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量 SKIPIF 1 < 0 ，必有 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】对于A：根据单位向量的概念即可判断；对于B：根据共线向量的定义即可判断；对于C：分类讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断；对于D：根据向量不能比较大小即可判断.
【详解】依题意，
对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故错误；
对于C，若 SKIPIF 1 < 0 同向共线， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 反向共线， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 不共线，根据向量加法的三角形法则及
两边之和大于第三边知 SKIPIF 1 < 0 .
综上可知对于任意向量 SKIPIF 1 < 0 ，必有 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故错误.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是单位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据向量模的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用向量的线性运算，结合向量模的定义即可求解.
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
3．（2022·河南·校联考一模）下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
B．若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若G为 SKIPIF 1 < 0 的外心，则 SKIPIF 1 < 0
D．若O为 SKIPIF 1 < 0 的垂心，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】A向量共线知向量所在直线平行或共线；B由零向量与任意向量都平行；C由向量相加不可能等于标量；D利用向量减法的几何含义，结合垂心的性质，即可判断各选项的正误.
【详解】A：若 SKIPIF 1 < 0 共线，则A，B，C，D在同一直线上或 SKIPIF 1 < 0 ，错误；
B：若 SKIPIF 1 < 0 为零向量，由任意向量都与零向量平行知，此时 SKIPIF 1 < 0 不一定平行，错误；
C：若G为 SKIPIF 1 < 0 的外心，有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 不可能等于标量0，错误；
D：O为 SKIPIF 1 < 0 的垂心，由 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，正确.
故选：D.
题型二：平面向量的线性运算
4．（2023·湖南永州·统考二模）设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 所在平面内一点， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】运用平面向量加法规则计算.
【详解】
依题意作上图，则 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：D.
5．（2023秋·广西河池·高三统考期末）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且 SKIPIF 1 < 0 ，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】B
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据三点共线向量性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合均值不等式即可求出结果．
【详解】由于M为线段BC的中点，则 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 三点共线，则 SKIPIF 1 < 0 ，化得 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立， SKIPIF 1 < 0 的最小值为1
故选：B
6．（2022·河南·校联考模拟预测）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线AM交BN于点Q， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】把 SKIPIF 1 < 0 用 SKIPIF 1 < 0 表示，然后由三点 SKIPIF 1 < 0 共线可得．
【详解】由题意得， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为Q，M，A三点共线，故 SKIPIF 1 < 0 ，化简整理得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
题型三：平面向量的共线定理
7．（2023·全国·高三专题练习） SKIPIF 1 < 0 的外心 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】B
【分析】从 SKIPIF 1 < 0 这个条件可以考虑设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 三点共线可求.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0
即为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 三点共线且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，
由垂径定理得 SKIPIF 1 < 0 ，代入数据得 SKIPIF 1 < 0 ,
解之： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，M，N分别是线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D，E是线段 SKIPIF 1 < 0 上的两个动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的的最小值是（ ）
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】B
【分析】根据平面向量共线定理可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再结合 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，最后运用基本不等式可求解.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
所以 SKIPIF 1 < 0 的的最小值是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 相交于不同两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，若平面上一动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由题意，判断得点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 外，从而得 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，进而表示出 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，
且点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 外，因为点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由数量积的定义可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选:C.
题型四：平面向量的基本定理
10．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 分别在边 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据题意过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，先利用三角形相似求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用向量的线性运算即可求解.
【详解】过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
11．（2022秋·甘肃武威·高三统考阶段练习）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用向量的线性运算求得 SKIPIF 1 < 0 ，由此求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D
12．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中，E是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于O．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】先以 SKIPIF 1 < 0 为基底表示 SKIPIF 1 < 0 ，再利用向量的数量积把 SKIPIF 1 < 0 转化为关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，即可求得 SKIPIF 1 < 0 的长
【详解】在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中，E是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于O．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，解之得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解之得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的长为4
故选：C
题型五：平面向量的坐标运算
13．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知点 SKIPIF 1 < 0 和数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 分别为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．0
【答案】D
【分析】根据题意分析可得数列 SKIPIF 1 < 0 均是周期为6的数列，运算求解即可得结果.
【详解】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即数列 SKIPIF 1 < 0 均是周期为6的数列，而 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
故选：D.
14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】B
【分析】方法1：由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 代入可反解得 SKIPIF 1 < 0 ，最后根据 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
方法2：建立平面直角坐标系，表示出点的坐标转化为坐标运算可求得结果.
【详解】方法1：在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，（平面向量基本定理的应用）
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
方法2：如图，以A为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立平面直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
即： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
由②得 SKIPIF 1 < 0 ，将其代入①得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点D满足 SKIPIF 1 < 0 ，E为 SKIPIF 1 < 0 的外心，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】利用向量的数量积求得 SKIPIF 1 < 0 ，以O为原点，建立平面直角坐标系，再利用向量的坐标运算可得解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
以O为原点，OA，垂直于OA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又E为 SKIPIF 1 < 0 的外心， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
题型六：平面向量的数量积问题
16．（2023·四川成都·统考一模）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】在平面内一点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，计算出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，利用向量三角不等式可求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【详解】在平面内一点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，则 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 同向时，等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
17．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在线段BD上取点E，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】分析得到∠AEB是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角，利用向量基本定理得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用向量数量积公式得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而利用夹角余弦公式求出答案.
【详解】由题意知：∠AEB是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
18．（2023·四川绵阳·统考二模）如图，在边长为2的等边 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 为中线 SKIPIF 1 < 0 的三等分点（靠近点 SKIPIF 1 < 0 ），点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由已知可推得， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据平面向量数量积的运算求解即可得出结果.
【详解】由已知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
由已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
题型七：平面向量的几何应用
19．（2022·福建厦门·厦门市湖滨中学校考模拟预测）已知A，B是圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点， SKIPIF 1 < 0 ，P是圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 ，数形结合即可求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，即可得解.
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 是圆心为 SKIPIF 1 < 0 半径为1的圆， SKIPIF 1 < 0 是圆心为 SKIPIF 1 < 0 半径为1的圆，
设 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由垂径定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
20．（2022·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）在平面内，定点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点P，M满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据题意得到 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，且 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中心，结合题设条件求得 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 为边长为 SKIPIF 1 < 0 的正三角形，以 SKIPIF 1 < 0 为原点建立直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解.
【详解】由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 三点的距离相等，可得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外心，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的垂心，
所以 SKIPIF 1 < 0 的外心与垂心重合，所以 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，且 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中心，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为边长为 SKIPIF 1 < 0 的正三角形，
如图所示，以 SKIPIF 1 < 0 为原点建立直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
21．（2022·全国·高三专题练习） SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，PQ为 SKIPIF 1 < 0 内切圆的一条直径，M为 SKIPIF 1 < 0 边上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】易知 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，利用等面积法可得内切圆半径 SKIPIF 1 < 0 ，设内切圆圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 为直径，可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，整理 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据 SKIPIF 1 < 0 的运动情况来求解.
【详解】由题可知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
设内切圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
设内切圆圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 内切圆的一条直径，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为M为 SKIPIF 1 < 0 边上的动点，所以 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
题型八：平面向量的综合问题
22．（2022·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， 函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的值域;
(2)函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有 10 个零点， 求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，结合三角恒等变换得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据三角函数性质求解即可；
（2）由题知 SKIPIF 1 < 0 ，再根据三角函数性质得 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式即可得答案.
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：令 SKIPIF 1 < 0 ， 即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有10个零点，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有10个实数根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， 解得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
23．（2023·高三课时练习）已知点G为 SKIPIF 1 < 0 的重心．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)3
【分析】（1）根据已知得出 SKIPIF 1 < 0 与三边所在向量的关系，即可根据向量的运算得出答案；
（2）根据已知得出 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据M、N、G三点共线，结合向量运算与向量相等的定义列式整理，即可得出答案.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 点G为 SKIPIF 1 < 0 的重心，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
（2） SKIPIF 1 < 0 点G为 SKIPIF 1 < 0 的重心，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，
SKIPIF 1 < 0 存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
根据向量相等的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
消去 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
两边同除 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 .
24．（2022·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N．
(1)若Q是BC的中点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若P是平面上一点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）由向量的加法和数量积运算将 SKIPIF 1 < 0 转化为 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 的值和 SKIPIF 1 < 0 的范围可求得结果.
（2）令 SKIPIF 1 < 0 可得点T 在BC上，再将 SKIPIF 1 < 0 转化为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的范围可求得结果.
【详解】（1）因为直线l过中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N．
所以O为MN的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
因为Q是BC的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即的 SKIPIF 1 < 0 取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴点T 在BC上，
又因为O为MN的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【高考必刷】
一、单选题
25．（2023·四川·石室中学校联考模拟预测）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．7B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据向量数量积的运算，先求 SKIPIF 1 < 0 ，再根据同角三角函数基本关系是求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】由已知，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为锐角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
26．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）若非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】对 SKIPIF 1 < 0 两边同时平方可求出 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，由向量的夹角公式代入即可得出答案.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
27．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 的外接圆圆心为O，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据题意可知△ SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，△ SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边中点，
因为 SKIPIF 1 < 0 是△ SKIPIF 1 < 0 的外接圆圆心，所以△ SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，
且 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以△ SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
28．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）如图,在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 的中点, SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上靠近 SKIPIF 1 < 0 的三等分点,若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．8
【答案】A
【分析】将 SKIPIF 1 < 0 通过平面向量基本定理转化到 SKIPIF 1 < 0 上,展开计算,再将 SKIPIF 1 < 0 代入即可求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】解:由题知 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
记 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
解得: SKIPIF 1 < 0 (舍)或 SKIPIF 1 < 0 .
故选:A
29．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据题意，求出 SKIPIF 1 < 0 ，建立平面直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，求出轨迹方程，利用几何意义即可求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可知, SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
如图建立坐标系， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的终点在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心,1为半径的圆上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，几何意义为 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 距离的2倍，
由儿何意义可知 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
30．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点D在线段 SKIPIF 1 < 0 上，点E在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点F，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由已知可得AB＝4，AC＝3，设 SKIPIF 1 < 0 ，根据平面向量的线性运算，推出 SKIPIF 1 < 0 ，由B，E，F三点共线求得λ，再将 SKIPIF 1 < 0 表示成以 SKIPIF 1 < 0 为基底的向量，由平面向量数量积的运算法则得答案．
【详解】
如图：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得AB＝4，AC＝3，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 三点共线， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选：C.
31．（2022·四川眉山·统考一模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与C交于点M，N，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时，椭圆C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据直线和椭圆的对称性可得 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,再由 SKIPIF 1 < 0 及向量的数量积可求 SKIPIF 1 < 0 ,再应用基本不等式,取等条件计算即可.
【详解】因为直线 SKIPIF 1 < 0 与C交于点M，N，
设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点,由 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点,故四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形.
则 SKIPIF 1 < 0 ,由椭圆定义得 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,又因 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ，应用余弦定理
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ,又因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取最小值,此时, SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
故选: SKIPIF 1 < 0 .
32．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上任一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．6D．8
【答案】D
【分析】利用共线定理求出定值，再用基本不等式即可求解.
【详解】由题知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上任一点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
二、多选题
33．（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【分析】画出三角形，应用向量线性表示，三角形法则，数量积关系逐项分析即可.
【详解】如图所示：
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选项A正确，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故C选项错误，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D正确，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确，
故选：ABD.
34．（2023·福建·统考一模）平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，对任意的实数t， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 为定值
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【分析】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据向量的运算逐项进行检验即可求解.
【详解】设平面向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为对任意的实数t， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，又 SKIPIF 1 < 0 ，
也即 SKIPIF 1 < 0 对任意的实数 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选项 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的变化而变化，故选项 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，由二次函数的性质可知：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ，故选项 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 向量上的一个单位向量 SKIPIF 1 < 0 ，由向量夹角公式可得： SKIPIF 1 < 0 ，
由投影向量的计算公式可得： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项 SKIPIF 1 < 0 正确，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
35．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）已知O为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【分析】利用平面向量的坐标表示与旋转角的定义推得 SKIPIF 1 < 0 是正三角形，从而对选项逐一分析判断即可.
【详解】对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 是正三角形，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 是正三角形， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外心，
所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：ABC．
.
36．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABCD
【分析】根据向量共线以及三角形的面积公式可判断A，根据不等式即可求解BCD.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
进而得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 故A正确，
由A知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 取等号，因此 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确，
SKIPIF 1 < 0 ,
同理 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号,
因此存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确,
故选：ABCD
三、填空题
37．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，请写出一个符合题意的向量 SKIPIF 1 < 0 的坐标______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，分析 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的关系，利用特殊值法可得答案.
【详解】根据题意，向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
38．（2023·全国·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点Q满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 中点为M，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据平面向量的线性运算可得 SKIPIF 1 < 0 ，得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大，此时 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
求出 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 中点为M，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，知P点轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为弦，圆周角为 SKIPIF 1 < 0 的优弧，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大，此时 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
39．（2023·陕西商洛·校考三模）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为单位向量，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】建立如图所示坐标系，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，求出点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程，由 SKIPIF 1 < 0 的几何意义可得 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 点的轨迹上的点到 SKIPIF 1 < 0 点的轨迹上的点的距离，从而可得出答案．
【详解】解：建立如图所示坐标系，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 知，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 上，
由题意 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由定弦所对的角为顶角可知点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是两个关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称的圆弧，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由对称性不妨只考虑第一象限的情况，
因为 SKIPIF 1 < 0 的几何意义为：圆弧 SKIPIF 1 < 0 的点到直线 SKIPIF 1 < 0 上的点的距离，
所以最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是建立平面直角坐标系，利用坐标法求出动点的轨迹，再结合解析几何的知识求出向量模的取值范围.
40．（2023·全国·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面向量，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影的数量的最小值是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，再结合条件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，表示出向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影的数量，从而求得最小值.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则
故向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影的数量为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影的数量的最小值是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
41．（2023·陕西渭南·统考一模）将函数 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 的所有交点从左到右依次记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ____________.
【答案】10
【分析】根据题意作出两个函数的图象分析交点个数，利用对称性化简向量的和即可求解.
【详解】如图可知：函数 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 共有5个交点，依次为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
∵函数 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 均关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：10.
四、解答题(共0分)
42．（2023·全国·高三专题练习） SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长度；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为角平分线，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）从向量角度，以 SKIPIF 1 < 0 为基底，表示出 SKIPIF 1 < 0 ，再用向量法计算 SKIPIF 1 < 0 的模长，即 SKIPIF 1 < 0 的长度；
（2）用正弦定理的面积公式分别A表示出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面积，列出等式计算即可求出A的正弦值，继而求出面积.
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 .
（2）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
43．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的内接四边形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，BC=2， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)设边AB，CD的中点分别为E，F，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由余弦定理与面积公式求解
（2）以 SKIPIF 1 < 0 为基底分解，由平面向量数量积的运算律求解
（1）解：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ∵A，B，C，D四点共圆，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（2）解：由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 即外接圆的直径，设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
44．（2022秋·广东广州·高三广州市第一一三中学校考阶段练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点O是 SKIPIF 1 < 0 的外心， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求角A；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 外接圆的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 周长的取值范围，
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由三角形外心的定义和向量数量积的几何意义对条件化简，然后利用正弦定理边化角，整理化简可得；
（2）先求外接圆半径，结合（1）和正弦定理将三角形周长表示为角C的三角函数，由正弦函数性质可得.
【详解】（1）过点O作AB的垂线，垂足为D，
因为O是 SKIPIF 1 < 0 的外心，所以D为AB的中点
所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理边化角得：
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
整理得： SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
（2）记 SKIPIF 1 < 0 外接圆的半径为R，
因为 SKIPIF 1 < 0 外接圆的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 周长 SKIPIF 1 < 0
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 周长的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：
a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|，
当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cs θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cs θ叫做向量a在b方向上的投影
|b|cs θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积
结论
符号表示
坐标表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))