湘教版高中数学选择性必修第一册专题强化练11圆锥曲线中的最值与范围问题的解法含答案

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专题强化练11　圆锥曲线中的最值与范围问题的解法1.(2022河南新乡一中期末)已知双曲线C:x28-y2=1的左焦点为F,点M在双曲线C的右支上,A(0,3),当△MAF的周长最小时,△MAF的面积为(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.607　　B.9　　C.37　　D.42.(2021天津耀华中学期中)已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,|F1F2|=4,点Q(2,2)在椭圆C上,P是椭圆C上的动点,则PQ·PF1的最大值为(　　)A.4　　B.92　　C.5　　D.4+23.(2021北京首师大附中期中)设F1为椭圆C:x22+y2=1的左焦点,P为椭圆C上给定一点,以PF1为直径作圆Γ,点Q为圆Γ上的动点,则坐标原点O到Q的距离的最大值为　　　　. 4.(2022湖南武冈二中期末)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点.D为OA的中点(O为坐标原点),B,D在y轴上的投影分别为P,Q,则|PQ|的最小值是　　　　. 5.(2022安徽舒城中学期末)已知椭圆x22+y2=1上存在相异两点关于直线y=x+t对称,则实数t的取值范围是　　　　. 6.(2022山西运城期末)已知直线l经过抛物线C:y=x28的焦点,与抛物线交于A,B两点,且xA+xB=8,点D是抛物线的一段弧AOB(O为原点)上一动点,以点D为圆心的圆与直线l相切,当圆D的面积最大时,圆D的标准方程为　　　　. 7.(2021湖南永州三模)已知动圆E与圆M:(x-1)2+y2=14外切,并与直线x=-12相切,记动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点Q(-2,0)的直线l交曲线C于A,B两点,若曲线C上存在点P使得∠APB=90°,求直线l的斜率k的取值范围.8.(2020天津和平期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点1,32,其一个焦点为(3,0).(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=k(x-1)(k≠0)与x轴交于点P,与椭圆C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q,求|AB||PQ|的取值范围.9.(2022湖南长沙一中月考)在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PG,G为垂足,GM=32GP.当点P在圆上运动时,点M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)过点Q(-1,0)的两条相互垂直的直线分别交曲线E于A,B和C,D,求四边形ACBD面积的取值范围.答案与分层梯度式解析1.A　设C的右焦点为F',由题意可得a=22,c=3,因为|MF|-|MF'|=2a=42,所以|MF|=|MF'|+42,易得|AF|=32,所以△MAF的周长为|MA|+|MF|+|AF|=|MA|+|MF'|+72≥|AF'|+72=102,即当A,M,F'三点共线,且M在线段AF'上时,△MAF的周长最小,易得直线AF'的方程为y=-x+3,联立y=-x+3,x28-y2=1,解得y=17或y=-1(舍去),即此时M的纵坐标为17,故△MAF的面积为12|FF'|·|OA|-12|FF'|·|yM|=12×6×3-17=607.故选A.2.B　由题意可得c=2,4a2+2b2=1,a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,所以椭圆的方程为x28+y24=1,易得F1(-2,0),设P(x,y),则x28+y24=1,即x2=8-2y2,-2≤y≤2,则PQ·PF1=(2-x,2-y)·(-2-x,-y)=x2-4+y2-2y=-y2-2y+4=-y+222+92,当且仅当y=-22时,PQ·PF1取得最大值,为92,故选B.3.答案　2解析　设PF1的中点为M,椭圆的右焦点为F2,连接OM,PF2,QM,由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=22,由OM为△PF1F2的中位线,可得|OM|=12|PF2|,又∵|QM|=12|PF1|,∴|OQ|≤|OM|+|QM|=12|PF1|+12|PF2|=12×2a=a=2,当且仅当O,M,Q三点共线时,|OQ|取得最大值,为2.4.答案　42解析　如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=my+2,联立x=my+2,y2=8x,整理得y2-8my-16=0,则y1+y2=8m,y1y2=-16,因为D为OA的中点,所以Dx12,y12,则Q0,y12,P(0,y2),从而|PQ|=|OP|+|OQ|=|y2|+y12≥2|y1y2|2=42,当且仅当|y2|=y12,即y1=42,y2=-22或y1=-42,y2=22时,等号成立.5.答案　-33,33解析　设两点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),根据对称性可知线段AB被直线y=x+t垂直平分,设AB的中点为M(x0,y0),则M在直线y=x+t上,且kAB=-1,故可设直线AB的方程为y=-x+b,联立y=-x+b,x22+y2=1,整理可得3x2-4bx+2b2-2=0,由Δ=16b2-12(2b2-2)>0,可得-30,因为圆D与直线l相切,所以圆D的面积最大时圆心D到直线l的距离最大.易得点D到直线l的距离d=t-t28+212+(-1)2=22t-t28+2=224-18(t-4)2,当t=4时,dmax=22,此时圆D的方程为(x-4)2+(y-2)2=8.7.解析　(1)因为动圆E与圆M:(x-1)2+y2=14外切,并与直线x=-12相切,所以点E到点M的距离比点E到直线x=-12的距离大12.因为圆M:(x-1)2+y2=14的半径为12,所以点E到点M的距离等于点E到直线x=-1的距离,所以圆心E的轨迹为抛物线,且焦点坐标为(1,0).所以曲线C的方程为y2=4x.(2)设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:y=k(x+2)(k≠0).由y2=4x,y=k(x+2),得ky2-4y+8k=0,则y1+y2=4k,y1y2=8.由k≠0,16-32k2>0,得-220恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=8k21+4k2,x1x2=4k2-41+4k2,y1+y2=k(x1+x2-2)=-2k1+4k2.所以线段AB的中点坐标为4k21+4k2,-k1+4k2,所以线段AB的垂直平分线方程为y--k1+4k2=-1kx-4k21+4k2,于是Q3k21+4k2,0.又因为点P(1,0),所以|PQ|=1-3k21+4k2=1+k21+4k2.又因为|AB|=(1+k2)8k21+4k22-4×4k2-41+4k2=4(1+k2)(1+3k2)1+4k2,所以|AB||PQ|=4(1+k2)(1+3k2)1+4k21+k21+4k2=41+3k21+k2=43-21+k2.因为k≠0,所以1<3-21+k2<3.所以|AB||PQ|的取值范围为(4,43).9.解析　(1)设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),则G(x0,0).∵GM=32GP,∴x=x0,y=32y0,∴x0=x,y0=23y,∵点P在圆x2+y2=4上,∴x02+y02=4,∴x2+23y2=4,∴曲线E的方程为x2+43y2=4,即x24+y23=1.(2)①当直线AB的倾斜角为0°时,|AB|=4,|CD|=3,S四边形ACBD =12|AB||CD|=6.同理直线AB的倾斜角为90°时,S四边形ACBD =12|AB|·|CD|=6.②当直线AB的倾斜角不为0°和90°时,设直线AB的方程为x=my-1(m≠0),则直线CD的方程为x=-1my-1,联立x=my-1,x24+y23=1,得(3m2+4)y2-6my-9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,|AB|=m2+1·|y1-y2|=m2+1(y1+y2)2-4y1y2=m2+16m3m2+42+363m2+4=m2+1×6×4m2+43m2+4=12×m2+13m2+4,用-1m代替m得|CD|=12×1+m24m2+3,∴四边形ACBD的面积S=12|AB||CD|=12×12×m2+13m2+4×12×1+m24m2+3,令t=m2+1,m≠0,∴t>1,∴0<1t<1,∴S=72×t3t+1×t4t-1=72×13+1t×14-1t=72×112+1t-1t2=72×1-1t-122+494,0<1t<1,∴28849≤S<6.综上所述,四边形ACBD面积的取值范围是28849,6.