新高考数学二轮复习分层训练专题10 导数在函数中的应用（2份打包，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）函数 SKIPIF 1 < 0 ，则满足不等式 SKIPIF 1 < 0 的实数x的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】对函数求导，可知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，根据单调性可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出实数x的取值范围.
【详解】由题意，函数 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
2．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数），则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据三角函数的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，根据导数可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，即得.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 函数单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，在(－∞，0)上满足 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则下列不等式成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由题干条件得到 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，结合 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，得到 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，从而判断出大小关系.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，又 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：A．
4．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据导数结合已知得出 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 没有变号零点，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 没有变号零点，令 SKIPIF 1 < 0 ，通过导数求出其在 SKIPIF 1 < 0 上的最值，即可得出实数a的取值范围.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 存在唯一的极值点，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有一个变号零点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 没有变号零点，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 没有变号零点，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故实数a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
5．（2023·全国·模拟预测）函数 SKIPIF 1 < 0 恰有3个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】对函数 SKIPIF 1 < 0 进行求导，令 SKIPIF 1 < 0 ，借助 SKIPIF 1 < 0 分析 SKIPIF 1 < 0 的单调性，极值和最值情况即可求解
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
要使函数 SKIPIF 1 < 0 恰有3个零点，则需 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 趋向于正无穷时，指数函数 SKIPIF 1 < 0 的增长速率远远超过一次函数 SKIPIF 1 < 0 ，且趋向于正无穷，则 SKIPIF 1 < 0 趋向于正无穷，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 恰有3个零点，
故选：A
【点睛】关键点睛：这道题的关键之处是发现 SKIPIF 1 < 0 ，故只需要存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 即可
6．（2023·四川德阳·统考一模）函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和符号判断.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是奇函数；
令 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是增函数，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：A.
7．（2022·四川达州·统考一模）曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线平分圆 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 有两个零点
B． SKIPIF 1 < 0 有极大值
C． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数
D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据导数几何意义确定在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由于平分圆，所以得 SKIPIF 1 < 0 ，于是得函数 SKIPIF 1 < 0 ，结合导数确定函数的零点，单调性，极值即可判断.
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
曲线在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
则切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
若该切线平分圆 SKIPIF 1 < 0 ，则切线过圆心 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 有一个零点，故A不正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 有极小值 SKIPIF 1 < 0 ，故B不正确；
对于C，由B可知，C不正确；
对于D，由B可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：D.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 有四个不同的零点，从小到大依次为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据导函数判断函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性，画出函数图像，将 SKIPIF 1 < 0 有四个零点转化为 SKIPIF 1 < 0 的图像与 SKIPIF 1 < 0 有四个不同交点，分析可知 SKIPIF 1 < 0 ，由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由导函数分析函数单调性，即可求出范围.
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
画出 SKIPIF 1 < 0 的图像如下图， SKIPIF 1 < 0 有四个零点即 SKIPIF 1 < 0 的图像与 SKIPIF 1 < 0 有四个不同交点，
由图可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的两根，
SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的两根，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
二：多选择
9．（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的一个极大值点
B． SKIPIF 1 < 0
C．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处切线的斜率小于零
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【分析】根据导数符号与单调性的关系，以及极值的定义逐项分析判断.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
故 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的一个极大值点， SKIPIF 1 < 0 ，A、B正确；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处切线的斜率大于零，C错误；
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，但无法确定函数值的正负，D错误；
故选：AB.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知m，n关于x方程 SKIPIF 1 < 0 的两个根，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】根据函数的图象可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合条件可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用对勾函数的性质可判断A，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，根据函数的单调性可判断B，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数研究函数的性质结合条件可判断CD.
【详解】画出函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大致图象，
由题可知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由对勾函数的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
设函数 SKIPIF 1 < 0 ，因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：
本题关键点是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据不等式的“形状”变换函数“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
11．（2023春·湖北襄阳·高三襄阳市襄州区第一高级中学校考开学考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的导数，下列说法正确的是（ ）
A．曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
C．对于任意的 SKIPIF 1 < 0 总满足 SKIPIF 1 < 0
D．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有一个交点且横坐标取值范围为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】求出函数 SKIPIF 1 < 0 的导数 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数几何意义求出切线方程判断A；确定给定区间上单调性判断B；构造函数推理论证不等式判断C；利用零点存在性定理判断D作答.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，B错误；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
由选项B知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，因此函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，总满足 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由选项B知， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即有函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，而 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，因此存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
于是得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，从而存在唯一 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
显然当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，因此函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，从而函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有唯一零点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有一个交点且横坐标取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：ACD
【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为： SKIPIF 1 < 0 .
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当m＞0时，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0
B．当m＝l时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
C．当m＝l时，函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为1
D．若 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【分析】A. 由m＞0直接求导求解判断；B. 由m＝l，利用导数法求解判断；C. 由m＝l，利用导数法求解判断；D. 将 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，转化为 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，利用 SKIPIF 1 < 0 的单调性转化为 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立求解判断.
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
当m＝l时， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，故B正确；
当m＝l时， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
若 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
则 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ABD
三：填空题
13．（2023·广西柳州·统考模拟预测）① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 ，④ SKIPIF 1 < 0 ，上述不等式正确的有______（填序号）
【答案】②④
【分析】由指数对数的运算法则和不等式的性质比较大小.
【详解】对于①： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，不等式①错误；
对于②： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，不等式②正确
对于③： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，不等式③错误；
对于④： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，不等式④正确.
故答案为：②④
14．（2023·上海静安·统考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 只有一个零点 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】对 SKIPIF 1 < 0 分类讨论： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，分别求出对应情况下的实根情况列不等式，即可求解.
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，不符合题意.
当 SKIPIF 1 < 0 时，要使函数 SKIPIF 1 < 0 只有一个零点 SKIPIF 1 < 0 ，只需 SKIPIF 1 < 0 的极大值小于0或 SKIPIF 1 < 0 的极小值大于0.
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
列表：
所以极大值 SKIPIF 1 < 0 不符合题意.
所以极小值 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，要使函数 SKIPIF 1 < 0 只有一个零点 SKIPIF 1 < 0 ，只需 SKIPIF 1 < 0 极大值小于0或 SKIPIF 1 < 0 的极小值大于0.
.
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
列表：
所以极大值 SKIPIF 1 < 0 不符合题意.
所以极小值 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
综上所述：实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若对 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数a的最大值为___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】将 SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，转化为最值问题即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
实数a的最大值为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16．（2022·全国·模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在唯一整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数a的取值范围为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】首先将不等式整理为 SKIPIF 1 < 0 ，分别构造函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用导数研究 SKIPIF 1 < 0 的函数性质并将作出其图象，进而将原问题转化为两函数图像的交点问题，结合函数图象即可求出参数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】已知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是过定点 SKIPIF 1 < 0 的直线，所以画出函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的大致图象如图所示，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由图可知若存在唯一整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则需 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将不等式变形为 SKIPIF 1 < 0 ，并构造函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，将原问题转化为两函数图像的交点问题，进而通过导数画出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大致图像，通过数形结合的方法求出参数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，该方法是解决函数整数解问题或者零点问题的一种重要手段.
四：解答题
17．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 存在零点，求实数a的取值范围；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】(1)利用函数的导数与单调性的关系确定函数的零点，极值点即可求解；
(2)根据 SKIPIF 1 < 0 不同取值进行分类讨论，利用函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性与导数的关系，讨论函数的极值，进而可求解.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 存在唯一零点，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 存在唯一零点；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 无零点；
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 存在零点，则只需要 SKIPIF 1 < 0 即可，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由①②③可得，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 恒成立矛盾；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
由①②③可得， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
18．（2023·全国·高三专题练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，记 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在整数t，使得关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 有解?若存在，请求出t的最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)存在，t的最小值为0
【分析】（1）求导 SKIPIF 1 < 0 ，根据一元二次不等式的解法，再分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 讨论求解；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，求导得到 SKIPIF 1 < 0 ，确定其范围，再由不等式 SKIPIF 1 < 0 有解求解.
【详解】（1）解：由题意得函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减.
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
若关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 有解，则 SKIPIF 1 < 0 ，又t为整数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在整数t满足题意，且t的最小值为0.
【点睛】方法点睛：若不等式 SKIPIF 1 < 0 有解，则 SKIPIF 1 < 0 ；若不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 .
19．（2023·全国·模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 有且仅有 SKIPIF 1 < 0 个零点.（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .）
【详解】（1）已知 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增.又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一零点 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个零点.
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
再设 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上无零点.
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一零点 SKIPIF 1 < 0 .
④当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 无零点.
综上所述， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有 SKIPIF 1 < 0 个零点.
【点睛】关键点睛：这道题的关键地方是第二问要分四种情况进行讨论，然后对函数进行多次求导，得到原函数的单调性和正负情况
20．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .（注： SKIPIF 1 < 0 …是自然对数的底数）
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 只有一个极值点，求实数m的取值范围；
(3)若存在 SKIPIF 1 < 0 ，对与任意的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)根据导数的几何意义 SKIPIF 1 < 0 ，结合点斜式求切线方程；
(2)讨论 SKIPIF 1 < 0 的符号，判断 SKIPIF 1 < 0 的单调性，进而确定 SKIPIF 1 < 0 的零点；
(3)要使 SKIPIF 1 < 0 取到最小值，则 SKIPIF 1 < 0 取最大，分析可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合零点代换处理即可.
【详解】（1）（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：由题意知 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个根且 SKIPIF 1 < 0 有正有负，
构建 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 有一个零点，即为 SKIPIF 1 < 0 的一个极值点；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 无极值点；
③当 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数.
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有两个零点，此时 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 无极值点；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 .
（3）解：由题意知，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则当 SKIPIF 1 < 0 取最大值时， SKIPIF 1 < 0 取到最小值.
当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 无最小值，即 SKIPIF 1 < 0 无最小值；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由（2）得 SKIPIF 1 < 0 只有一个零点 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：对于利用导数求参数时，常采用分离常数法，转化求函数的最值问题.
【提能力】
一、单选题
21．（2023·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的极大值点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到 SKIPIF 1 < 0 所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两个不同零点，且在 SKIPIF 1 < 0 左右附近是不变号，在 SKIPIF 1 < 0 左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 左右附近都是小于零的.
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，画出 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示：
由图可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，画出 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示：
由图可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述， SKIPIF 1 < 0 成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
22．（2022·浙江·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 分离常数 SKIPIF 1 < 0 ，利用构造函数法，结合导数，求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】依题意 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
23．（2021·江西宜春·统考模拟预测）“ SKIPIF 1 < 0 ”是“函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，进而转化为不等式恒成立问题，求 SKIPIF 1 < 0 的范围，即可判断条件间的充分、必要性.
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
∴有 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，则 SKIPIF 1 < 0 .
∴“ SKIPIF 1 < 0 ”是“函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】求出函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时值的集合， 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上值的集合是 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上值的集合为 SKIPIF 1 < 0 ，
因函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，于是得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
25．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，其导函数为 SKIPIF 1 < 0 且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】构造新函数 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数确定 SKIPIF 1 < 0 的单调性，从而可得 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的正负，利用奇函数性质得出 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的正负，然后分类讨论解不等式．
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题考查用导数解不等式，关键是构造新函数 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数确定单调性后，得出 SKIPIF 1 < 0 的解．
26．（2023·全国·高三专题练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的导函数， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则使得 SKIPIF 1 < 0 成立的 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】构造新函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 .
所以在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 单减，又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,此时 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的解集为： SKIPIF 1 < 0 .
故选A.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如 SKIPIF 1 < 0 ，想到构造 SKIPIF 1 < 0 .一般：（1）条件含有 SKIPIF 1 < 0 ，就构造 SKIPIF 1 < 0 ,（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，就构造 SKIPIF 1 < 0 ，（3） SKIPIF 1 < 0 ，就构造 SKIPIF 1 < 0 ，（4） SKIPIF 1 < 0 就构造 SKIPIF 1 < 0 ，等便于给出导数时联想构造函数.
27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
C．曲线 SKIPIF 1 < 0 是轴对称图形D．曲线 SKIPIF 1 < 0 是中心对称图形
【答案】C
【分析】由解析式易得 SKIPIF 1 < 0 且定义域为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 即可判断C；对 SKIPIF 1 < 0 求导，并讨论 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 研究 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的符号判断A、B；根据 SKIPIF 1 < 0 是否为定值判断D.
【详解】由题设， SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，C正确；
又 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，不妨假设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有递减区间，A错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时，在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，B错误；
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，不可能为定值，故D错误.
故选：C
【点睛】关键点点睛：利用导数结合分类讨论研究函数的区间单调性，根据 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是否成立判断对称性( SKIPIF 1 < 0 为常数).
二、多选题
28．（2023春·山东济宁·高三校考开学考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增
B． SKIPIF 1 < 0 有两个零点
C．曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 是偶函数
【答案】AC
【解析】根据函数的定义域可判断D，利用函数的导数的正负可判断A，利用导数的几何意义可判断C，根据函数值的情况及零点定义可判断B.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 知函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，A正确；
由 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 只有0一个零点，B错误；
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
由函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，不关于原点对称知， SKIPIF 1 < 0 不是偶函数，D错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：解决本题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求切线的斜率，属于中档题.
29．（2022秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 存在两个不同的零点
B．函数 SKIPIF 1 < 0 既存在极大值又存在极小值
C．当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 有且只有两个实根
D．若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．
【详解】对于A． SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确；
对于B． SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是函数的单调递减区间， SKIPIF 1 < 0 是函数的单调递增区间，
所以 SKIPIF 1 < 0 是函数的极小值， SKIPIF 1 < 0 是函数的极大值，所以B正确．
对于C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，根据B可知，函数的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，再根据单调性可知，当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 有且只有两个实根，所以C正确；
对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．
故选：ABC.
【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是 SKIPIF 1 < 0 是函数的单调递减区间，但当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．
30．（2022春·全国·高三开学考试）关于函数 SKIPIF 1 < 0 ，下列判断正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极大值点
B．函数 SKIPIF 1 < 0 有且只有1个零点
C．存在正实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立
D．对任意两个正实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】BD
【分析】A选项借助导数研究函数的极值情况；BC选项，构造新函数研究函数的零点问题以及参数取值范围；D选项根据新函数单调性比较函数值的大小，从而得到双变量的关系.
【详解】对于A，函数的定义域为（0，+∞），
SKIPIF 1 < 0 ，
∴在（0，2）上，f′（x）＜0，函数单调递减，
（2，+∞）上，f′（x）＞0，函数单调递增，
∴x＝2是f（x）的极小值点，即A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ﹣x，
∴y′ SKIPIF 1 < 0 1 SKIPIF 1 < 0 0，
函数在（0，+∞）上单调递减，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 有且只有1个零点，即B正确；
对于C，若f（x）＞kx，可得k SKIPIF 1 < 0 ，
令g（x） SKIPIF 1 < 0 ，则g′（x） SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴在x∈（0，1）上，函数h（x）单调递增，
x∈（1，+∞）上函数h（x）单调递减，
∴h（x） SKIPIF 1 < 0 h（1）＜0，∴g′（x）＜0，
∴ SKIPIF 1 < 0 在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，
∴不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确；
对于D，令t∈（0，2），则2﹣t∈（0，2），2+t＞2，
令 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ln SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴g（t）在（0，2）上单调递减，
则g（t）＜g（0）＝0，令x1＝2﹣t，
由f（x1）＝f（x2），得x2＞2+t，
则x1+x2＞2﹣t+2+t＝4，
当x2≥4时，x1+x2＞4显然成立，
∴对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，
若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＞4，故D正确.
故选：BD．
【点睛】思路点睛：借助导数研究函数的极值情况，构造新函数研究函数的零点问题以及参数取值范围；可以将自变量的大小比较通过构造新函数，通过单调性转化为函数值的大小比较，从而得到自变量间的关系.
31．（2021·吉林松原·校考三模）关于函数 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极小值点；
B．函数 SKIPIF 1 < 0 有且只有1个零点；
C．存在正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立；
D．对任意两个正实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】ABD
【解析】利用导数求函数的极值可判断A选项；求出函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性利用特殊值可判断B；转化为 SKIPIF 1 < 0 构造函数并求函数的单调性可判断C；利用已知得出 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数 SKIPIF 1 < 0 证明不等式可判断D.
【详解】对于A选项，函数的的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，函数的导数 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，故A正确；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ 函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ 函数 SKIPIF 1 < 0 有且只有1个零点，故B正确；
对于C选项，若 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上函数单调递减，函数无最小值，
∴不存在正实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，故C错误；
对于D选项，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 结合A选项可知 SKIPIF 1 < 0 ，
要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
由函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是单调递增函数，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即证明 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是单调递减函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 成立，
故 SKIPIF 1 < 0 成立，所以D正确.
故选：ABD.
【点睛】函数中涉及极值、零点，不等式恒成立，一般都需要通过导数研究函数的单调性极值最值来处理，特别的要根据所求问题，适时构造恰当的函数，利用所构造函数的单调性、最值解决问题是常用方法.
三、填空题
32．（2022·重庆北碚·西南大学附中校考模拟预测）函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值10，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值10，求得解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，再结合函数的极值的概念进行检验，即可求解.
【详解】由题意，函数 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值10，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
检验知，当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，函数为极值点，不符合题意，（舍去）；
当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取得极小值，符合题意.
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：
1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；
2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；
3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.
33．（2023·全国·高三专题练习）已知可导函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，由导数确定单调性后，利用单调性解函数不等式．
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】关键点点睛：本题考查解函数不等式，解题关键是构造新函数 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数确实单调性，已知不等式转化为关于 SKIPIF 1 < 0 的函数不等式，然后求解．
34．（2022秋·北京·高三北京市回民学校校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，再研究函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性，得到 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 表示出来，然后利用换元法转化为二次函数求最值即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值0，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导函数研究函数的最值，令 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 转化为关于t的二次函数，根据二次函数求最值是解题的关键，考查学生分析试题能力与转化化归能力，属于较难题.
35．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中e是自然数对数的底数，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的取值范围是_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为 SKIPIF 1 < 0 的形式，然后根据函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性去掉“ SKIPIF 1 < 0 ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的取值应在函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域内．
36．（2022春·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （e为自然对数的底数），若关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 有且仅有四个不同的解，则实数k的取值范围是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，由题可得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有两个零点，进而可得 SKIPIF 1 < 0 有两个正数解，利用数形结合即可求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
由题意可知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有两个零点，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个正数解，
∵函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
∴作出函数 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 大致图象如下图
∵方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个正数解， SKIPIF 1 < 0 恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 相切，设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，故切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由切线过 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
故切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，直线与曲线由两个交点，
综上可得实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：
（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数 SKIPIF 1 < 0 的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 SKIPIF 1 < 0 的交点个数的图象的交点个数问题．
四、解答题
37．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为两个不相等的正数，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 的递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析.
【分析】(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.
(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令 SKIPIF 1 < 0 ，命题转换为证明： SKIPIF 1 < 0 ，然后构造对称差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论.
【详解】(1) SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内为增函数，在区间 SKIPIF 1 < 0 内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
由（1）不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
①令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内为减函数， SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ．①
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内为增函数， SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．②
由①②得 SKIPIF 1 < 0 ．
[方法二]【最优解】： SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ．则上式变为 SKIPIF 1 < 0 ，
于是命题转换为证明： SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ．
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，先证 SKIPIF 1 < 0 ．
要证： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
再证 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以需证 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递增．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
综合可知 SKIPIF 1 < 0 ．
[方法三]：比值代换
证明 SKIPIF 1 < 0 同证法2．以下证明 SKIPIF 1 < 0 ．
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
要证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，两边取对数得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0 ．
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递减． SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递减．
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
[方法四]：构造函数法
由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由（Ⅰ）知， SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ．
证明 SKIPIF 1 < 0 同证法2．
再证明 SKIPIF 1 < 0 ．令 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递增．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
综上，有 SKIPIF 1 < 0 结论得证．
【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.
方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.
方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.
方法四：构造函数之后想办法出现关于 SKIPIF 1 < 0 的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.
38．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求a的取值范围；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 的减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)见解析
【分析】（1）求出 SKIPIF 1 < 0 ，讨论其符号后可得 SKIPIF 1 < 0 的单调性.
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，先讨论 SKIPIF 1 < 0 时题设中的不等式不成立，再就 SKIPIF 1 < 0 结合放缩法讨论 SKIPIF 1 < 0 符号，最后就 SKIPIF 1 < 0 结合放缩法讨论 SKIPIF 1 < 0 的范围后可得参数的取值范围.
（3）由（2）可得 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，从而可得 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为连续不间断函数，
故存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，与题设矛盾.
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
下证：对任意 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 成立，
证明：设 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 成立.
由上述不等式有 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 总成立，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0 .
（3）取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
所以对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得到： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.
39．（2022·重庆永川·重庆市永川北山中学校校考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 存在两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）首先确定函数的定义域，函数求导，再对 SKIPIF 1 < 0 进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，即可求得函数的单调区间；
（2）方法一：根据 SKIPIF 1 < 0 存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得到两个极值点 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（i）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减.
（ii）若 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增.
（2）［方法一］：【通性通法】消元
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 存在两个极值点当且仅当 SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0 的两个极值点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .由于
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 .
设函数 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，又 SKIPIF 1 < 0 ，从而当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
［方法二］：【通性通法】消元
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．此时 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
欲证不等式成立，只需证 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即证．
［方法三］：硬算
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 有两个相异的正根 SKIPIF 1 < 0 （不妨设 SKIPIF 1 < 0 ）．
则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减， SKIPIF 1 < 0 ，问题得证．
［方法四］：【最优解】对数平均不等式的应用
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 存在两个极值点当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ．
由于 SKIPIF 1 < 0 的两个极值点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．由于 SKIPIF 1 < 0 ．
由对数平均不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 ．
【整体点评】（2）方法一：根据消元思想，先找到极值点之间的关系，再消元转化为一个未知元的不等式恒成立问题，属于通性通法；
方法二：同方法一，只是消元字母不一样；
方法三：直接硬算出极值点，然后代入求证，计算稍显复杂；
方法四：根据式子形式利用对数平均不等式放缩，证明简洁，是该题的最优解．
40．（2023·全国·高三专题练习）设a，b为实数，且 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时，证明：对任意 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 .
(注： SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数)
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增； SKIPIF 1 < 0 时，函数的单调减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3)证明见解析.
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；
(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取值范围；
(3)方法一：结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.
【详解】(1) SKIPIF 1 < 0 ，
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增.
综上可得， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
SKIPIF 1 < 0 时，函数的单调减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0 有2个不同零点 SKIPIF 1 < 0 有2个不同解 SKIPIF 1 < 0 有2个不同的解，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
(3)[方法一]【最优解】：
SKIPIF 1 < 0 有2个不同零点，则 SKIPIF 1 < 0 ，故函数的零点一定为正数.
由(2)可知有2个不同零点，记较大者为 SKIPIF 1 < 0 ，较小者为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
注意到函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
要证 SKIPIF 1 < 0 ，只需 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 且关于 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时为正，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时为正，
从而题中的不等式得证.
[方法二]：分析+放缩法
SKIPIF 1 < 0 有2个不同零点 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ）．
且 SKIPIF 1 < 0 ．
要证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
所以只需证 SKIPIF 1 < 0 ．而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以只需证 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，原命题得证．
[方法三]：
若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，由（Ⅱ）知 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，故进一步有 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ．．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故只需证 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，故只需证 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，注意 SKIPIF 1 < 0 时有 SKIPIF 1 < 0 ，故不等式成立．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
+
0
-
0
+
SKIPIF 1 < 0
单增
极大值
单减
极小值
单增
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
-
0
+
0
-
SKIPIF 1 < 0
单减
极小值
单增
极大值
单减