新高考数学二轮复习课件 专题四4.2 导数的应用（含解析）

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考点一　导数与函数的单调性设函数f(x)在区间(a,b)内可导, f '(x)是f(x)的导数,则
【注意】 1)f '(x)>0(0,F(t)单调 递增,所以F(t)min=F(ln a)=eln a-aln a-1=a-aln a-1≥0,所以1-ln a- ≥0,所以ln a+ 
-1≤0,记φ(a)=ln a+ -1,则φ'(a)= ,当a∈(0,1)时,φ'(a)g(x)min.②∀x1∈M,∀x2∈N, f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max.③∃x1∈M,∃x2∈N, f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min.④∃x1∈M,∀x2∈N, f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.3.利用导数构造函数解不等式常见的构造函数模型总结:1)关系式为“加”型①f '(x)+f(x)≥0,构造y=exf(x),则y'=[exf(x)]'=ex·[f '(x)+f(x)].②xf '(x)+f(x)≥0,构造y=xf(x),则y'=[xf(x)]'=xf '(x)+f(x).③xf '(x)+nf(x)≥0,构造y=xnf(x),则y'=[xnf(x)]'=xnf '(x)+nxn-1f(x)=xn-1[xf '(x)+
nf(x)].(注意对x的符号进行讨论)2)关系式为“减”型①f '(x)-f(x)≥0,构造y= ,则y'=   '= = .②xf '(x)-f(x)≥0,构造y= ,则y'= '= .③xf '(x)-nf(x)≥0,构造y= ,则y'=   '= = .
例3 (多选)(2021山东日照二模,11)若实数t≥2,则下列不等式中一定成立 的是 (　    )A.(t+3)ln(t+2)>(t+2)ln(t+3)B.(t+1)t+2>(t+2)t+1C.1+ >lgt(t+1)D.lg(t+1)(t+2)>lg(t+2)(t+3)
考法四　利用导数研究函数的零点或方程的根1.先求函数的单调区间和极值,根据函数的性质画出图象,然后将问题转 化为函数图象与x轴交点问题,主要是应用数形结合思想和分类讨论思想.2.构造函数,将问题转化为研究两个函数的图象的交点问题.3.分离参变量,即由f(x)=0分离参变量,得a=φ(x),研究直线y=a与y=φ(x)的图 象的交点问题.
例4 (2018课标Ⅱ,21,12分)已知函数f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时, f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.
解析 (1)证明:当a=1时, f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0.设函数g(x)=(x2+1)e-x- 1,则g'(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.当x≠1时,g'(x)0,h(x)没有零点.(ii)当a>0时,h'(x)=ax(x-2)e-x.当x∈(0,2)时,h'(x)0,当x∈ 时,V'0,故f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.当k>0时,令f '(x)=0,得x=±  .当x∈ -∞,-  时, f '(x)>0;当x∈ 时,f '(x)