江苏省南京市中华中学2023-2024学年高三上学期期初检测数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南京市中华中学2023-2024学年高三上学期期初检测数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,,则( )
A.MB.NC.D.
2．已知复数z满足（i为虚数单位），是z的共轭复数，则( )
A.5B.C.10D.
3．已知向量,则向量在向量上的投影向量( )
A.B.C.D.
4．若正三棱锥的高为2,,其各顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
A.B.C.D.
5．在等比数列中,有,数列是等差数列,且,则等于( )
A.4B.8C.16D.24
6．已知F是双曲线的一个焦点,A为C的虚轴的一个端点,（O为坐标原点）,直线垂直于C的一条渐近线,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
7．已知函数的定义域为R,值域为,若,函数为偶函数,,则( )
A.B.C.D.
8．已知,对任意正数x都有恒成立,则t的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.两个变量的相关系数r越大,它们的相关程度越强
B.数据5,7,8,11,13,15,17的第80百分位数为15
C.将4个人分到三个不同的岗位工作,每个岗位至少1人,有72种不同的方法
D.若随机事件A,B满足,,,则
10．已知函数,将的图像上所有点向右平移个单位长度,然后横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图像.若为奇函数,且最小正周期为,则下列说法正确的是( )
A.函数的图像关于点中心对称
B.函数在区间上单调递减
C.不等式的解集为
D.方程在上有2个解
11．已知直线与圆,下列说法正确的是( )
A.所有圆均不经过点
B.若圆关于直线对称,则
C.若直线l与圆相交于A、B,且,则
D.不存在圆与x轴、y轴均相切
12．函数,则下列结论正确的是( )
A.若函数在上为减函数,则
B.若函数的对称中心为,则
C.当时,若有三个根,,且,则
D.当时,若过点可作曲线的三条切线,则
三、填空题
13．已知,且,则的值为______________.
14．已知四边形是边长为2的菱形,,P为的中点,则的值为_______________.
15．已知在正方体中,,E是的中点,F是侧面内（含边界）的动点,若,则的最小值为________________.
16．已知函数,若函数恰有6个零点,则实数a的取值范围为____________________.
四、解答题
17．如图,在中,点D在边上,,,.
(1)求证：;
(2)若,求和的长.
18．设数列的前n项和为.已知，，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设数列的前n项和为，且，令，求数列的前n项和.
19．2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行.为做好本次考试的评价工作,将本次成绩转化为百分制,现从中随机抽取了50名学生的成绩,经统计,这批学生的成绩全部介于40至100之间,将数据按照,,,,,分成6组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值,并估计这50名学生成绩的中位数;
(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在,,的三组中抽取了11人,再从这11人中随机抽取3人,记为3人中成绩在的人数,求的分布列和数学期望;
(3)转化为百分制后,规定成绩在的为A等级,成绩在的为B等级,其它为C等级.以样本估计总体,用频率代替概率,从所有参加生物学竞赛的同学中随机抽取100人,其中获得B等级的人数设为,记B等级的人数为k的概率为,写出的表达式,并求出当k为何值时,最大？
20．在三棱台中,G为中点,,,.
(1)求证：平面;
(2)若,,平面与平面所成二面角大小为,求三棱锥的体积.
21．已知椭圆的一个焦点为,左、右顶点分别为A,B,经过点F的直线与椭圆M交于C,D两点.
(1)当直线l的斜率为1时,求线段CD的长;
(2)记与的面积分别为和,求的最大值.
22．已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数的零点分别为,,且,证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,且,所以,
又,所以.
故选：C.
2．答案：A
解析：由得，，.故选A.
3．答案：D
解析：因为,,
所以,,
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：D.
4．答案：C
解析：已知正三棱锥的底面边长为,高为,且三棱锥的四个顶点都在同一球面上,
如图所示：
,
设点E为的中心,O为外接球的球心,可能在三棱锥内部,也可能在外部,
,即,解得.
该球的表面积为.
故选：C.
5．答案：C
解析： 是等比数列, ,,所以,即,
是等差数列,所以.
故选：C.
6．答案：A
解析：不妨设F为右焦点,A为C的虚轴的端点且在轴的正半径轴上,则,
则,
因为,所以,即,
所以直线的斜率为,
因为双曲线渐近线方程为,
因为直线垂直于C的一条渐近线,所以,
所以,所以,
所以,解得,
因为,所以,
故选：A.
7．答案：B
解析：由可得,①
对任意的,,所以,,②
由①②可得,所以函数是周期为4的周期函数.
因为为偶函数,则,
因为,由可得,
且,
由可得,
因为,所以,,故函数为偶函数,
因为,则,所以,,
由可得,
因为,所以,
.
故选：B.
8．答案：B
解析：若,则时,,即不恒成立,不合题意;
若,则时,,即不恒成立,不合题意;
当时,令,对任意正数x都有,
在上递增,
当,时,恒成立,
当,时,,,
因为,所以,
则,即,
所以,,
设,则,
由,在上递增;
由,在上递减,
所以,
则,即t的最小值为,
故选：B.
9．答案：BD
解析：对于A：相关系数越接近1,线性相关程度越强;越接近0,线性相关程度越弱,故A错误;
对于B：由于,所以数据5,7,8,11,13,15,17的第80百分位数为15,故B正确;
对于C：先捆绑再排列,先从4个人中抽取2人一组,故有,故C正确;
对于D：由全概率公式,得,故D正确;
故选：BD.
10．答案：ACD
解析：根据题意可得,,
又因为最小正周期为,则,且,则,
即,
又因为为奇函数,则,,
解得,,且,
所以当时,,所以,
则,
对于A,当时,,所以点是的对称中心,故正确;
对于B,令,解得,,所以不是,的子集,故错误;
对于C,因为,即,
所以,解得,,故正确;
对于D,分别画出与在的图像,通过图像即可得到共有两个交点,故正确.
故选：ACD
11．答案：ABD
解析：A：将代入,则,
所以,此时,
所以不存在k值,使圆经过点,对;
B：若圆关于直线l对称,则在直线上,
所以,则,对;
C：由题意,到直线l的距离,
所以,则,可得或-1,错;
D：若圆与x轴y轴均相切,则,显然无解,即不存在这样的圆,对;
故选：ABD.
12．答案：ACD
解析：对选项A：,,
函数在上为减函数,则,解得,正确;
对选项B：函数的对称中心为,则,,错误;
对选项C：,,
当时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增;
,,,故,,
要证,即,
整理得到,,不等式成立,正确;
对选项D：设切点为,则,,
则切线方程为,
将代入上式,整理得,方程有三个不同解,
设,则,
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减;
极小值,极大值,故,正确;
故选：ACD.
13．答案：
解析：由题意,,
又,所以,则,
所以,
故答案为：.
14．答案：-1
解析：因为四边形是边长为2的菱形,,
所以,
因为P为的中点,所以,
所以
.
故答案为：-1.
15．答案：
解析：取中点M,连接,,,
在直角,中,,,,
故,所以,
又在正方体中,平面,平面,
又,,,平面,
所以平面,平面,所以,
又,,平面,则平面,即F点的轨迹是线段,
在直角中,,,
当时,最小,此时,
即的最小值为.
故答案为：.
16．答案：
解析：当时,则,所以当时,
当时,
所以在上单调递增,在上单调递减,
则在处取得极大值,,且时,当时,
当时,函数在上单调递增,
所以的图象如下所示：
对于函数,令,即,
令,则,
要使恰有6个不相等的实数根,
即关于t的有两个不相等的实数根,,且,,
令,则有两个不相等的零点均位于之间,
所以,解得,
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
17．答案：(1)证明见解析;
(2),
解析：(1)在中,
由正弦定理可得：,
可得：,
在中,,则,
由于,,
所以,
即.
(2)在中,,,
由余弦定理,
即,
整理得,
因为,所以,,
因为,所以,
所以
,
所以
所以,
所以.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）①，当时，②，
①－②得：，
即，所以，且，
所以是以1为公差的等差数列.
（2）由（1）得，，当时，；当时，；
又满足上式，所以.所以，记数列的前n项和为.
，①
，②
①－②得，③
则，④
③－④得，所以.
19．答案：(1),68
(2)分布列见解析,
(3),,1,3,,40,40
解析：(1)由频率分布直方图的性质可得,,
解得,
设中位数为n,
,解得.
(2),,的三组频率之比为,
从,,中分别抽取7人,3人,1人,
所有可能取值为0,1,2,3,
,
,
,
,
故的分布列为：
故.
(3)B等级的概率为,
,,1,3,,100,
令①,②,
由①可得,,解得,由②可得,,解得,
故时,取得最大.
20．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)在三棱台中,G为中点,则,
又,,
,四边形为平行四边形,,
又,,
,,,
,,平面,平面.
(2),,,
又,,,平面,平面,
连接,,,G为中点,;
以为正交基底,可建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,
设,则,,
,,
设平面的一个法向量为,
则,令,解得：,,;
又平面的一个法向量,
,解得：,即,
平面,平面平面,平面,
.
21．答案：(1)
(2)有最大值.
解析：(1)为椭圆M的焦点,,
又,,
椭圆M的方程为;
设直线方程为,
和椭圆方程联立消掉y,得,
计算知,
方程有两实根,且,,
所以
(2)当直线无斜率时,此时直线方程为,则C,D两点关于x轴对称,所以,
则,
当直线斜存在时,依题意,知,设直线方程为,
和椭圆方程联立消掉y,得则,
显然,方程有两实根,且,,
由于C,D两点在x轴的上下两侧,所以,异号,
此时
,
将上式变形,得,
由于,当且仅当,即时等号成立,
当时,有最大值.
22．答案：(1)答案见解析
(2)证明见解析
解析：(1)函数的定义域为,导函数,
①当时,,则在上单调递增;
②当时,令,则,
当时,,函数在上单调递增,
当时,,函数在上单调递减;
(2)由(1)知,方程的两个不等的正实根,,即,,
亦即,从而,
设,又,即,
要证,即证,
只需证,
即证,
即证,
即证,
即证,
即证,
即证,
令,则,,
设,,则
则在上单调递增,有,
于是,即有在上单调递增,
因此,即,
所以成立,即.
0
1
2
3
P