新高考数学二轮提升练专题03 正余弦定理及其应用（2份打包，原卷版+解析版）

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1、【2022年全国甲卷】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】：如图，连接，
因为是的中点，所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
2、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】D
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，
结合余弦定理： SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 舍去），
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
3、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）记 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】文由题意， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （负值舍去）.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
4、（2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学）记 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
由题意， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （负值舍去）.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
5、【2021年乙卷理科】魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在水平线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， SKIPIF 1 < 0 称为“表距”， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都称为“表目距”， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的差称为“表目距的差”则海岛的高 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 表高B． SKIPIF 1 < 0 表高
C． SKIPIF 1 < 0 表距D． SKIPIF 1 < 0 表距
【答案】A
【解析】如图所示：
由平面相似可知， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A.
6、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））在△ABC中，csC= SKIPIF 1 < 0 ，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2 SKIPIF 1 < 0 C．4 SKIPIF 1 < 0 D．8 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选：C
7、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））在△ABC中，csC= SKIPIF 1 < 0 ，AC=4，BC=3，则csB=（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
根据余弦定理： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
8、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求A；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，证明：△ABC是直角三角形．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ①，
又 SKIPIF 1 < 0 ②， 将②代入①得， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形．
9、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）） SKIPIF 1 < 0 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求 SKIPIF 1 < 0 周长的最大值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）由正弦定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号），
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号），
SKIPIF 1 < 0 周长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 周长的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
10、【2022年全国甲卷】已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
【解析】设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
11、【2021年乙卷文科】记 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （负值舍去）.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12、【2020年新课标1卷理科】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， SKIPIF 1 < 0 ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cs∠FCB=______________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
同理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
13、【2022年全国乙卷】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【解析】(1)由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
(2)由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
14、【2022年全国乙卷】记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【解析】(1)
证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
(2)：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
15、【2022年新高考1卷】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【解析】(1)
因为，即，
而，所以；
(2)由（1）知，，所以，
而，
所以，即有．
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
16、【2022年新高考2卷】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【解析】
(1)由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
(2)由正弦定理得：，则，则，.
题组一、 运用正、余弦定理解决边角及面积问题
1-1、【2022·广东省梅江市梅州中学10月月考】
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，BC=1，AC=5，则AB=
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，选A.
1-2、（2022·江苏如东·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（ ）
A．20mB．10mC． SKIPIF 1 < 0 mD． SKIPIF 1 < 0 m
【答案】B
【解析】如图示，AB表示旗杆，
由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，
所以设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 舍去），
故选：B.
1-3、【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】
在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由正弦定理知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
1-4、【2022·广东省珠海市第二中学10月月考】在 SKIPIF 1 < 0 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的形状是
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．则： SKIPIF 1 < 0 ，
由于：0＜A＜π，故：A SKIPIF 1 < 0 ．由于：sinBsinC＝sin2A，利用正弦定理得：bc＝a2，所以：b2+c2﹣2bc＝0，
故：b＝c，所以：△ABC为等边三角形．故选C．
1-5、（2022·江苏海安·高三期末）在平面四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝ SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ，CD＝ SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求四边形ABCD的面积．
【解析】（1）由题意，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
由（1），可知 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
四边形ABCD的面积 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
1-6、（2022·江苏如皋·高三期末）已知在△ABC中，D为边BC上一点，CD=10，2AC=3AD= SKIPIF 1 < 0 AB，cs∠CAD= SKIPIF 1 < 0 .
（1）求AD的长；
（2）求sinB.
【解析】（1）依题意，在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以AD的长是 SKIPIF 1 < 0 .
（2）在 SKIPIF 1 < 0 中，由(1)知， SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
1-7、（2022·江苏无锡·高三期末） SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 所对应的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，________.
请在① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并加以解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
（1）求角 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 面积.
【解析】（1）
若选①，则由 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
若选②，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由正弦定理 SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
题组二、 运用余弦定理研究范围问题
2-1、（2022·湖北襄阳·高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则角 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
2-2、【2022·广东省深圳市外国语学校第一次月考10月】
在 SKIPIF 1 < 0 中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ，则角B的最大值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以B的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C.
2-3、（2022·江苏宿迁·高三期末）在① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且__________.
（1）求角 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 是锐角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】（1）
选择①：条件即 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理可知， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
选择②：条件即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
选择③：条件即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可知， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 是锐角三角形得， SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
2-4、（2022·广东潮州·高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， SKIPIF 1 < 0 ，
（1）求角B的大小；
（2）若点D在边AC上，且AD=2DC，BD=2，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
【解析】（1）
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
（2）因为点D在边AC上，且AD=2DC，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
2-5、（2022·广东·铁一中学高三期末）在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若______.
（1）求角 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 周长的最小值，并求出此时 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【解析】（1）选①，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
选②，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
选③，∵ SKIPIF 1 < 0 ，
由已知结合正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 周长的最小值为6，此时 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 .
2-6、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求边 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 是锐角三角形且角 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1）
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
（2）由正弦定理得， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是锐角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
2-7、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦角为 SKIPIF 1 < 0
（1）求角B的大小；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（2）由（1）可知 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
题组三、正余弦定理与其它知识点的结合
3-1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 外接圆的半径为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0
又在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，则 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形.
则 SKIPIF 1 < 0
解之得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 外接圆的半径为 SKIPIF 1 < 0
故选：C
3-2、（2022·山东师范大学附中高三模拟）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知△ABC顶点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，顶点B在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A．0B．1C．2D．不确定
【答案】C
【解析】由题设知： SKIPIF 1 < 0 是椭圆的两个焦点，又B在椭圆上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
3-3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）（多选题）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差数列
B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差数列
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差数列
D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差数列
【答案】ABD
【解析】 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差数列，
则： SKIPIF 1 < 0 ，
利用 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
利用正弦和余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 依次成等差数列.
此时对等差数列 SKIPIF 1 < 0 的每一项取相同的运算得到数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，这些数列一般都不可能是等差数列，除非 SKIPIF 1 < 0 ，但题目没有说 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
故选：ABD.
3-4、（2022·湖南郴州·高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 中，若边 SKIPIF 1 < 0 对应的角分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长度．
【解析】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
（2）
解：∵ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
3-5、（2022·山东济南·高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 .中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求角 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【解析】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
1、（2021·山东泰安市·高三三模）在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由余弦定理得：，
所以，因为，所以，所以，
故选：D．
2、【2022·广东省普通高中10月阶段性质量检测】
在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为底角的等腰三角形”的（ ）
A 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理化简等式 SKIPIF 1 < 0 ，结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为底角的等腰三角形或以 SKIPIF 1 < 0 为直角的直角三角形.
因此，“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为底角的等腰三角形”的必要不充分条件.
故选：B.
3、【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】(多选题)
在 SKIPIF 1 < 0 中，下列命题正确的是（ ）
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 定为等腰三角形或直角三角形
C. 在等边 SKIPIF 1 < 0 中，边长为2，则 SKIPIF 1 < 0
D. 若三角形的三边的比是 SKIPIF 1 < 0 ，则此三角形的最大角为钝角
【答案】ABD
【解析】
【分析】A，根据正弦定理结合大角对大边可得结论；B，根据诱导公式及三角函数图像与性质可得结论；C，根据向量的数量积及夹角可得结论；D，设出三边的长度，利用余弦定理即可求出最大角．
【详解】解：对于A选项，由正弦定理结合大角对大边得
SKIPIF 1 < 0 ，故A选项正确；
对于B选项，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是三角形的内角，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 可能为等腰三角形或直角三角形，故B选项正确；
对于C选项，在等边 SKIPIF 1 < 0 中，边长为2，
则 SKIPIF 1 < 0 ,故C选项不正确；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0 的三边之比为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 设三边长依次为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ；则最大角是 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理知，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故D选项正确．
故选：ABD．
4、（2022·广东东莞·高三期末） SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的周长.
【解析】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
解：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 .
5、（2022·广东罗湖·高三期末）设 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
（2）若边 SKIPIF 1 < 0 上的高为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】解：由余弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ， 所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .
（2）
解：因为 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， 所以， SKIPIF 1 < 0 .
6、（2022·广东清远·高三期末）在平面四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【解析】（1）
因为 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
7、（2022·广东汕尾·高三期末） SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0
（1）求角B
（2）当b=3时，求 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值．
【解析】（1）由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立），
所以 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值 SKIPIF 1 < 0 .
8、（2022·湖南常德·高三期末）设a，b，c分别是 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求角A的大小；
（2）从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．
①设角A的角平分线交BC边于点D，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值．
②设点D为BC边上的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
【解析】（1）
∵ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
选①∵AD平分∠BAC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
由基本不等式可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取“=”，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
②因为AD是BC边上的中线，
在 SKIPIF 1 < 0 中由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取“=”，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
9、（2022·河北深州市中学高三期末） SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的周长.
【解析】解：（1）根据题意 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 .