新高考数学二轮复习讲义专题21 双曲线（2份打包，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习讲义专题21 双曲线（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮复习讲义专题21双曲线原卷版doc、新高考数学二轮复习讲义专题21双曲线解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。

1．双曲线的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.
2．双曲线的标准方程和几何性质
【方法技巧】
离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：
直接求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而求出 SKIPIF 1 < 0 ;
构造 SKIPIF 1 < 0 的齐次式，求出 SKIPIF 1 < 0 ;
采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;
根据圆锥曲线的统一定义求解．
2.轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法.
定义法：（1）判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义；
（2）设标准方程，求方程中的基本量
（3）求轨迹方程
相关点法：（1）分析题目：与动点 SKIPIF 1 < 0 相关的点 SKIPIF 1 < 0 在已知曲线上；
（2）寻求关系式， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（3）将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入已知曲线方程；
（4）整理关于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的关系式得到 SKIPIF 1 < 0 M的轨迹方程
【核心题型】
题型一：待定系数法求双曲线方程
1．（2023春·贵州·高三校联考）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的左支相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的右支相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得答案.
【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知： SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆周上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选:D.
2．（2022秋·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的两条渐近线均和圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 相切，且双曲线的右焦点为圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据条件转化为关于 SKIPIF 1 < 0 的方程组，即可求解.
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，整理为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线的渐近线方程 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
3．（2022秋·贵州贵阳·高二校联考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】不妨设A在第一象限，由条件可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据双曲线的对称性及条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，代入圆的方程 SKIPIF 1 < 0 ，可求 SKIPIF 1 < 0 ，由此确定双曲线方程.
【详解】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线的两条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设A在第一象限，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵四边形ABCD的面积为2b，
∴由对称性可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 1，
故选：D．
题型二：相同渐进性求双曲线方程
4．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且焦距为10，则双曲线C的标准方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据共渐近线 SKIPIF 1 < 0 的双曲线的设法 SKIPIF 1 < 0 ，结合题意分析求解．
【详解】渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 的双曲线为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
5．（2020·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的渐近线相同，则曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】先求得 SKIPIF 1 < 0 的渐近线，然后根据 SKIPIF 1 < 0 的渐近线相同列方程，解方程求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
【点睛】本小题主要考查同双曲线渐近线有关计算，属于基础题.
6．（2018秋·安徽池州·高三统考期末）双曲线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 关于一条渐近线 SKIPIF 1 < 0 的对称点恰为左焦点 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的标准方程为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据双曲线的渐近线方程可设双曲线方程，代入点 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解.
【详解】因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 一条渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，所以可设双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，将 SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，可得双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
题型三：直接法求离心率
7．（2023·陕西榆林·统考二模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的左、右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据双曲线定义联立方程组求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根据勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，进一步计算得出结果．
【详解】不妨设 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上,由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
根据双曲线定义 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B.
8．（2023·河南·统考模拟预测）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线上的点，且线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 在另一条渐近线上．若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由中位线可知 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出一条渐近线的斜率，据此得出离心率.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
9．（2023·新疆·统考一模）已知 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 之间），与双曲线 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的交点为 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据圆的几何性质，勾股定理，双曲线的几何性质，化归转化思想，画出图形分析即可求解.
【详解】依题意，可得如图所示：
设双曲线的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 ，所以半径 SKIPIF 1 < 0 ，
过圆心 SKIPIF 1 < 0 作弦 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线的离心率为： SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
【点睛】本题考查了圆的几何性质垂径定理，勾股定理，双曲线定义的运用，双曲线离心率的求法，解题过程中出现中点时可优先考虑中位线的性质，化归转化的过程中要充分考虑相关图形的性质.
题型四：构造齐次方程求离心率
10．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）过双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左焦点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的切线，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线右支于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】先确定 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 为△ SKIPIF 1 < 0 的中位线，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 切圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理得出关于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的关系式，最后即可求得离心率．
【详解】如图，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 为△ SKIPIF 1 < 0 的中位线，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 切圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 由勾股定理 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
11．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设 SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由双曲线的方程可得两焦点的坐标及渐近钱的方程，由题意求出 SKIPIF 1 < 0 的方程，与渐近线联立求出P的坐标，进而求出 SKIPIF 1 < 0 的值，由点到直线的距离公式，求 SKIPIF 1 < 0 的值，由由 SKIPIF 1 < 0 求出a，c的关系，进而求出离心率．
【详解】由双曲线的方程可得双曲线渐近线方程： SKIPIF 1 < 0 ，右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 到渐近线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
由渐近线的对称性，设渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，①
则直线 SKIPIF 1 < 0 方程为∶ SKIPIF 1 < 0 ②，
由①②可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，
左焦点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0
故选∶C·
12．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A是双曲线C的左顶点，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】C
【分析】方法一：根据已知条件分别表示出点A、P、Q的坐标，代入 SKIPIF 1 < 0 可得b与a的关系式，再由 SKIPIF 1 < 0 及离心率公式可求得结果.
方法二：运用极化恒等式及向量的加法、减法法则计算可得结果.
【详解】方法一：依题意，易得以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
又由双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，易得双曲线C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，如图，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 轴.
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
同理，当 SKIPIF 1 < 0 时，亦可得 SKIPIF 1 < 0 .
故双曲线C的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
方法二（极化恒等式）：易得坐标原点O为线段PQ的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
题型五：渐进性的综合问题
13．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点且斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 点在 SKIPIF 1 < 0 轴下方）,且 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由斜率关系可以确定 SKIPIF 1 < 0 与渐近线垂直,从而建立直角三角形,然后利用两渐近线与 SKIPIF 1 < 0 轴的夹角相等,得出直角三角形三边的长,从而找到 SKIPIF 1 < 0 的齐次式,进而求离心率.
【详解】如图所示,
因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,垂足为 SKIPIF 1 < 0 ;
易求得焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ;
由角平分线定理可得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ;
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
14．（2021·陕西榆林·陕西省神木中学校考模拟预测）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上，且 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据三角形两边之和大于第三边， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 共线时取等号，列出 SKIPIF 1 < 0 的不等式即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
故选：A.
15．（2023春·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为F，两条渐近线分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过F且与 SKIPIF 1 < 0 平行的直线与双曲线C及直线 SKIPIF 1 < 0 依次交于点B，D，点B恰好平分线段 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】B
【分析】数形结合，设 SKIPIF 1 < 0 ，分别联立直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 可分别解得点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标,再根据点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，由中点坐标公式即可解得 SKIPIF 1 < 0 关系，从而可得双曲线C的离心率.
【详解】双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，解得：
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
由于点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，由中点坐标公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
题型六：利用自变量求离心率范围问题
16．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）直线l与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左，右两支分别交于点A，B，与双曲线的两条渐近线分别交于点C，D（A，C，D，B从左到右依次排列），若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】先设直线方程及四个点，联立后分别求出两根和和两根积，再应用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，列式求解即可
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ①
联立 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ②
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ③
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即得 SKIPIF 1 < 0 ④
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为A，C，D，B从左到右依次排列，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，代入①②③有 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
综上， SKIPIF 1 < 0
故选：D.
17．（2022·全国·高三专题练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】不妨设 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，根据 SKIPIF 1 < 0 ，可设 SKIPIF 1 < 0 .把点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入双曲线方程可得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用求根公式即可解出 SKIPIF 1 < 0 .结合 SKIPIF 1 < 0 ，可求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出答案.
【详解】不妨设 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为锐角，
代入双曲线方程可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
18．（2020·全国·高三专题练习）双曲线 SKIPIF 1 < 0 上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝θ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．(1， SKIPIF 1 < 0 ＋1]B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．[ SKIPIF 1 < 0 ，＋∞)
【答案】A
【解析】记双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线的对称性、定义及已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 的范围得答案．
【详解】记双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为AF⊥BF，A关于原点的对称点为B，由双曲线的对称性可知，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，，四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又∠ABF＝θ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
题型七：双曲线的综合问题
19．（2023·广东江门·统考一模）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，A为垂足且位于第一象限，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形 SKIPIF 1 < 0 （O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为1， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）设动点 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由题意 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得轨迹C的方程；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为k，直线 SKIPIF 1 < 0 倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由过点T直线与曲线C有两个交点确定 SKIPIF 1 < 0 的范围，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程，与曲线C的方程联立解得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，求出 SKIPIF 1 < 0 及点Q到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【详解】（1）设动点 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知M只能在直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所夹的范围内活动.
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
动点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 右侧，有 SKIPIF 1 < 0 ，同理有 SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为8，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求轨迹C方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.
（2）如图，设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为k，直线 SKIPIF 1 < 0 倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在曲线C上，过点T直线与曲线C有两个交点，
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，同时 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）.
SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消y得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消y得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
点Q到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
方法二： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
20．（2023·山西晋中·统考二模）已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若A，B为双曲线的左、右顶点， SKIPIF 1 < 0 ，若MA与C的另一交点为P，MB与C的另一交点为Q（P与A，Q与B均不重合）求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析，定点坐标为 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）把点 SKIPIF 1 < 0 代入双曲线的标准方程 SKIPIF 1 < 0 ，结合其离心率 SKIPIF 1 < 0 来联立方程求解即可；
（2）根据题意当 SKIPIF 1 < 0 时，设出直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，并设交点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立直线与曲线的方程，利用韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而由题意 SKIPIF 1 < 0 推出直线PQ恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，最后检验当 SKIPIF 1 < 0 时，也符合题意即可.
【详解】（1）由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ,
故双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）证明：①A，B为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时，可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又点P在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，与双曲线C的方程联立得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时满足 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线PQ恒过点 SKIPIF 1 < 0 ．
②当 SKIPIF 1 < 0 时，P与B重合，Q与A重合，此时直线PQ的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
综上，直线PQ恒过点 SKIPIF 1 < 0 ．
21．（2023·安徽安庆·校考一模）在直角坐标平面中， SKIPIF 1 < 0 的两个顶点的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，两动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程；
(2)若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与（1）的轨迹相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
(3)若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)存在 SKIPIF 1 < 0 ；理由见解析
【分析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 且向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，知 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 的中垂线上，由此能求出 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入双曲线方程，得 SKIPIF 1 < 0 ，再由根的判别式和韦达定理即可求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（3）通过由特殊到一般的方法进行求解.
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 知，
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 且向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线， SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 的中垂线上，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
即所求的轨迹方程是 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
（3）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故猜想 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 不垂直 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同在 SKIPIF 1 < 0 内，
SKIPIF 1 < 0 .
故存在 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
【高考必刷】
一、单选题
22．（2023·陕西商洛·统考一模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为A，右焦点为F，点M在双曲线C上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由题设求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合已知数量关系及双曲线参数关系得到齐次方程，即可求离心率.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）.
故选：B
23．（2023·河南焦作·统考模拟预测）设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的右支交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，则直线 SKIPIF 1 < 0 斜率的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据重心性质得出 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，根据直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的右支交于 SKIPIF 1 < 0 两点可知点 SKIPIF 1 < 0 在右支内部，
将 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入双曲线中建立不等式，即可得离心率的范围，根据点差法可得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率与 SKIPIF 1 < 0 之间等式关系，
由 SKIPIF 1 < 0 不共线建立不等式，解出离心率具体范围，根据离心率的范围及直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率与 SKIPIF 1 < 0 之间等式关系，
即可得斜率的取值范围，解出即可.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，根据重心性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的右支交于 SKIPIF 1 < 0 两点，所以点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线右支内部，
故有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时， SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，
故 SKIPIF 1 < 0 三点不共线，不符合题意舍，
设直线 SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减可得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 成立，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 不共线，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
【点睛】思路点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题，关于圆锥曲线中弦中点和直线斜率有关问题的思路有：
（1）设出点的坐标 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）根据中点坐标建立等式： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（3）将两点代入圆锥曲线中，再对两式作差，用平方差公式对等式变形；
（4）将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 代入等式中即可得出关系.
24．（2023·山东威海·统考一模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，M为C上一点，M关于原点的对称点为N，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则C的渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由对称性知四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，可求得 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理建立 SKIPIF 1 < 0 的关系，从而求得渐近线方程.
【详解】如图所示，不妨设 SKIPIF 1 < 0 在左支，
设右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
由对称性知四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线定义知： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
【点睛】求双曲线的渐近线就是求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，通过可通过几何关系或代数式建立关于 SKIPIF 1 < 0 的一个齐次等式，求解 SKIPIF 1 < 0 均可得到渐近线方程.几何关系通过用到平面几何中的有关知识建立关系，甚至平面向量、正弦定理、余弦定理都可以用来建立关系式.
25．（2023·重庆·统考二模） SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左 SKIPIF 1 < 0 右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上一点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据向量加法运算法则，结合平行四边形的性质可确定以 SKIPIF 1 < 0 为邻边的平行四边形为菱形，得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合双曲线定义可求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用余弦定理可构造 SKIPIF 1 < 0 的齐次方程，从而求得离心率.
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为邻边的平行四边形的一条对角线，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，
SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 为邻边的平行四边形为菱形， SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线定义知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
26．（2023·湖北·统考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，再根据角平分线定理得到 SKIPIF 1 < 0 的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用 SKIPIF 1 < 0 表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，由角平分线定理可知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线定义知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，①
又由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理知 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
把①代入上式得 SKIPIF 1 < 0 ，所以离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
27．（2023·江西赣州·统考一模）已知点 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上运动.当 SKIPIF 1 < 0 的周长最小时， SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】利用双曲线的定义可以得出 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时 SKIPIF 1 < 0 最小.
【详解】由双曲线 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，左焦点 SKIPIF 1 < 0 ，
设右焦点 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 的周长最小时， SKIPIF 1 < 0 取到最小值，所以只需求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值即可.
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
28．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在xOy平面内，双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过左顶点A且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与渐近线在第一象限的交点为M，若 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 ，进而由斜率公式结合离心率公式求解即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 且点M在渐近线上，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
29．（2023·河南·校联考模拟预测）设双曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，B为双曲线E上在第一象限内的点，线段 SKIPIF 1 < 0 与双曲线E相交于另一点A，AB的中点为M，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线E的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】连结连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，根据双曲线的定义可推得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．进而在直角三角形中，根据勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 .结合已知条件，即可得出 SKIPIF 1 < 0 ，从而得出离心率.
【详解】
如图，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
因为M为AB的中点， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
因为M为AB的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
二、多选题
30．（2023·湖南·模拟预测）已知O为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线E： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，P是双曲线E的右支上一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线E的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线E的标准方程为 SKIPIF 1 < 0
B．双曲线E的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
C．点P到两条渐近线的距离之积为 SKIPIF 1 < 0
D．若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线E的另一支交于点M，点N为PM的中点，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】根据双曲线定义及离心率求出 SKIPIF 1 < 0 得到双曲线的标准方程，即可求出渐近线方程判断AB，再由点到渐近线的距离判断C，点差法可判断D.
【详解】根据双曲线的定义得， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线E的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确，B不正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ，则点P到两条渐近线的距离之积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以C正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为P，M在双曲线E上，所 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
①－②并整理得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确．
故选：ACD．
31．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0
B．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时，双曲线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 没有公共点
D．当 SKIPIF 1 < 0 时，双曲线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 恰有两个公共点
【答案】ACD
【分析】根据双曲线方程求出离心率与渐近线方程，即可判断A、B，求出圆心到渐近线的距离，即可判断C，设双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，表示出 SKIPIF 1 < 0 的距离，即可得到圆心 SKIPIF 1 < 0 到双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点的距离的最小值，从而判断D.
【详解】解：由已知得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A正确；
双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B错误；
因为圆心 SKIPIF 1 < 0 到双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线相切，此时双曲线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 没有公共点，故选项C正确；
设双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则圆心 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以圆心 SKIPIF 1 < 0 到双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点的距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，且双曲线 SKIPIF 1 < 0 上只有两个点到圆心 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，双曲线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 恰有两个公共点，故选项D正确．
故选：ACD
32．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线C： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在第一象限上的点，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 则下列正确的是（ ）
A．双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 以及渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 可求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出方程，判断A；由 SKIPIF 1 < 0 可求出判断B；结合双曲线定义可求得 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，判断C；利用等面积法可求得点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离，判断D.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 可解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的平分线， SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
由双曲线定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，则可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为d，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确．
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：是根据已知求出双曲线方程，结合双曲线的定义求得焦点三角形的各边长.
33．（2023·山东菏泽·统考一模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，下列命题正确的有（ ）
A．当点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点时，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D．若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【分析】对于A选项，设 SKIPIF 1 < 0 ，代入双曲线，用点差法即可判断；对于B选项，设 SKIPIF 1 < 0 ，表示出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，再结合 SKIPIF 1 < 0 即可得出结论；对于C选项，设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线方程，得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用两点之间距离公式，分别表示出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，通过做差即可得出结论；对于D选项，根据双曲线的定义，得出 SKIPIF 1 < 0 ，再证出点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出结论．
【详解】选项A：
设 SKIPIF 1 < 0 ，代入双曲线得，
SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
选项B：
设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
选项C：
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
选项D：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离： SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
故选：BCD．
【点睛】结论点睛：本题涉及到双曲线中的有关结论：
（1）若点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上一条弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若双曲线上有两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且位于不同两支，则 SKIPIF 1 < 0 ．
三、填空题
34．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点的连线交 SKIPIF 1 < 0 于第一象限的点M，若 SKIPIF 1 < 0 在点M处的切线平行于 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】求出抛物线的焦点与双曲线的右焦点及渐近线方程，设 SKIPIF 1 < 0 ，由导数求得点 SKIPIF 1 < 0 处切线的斜率，得出 SKIPIF 1 < 0 的关系，再根据三点共线的斜率性质构造方程即可得解.
【详解】抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ；
双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知， SKIPIF 1 < 0 在点M处的切线平行的渐近线应为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 共线，即点 SKIPIF 1 < 0 共线，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
35．（2023·辽宁·校联考一模）过双曲线 SKIPIF 1 < 0 焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线的交点分分别为M、N，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】依题意， SKIPIF 1 < 0 垂直于渐近线，结合图形在直角三角形利用三角函数构造 SKIPIF 1 < 0 齐次式求 SKIPIF 1 < 0 的离心率.
【详解】解法1：双曲线的焦点 SKIPIF 1 < 0 到渐近线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 垂直于渐近线，如图所示，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 .
过作另一条渐近线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，在直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因此 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
解法2：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 垂直于渐近线，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以C的离心率 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】思路点睛：由焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 垂直于渐近线，这是本题的着手点，数形结合在直角三角形中利用三角函数构造 SKIPIF 1 < 0 齐次式可求 SKIPIF 1 < 0 的离心率.
36．（2023·山东泰安·统考一模）已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则以 SKIPIF 1 < 0 （e为双曲线C的离心率）为焦点的抛物线的标准方程为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据已知条件求得双曲线的离心率，也即求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得抛物线的标准方程.
【详解】依题意， SKIPIF 1 < 0 ，双曲线的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意，三角形 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离是 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以对于抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
37．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线分别交两条渐近线于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为______.
【答案】2
【分析】设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，通过联立方程组的方法求得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，进而求得 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 的坐标.对 SKIPIF 1 < 0 进行分类讨论，由 SKIPIF 1 < 0 化简求得双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率.
【详解】设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 轴，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，这与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，不合题意，所以 SKIPIF 1 < 0
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
由（1）（2）可知，双曲线的离心率为2.
故答案为：2
【点睛】求解直线和直线、直线和圆锥曲线的交点的问题，可通过联立方程组来进行求解.求解双曲线的离心率问题，有两个思路，一个是求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得双曲线的离心率；另一个是求得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 的关系式，由此来求得双曲线的离心率.
四、解答题(共0分)
38．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的离心率为e，点 SKIPIF 1 < 0 在C上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为C的左、右顶点，C的右焦点F到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，过点F的直线l与C交于A，B两点（异于顶点），直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别与y轴交于点M，N.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求以MN为直径的圆的方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)由条件列关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，解方程求 SKIPIF 1 < 0 可得双曲线方程；
(2)设设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组结合设而不求法表示条件，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再求以MN为直径的圆的方程.
【详解】（1）设双曲线的半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，则右焦点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线C上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ①，
由已知右焦点 SKIPIF 1 < 0 到渐近线的距离 SKIPIF 1 < 0 ②.
SKIPIF 1 < 0 ③，
由①②③得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴双曲线C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 的斜率为0的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，
与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，与已知矛盾，
故可设直线l： SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程得 SKIPIF 1 < 0 ，消去x并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知 SKIPIF 1 < 0 ，
方程 SKIPIF 1 < 0 的判别式
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
易知直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
以MN为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
以MN为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故以MN为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】解决直线与双曲线的综合问题，一般利用设而不求法解决，解决过程中需注意直线的斜率是否存在，是否为0.
39．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，左焦点 SKIPIF 1 < 0 到其渐近线 SKIPIF 1 < 0 的距离为2，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线 SKIPIF 1 < 0 于A，B两点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于P，Q两点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，试问：以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过定点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解 SKIPIF 1 < 0 ，进而联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解 SKIPIF 1 < 0 ，
（2）联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在 SKIPIF 1 < 0 轴上，进而根据垂直关系得向量的坐标运算，即可求解.
【详解】（1）∵双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点 SKIPIF 1 < 0 到双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
依题意直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 消去y整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
依题意： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点A，B的横坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）依题意直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不等于0，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ．由对称性可知，若以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过定点，则该定点一定在 SKIPIF 1 < 0 轴上，
设该定点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过定点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a>0，b>0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)