新高考数学一轮复习讲义第2章 §2.10　函数模型的应用（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习讲义第2章 §2.10　函数模型的应用（含解析），共20页。


知识梳理
1．三种函数模型的性质
2.常见的函数模型
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( × )
(2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利．( × )
(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)和y＝lgax(a>1)的增长速度．( √ )
(4)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( × )
教材改编题
1．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝lg2x
答案 D
解析 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝lg2x，可知满足题意．
2．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
答案 D
3．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少要经过________个“半衰期”．
答案 10
解析 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n，
由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.
题型一 用函数图象刻画变化过程
例1 (1)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是( )
答案 B
解析 水匀速流出，所以鱼缸水深h先降低快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快．
(2)(2022·泰州模拟)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律( )
A．y＝mx2＋n(m>0)
B．y＝max＋n(m>0,0C．y＝max＋n(m>0，a>1)
D．y＝mlgax＋n(m>0，a>0，a≠1)
答案 B
解析 由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0,0教师备选
已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )
答案 D
解析 依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；
当4当8思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
跟踪训练1 (1)(2022·内江模拟)对于下列表格中的数据进行回归分析时，下列四个函数模型拟合效果最优的是( )
A.y＝3×2x－1 B．y＝lg2x
C．y＝3x D．y＝x2
答案 A
解析 根据题意，这3组数据可近似为(1,3)，(2,6)，(3,12)；
得到增长速度越来越快，排除B，C，对于选项D，三组数据都不满足，
对于选项A，三组数据代入后近似满足，
则模拟效果最好的函数是y＝3×2x－1.
(2)(2022·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：
则下列可以实现该功能的一种函数图象是( )
答案 A
解析 根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在y＝x上方．结合选项只有A选项能够较好的达到目的．
题型二 已知函数模型的实际问题
例2 (2022· 百师联盟联考)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2＋80x，0(1)写出年利润W(x)万元关于年产量x台的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
解 (1)由题意可得，当0W(x)＝200x－(2x2＋80x)－300
＝－2x2＋120x－300；
当40W(x)＝200x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(201x＋\f(3 600,x)－2 100))－300
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3 600,x)))＋1 800，
所以W(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x2＋120x－300，0(2)若0所以当x＝30时，W(x)max＝1 500万元．
若40W(x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3 600,x)))＋1 800
≤－2eq \r(x·\f(3 600,x))＋1 800
＝－120＋1 800＝1 680，
当且仅当x＝eq \f(3 600,x)时，
即x＝60时，W(x)max＝1 680万元．
所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1 680万元．
教师备选
(2022·重庆南开中学模拟)某企业自主开发出一款新产品A，计划在2022年正式投入生产，已知A产品的前期研发总花费为50 000元，该企业每年最多可生产4万件A产品．通过市场分析知，在2022年该企业每生产x(千件)A产品，需另投入生产成本R(x)(千元)，
且R(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2＋60x，0(1)求该企业生产一件A产品的平均成本p(元)关于x的函数关系式，并求平均成本p的最小值(总成本＝研发成本＋生产成本)；
(2)该企业欲使生产一件A产品的平均成本p≤66元，求其年生产值x(千件)的取值区间？
解 (1)由题知生产x千件的总成本为(R(x)＋50)千元，
故生产一件的平均成本为eq \f(Rx＋50,x)元，
所以p(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋60＋\f(50,x)，0当x∈(0,10]时，p(x)＝eq \f(1,2)x＋60＋eq \f(50,x)单调递减，
故最小值为p(10)＝70，
当x∈(10,40]时，p(x)＝1 800eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－\f(1,20)))2＋65.5，
故最小值为p(20)＝65.5，所以生产一件A产品的平均成本最低为65.5元．
(2)由(1)知，要使p(x)≤66只需考虑x∈(10,40]，
即70＋eq \f(1 800,x2)－eq \f(180,x)≤66，
整理得x2－45x＋450≤0，解得15≤x≤30，
所以当x∈[15,30]时，生产一件A产品的平均成本不超过66元．
思维升华 求解已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
跟踪训练2 (1)“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝eq \f(kP,1＋lg t＋1)，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝eq \f(1,6)P.现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为(lg 61≈1.79)( )
A．440分 B．460分
C．480分 D．500分
答案 B
解析 由题意得，
f(60)＝eq \f(kP,1＋lg 61)＝eq \f(kP,2.79)＝eq \f(1,6)P，
∴k≈eq \f(2.79,6)＝0.465，
∴f(100)＝eq \f(0.465×400,1＋lg 101)＝eq \f(186,1＋lg 100＋lg 1.01)
≈eq \f(186,3)＝62，
∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462≈460(分)．
(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·lgbt.
利用你选取的函数，求：
①西红柿种植成本最低时的上市天数是______；
②最低种植成本是________元/100 kg.
答案 ①120 ②80
解析 因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a60－1202＋m＝116，,a100－1202＋m＝84，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0.01，,m＝80，))
所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.
题型三 构造函数模型的实际问题
例3 (1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 C
解析 设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，
则vn＝100×0.90n－1.
由100×0.90n－1<60，
得0.90n－1<0.6，
则(n－1)ln 0.90即n－1>eq \f(ln 0.6,ln 0.9)≈eq \f(－0.511,－0.105)≈4.87，则n>5.87，
故至少需要“打水漂”的次数为6.
(2)(2022·滨州模拟)某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160 cm及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190 cm及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k关于身高x(cm)的函数关系式________．
答案 k＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，0解析 由题意知函数k(x)在[160,190]上单调递增，
设k(x)＝ax＋b(a>0)，x∈[160,190]，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(160a＋b＝0，,190a＋b＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,30)，,b＝－\f(16,3)，))
所以k(x)＝eq \f(1,30)x－eq \f(16,3)，
所以k＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，0教师备选
国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解 设该旅行团的人数为x，飞机票的价格为y元．旅行社可获得的利润为w元．
(1)①当0≤x≤30时，y＝900，
②当30y＝900－10(x－30)＝－10x＋1 200，
综上有y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(900，0≤x≤30，,－10x＋1 200，30(2)当0≤x≤30时，w＝900x－15 000，
当x＝30时，
wmax＝900×30－15 000＝12 000(元)；
当30w＝(－10x＋1 200)·x－15 000
＝－10x2＋1 200x－15 000
＝－10(x－60)2＋21 000，
当x＝60时，w最大为21 000元，
∴每团人数为60时，旅行社可获得最大利润．
思维升华 构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释、返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．
跟踪训练3 (1)(多选)(2022·常州模拟)某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5 000册．要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为( )
A．2.5元 B．3元
C．3.2元 D．3.5元
答案 BC
解析 依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，
设每册杂志定价为x(x>2)元，
则发行量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10－\f(x－2,0.2)×0.5))万册，
则该杂志销售收入为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10－\f(x－2,0.2)×0.5))x万元，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10－\f(x－2,0.2)×0.5))x≥22.4，
化简得x2－6x＋8.96≤0，
解得2.8≤x≤3.2.
(2)(2022·南京模拟)拉面是很多人喜好的食物．师傅在制作拉面的时候，将面团先拉到一定长度，然后对折，对折后面条根数变为原来的2倍，再拉到上次面条的长度．每次对折后，师傅都要去掉捏在一只手里的面团．如果拉面师傅将300克面团拉成细丝面条，每次对折后去掉捏在手里的面团都是18克．第一次拉的长度是1米，共拉了7次，假定所有细丝面条粗线均匀、质量相等，则最后每根1米长的细丝面条的质量是________．
答案 3克
解析 拉面师傅拉7次面条共有27－1＝26＝64根面条，在7次拉面过程中共对折6次，则去掉面的质量为6×18＝108(克)；剩下64根面条的总质量为300－108＝192(克)，则每根1米长的细丝面条的质量为eq \f(192,64)＝3(克)．
课时精练
1．(2020·全国Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x
答案 D
解析 由散点图可以看出，点大致分布在对数型函数的图象附近．
2．(2022·福建师大附中月考)视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：
现有如下函数模型：①y＝5＋lg x，②y＝5＋eq \f(1,10)lg eq \f(1,x)，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(附100.3＝2，5－0.22＝0.7，10－0.1＝0.8)( )
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8
答案 B
解析 由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为y＝5＋lg x，
令y＝5＋lg x＝4.7，解得x＝10－0.3＝0.5.
3．某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了( )
A．0.33米 B．0.42米
C．0.39米 D．0.43米
答案 B
解析 该女生训练前立定跳远距离为
1.84－0.03×eq \f(90－70,5)＝1.72(米)，
训练后立定跳远距离为
1.84＋0.1×eq \f(105－90,5)＝2.14(米)，
则该女生训练后，立定跳远距离增加了2.14－1.72＝0.42(米)．
4．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度经有关研究可知：在室温25 ℃下，某种绿茶用85 ℃的水泡制，经过x min后茶水的温度为y ℃，且y＝k·0.908 5x＋25(x≥0，k∈R)．当茶水温度降至55 ℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为(结果保留整数，参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 0.908 5≈－0.096 0) ( )
A．6 min B．7 min
C．8 min D．9 min
答案 B
解析 由题意可知，
当x＝0时，y＝85，则85＝k＋25，解得k＝60，
所以y＝60×0.908 5x＋25.
当y＝55时，55＝60×0.908 5x＋25，
即0.908 5x＝0.5，
则x＝lg0.908 50.5＝eq \f(ln \f(1,2),ln 0.908 5)＝eq \f(－ln 2,ln 0.908 5)
≈eq \f(0.693 1,0.096 0)≈7，
所以茶水泡制时间大约为7 min.
5．(多选)(2022·厦门模拟)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则( )
A．a＝3
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物eq \f(1,8)小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为5eq \f(31,32)小时
答案 AD
解析 由函数图象可知y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4t，0≤t<1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t－a，t≥1，))
当t＝1时，y＝4，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－a＝4，解得a＝3，
∴y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4t，0≤t<1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t－3，t≥1，))故A正确，
药物刚好起效的时间，当4t＝0.125，即t＝eq \f(1,32)，
药物刚好失效的时间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t－3＝0.125，
解得t＝6，
故药物有效时长为6－eq \f(1,32)＝5eq \f(31,32)(小时)，
注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时，故B错误，D正确；注射该药物eq \f(1,8)小时后每毫升血液含药量为4×eq \f(1,8)＝0.5(微克)，故C错误．
6．(多选)某导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过eq \f(2,3)的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：
有下列函数模型：①y＝a·bx－2 016；②y＝asin eq \f(πx,2 016)＋b；③y＝alg(x＋b)(a>0，b>1)(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)，则以下说法正确的是( )
A．选择模型①，函数模型解析式y＝4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x－2 016，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系
B．选择模型②，函数模型解析式y＝4sin eq \f(πx,2 016)＋2 016，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系
C．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2021年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨
D．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨
答案 AD
解析 若选y＝4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x－2 016，计算可得对应数据近似为4,6,9,13.5，
若选y＝4sin eq \f(πx,2 016)＋2 016，计算可得对应数据近似值都大于2 012，
显然A正确，B错误；
按照选择函数模型y＝4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x－2 016，
令y>40，即4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x－2 016>40，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x－2 016>10，
∴x－2 016> SKIPIF 1 < 0 ，
∴x－2 016>eq \f(lg 10,lg \f(3,2))＝eq \f(1,lg 3－lg 2)≈5.678 6，
∴x>2 021.678 6，
即从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C错误，D正确．
7．(2022·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y(数量：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alg2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．
答案 300
解析 由题意知100＝alg2(1＋1)⇒a＝100，
当x＝7时，可得y＝100lg2(7＋1)＝300.
8．(2022·临沂模拟)著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度为θ0 ℃，则t分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt.若常数k＝0.05，空气温度为30 ℃，某物体的温度从90 ℃下降到50 ℃，大约需要的时间为________分钟．(参考数据：ln 3≈1.1)
答案 22
解析 由题知θ0＝30，θ1＝90，θ＝50，
∴50＝30＋(90－30)e－0.05t，
∴e－0.05t＝eq \f(1,3)，
∴－0.05t＝ln eq \f(1,3)，
∴0.05t＝ln 3，
∴t＝eq \f(ln 3,0.05)＝20×ln 3≈22.
9．某公司为改善营运环境，年初以50万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为30万元，使用x年(x∈N*)所需的各种费用总计为(2x2＋6x)万元．
(1)该车营运第几年开始盈利(总收入超过总支出，今年为第一年)；
(2)该车若干年后有两种处理方案：
①当盈利总额达到最大值时，以10万元价格卖出；
②当年平均盈利总额达到最大值时，以12万元的价格卖出．
问：哪一种方案较为合算？并说明理由．
解 (1)∵客车每年的营运总收入为30万元，使用x年(x∈N*)所需的各种费用总计为(2x2＋6x)万元，若该车x年开始盈利，
则30x>2x2＋6x＋50，
即x2－12x＋25<0，∵x∈N*，∴3≤x≤9，
∴该车营运第3年开始盈利．
(2)方案①盈利总额y1＝30x－(2x2＋6x＋50)
＝－2x2＋24x－50＝－2(x－6)2＋22，
∴x＝6时，盈利总额达到最大值为22万元．
∴6年后卖出客车，可获利润总额为22＋10＝32(万元)．
方案②年平均盈利总额y2＝eq \f(－2x2＋24x－50,x)＝－2x－eq \f(50,x)＋24＝24－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,x)))≤4(当且仅当x＝5时取等号)．
∴x＝5时年平均盈利总额达到最大值4万元．
∴5年后卖出客车，可获利润总额为4×5＋12＝32(万元)．
∵两种方案的利润总额一样，但方案②的时间短，∴方案②较为合算．
10．(2022·保定模拟)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为k)，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24 m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36 m2，凤眼莲的覆盖面积y(单位：m2)与月份x(单位：月)的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝ SKIPIF 1 < 0 ＋k(p>0，k>0)可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解 (1)由题设可知，两个函数y＝kax(k>0，a>1)，y＝ SKIPIF 1 < 0 ＋k(p>0，k>0)在(0，＋∞)上均为增函数，
随着x的增大，函数y＝kax(k>0，a>1)的值增加得越来越快，
而函数y＝ SKIPIF 1 < 0 ＋k(p>0，k>0)的值增加得越来越慢，
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型y＝kax(k>0，a>1)满足要求．
由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ka2＝24，,ka3＝36，))
解得k＝eq \f(32,3)，a＝eq \f(3,2)，故该函数模型的解析式为y＝eq \f(32,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x(x∈N)．
(2)当x＝0时，y＝eq \f(32,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))0＝eq \f(32,3)，
故元旦放入凤眼莲的面积为eq \f(32,3) m2，
由eq \f(32,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x>10×eq \f(32,3)，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x>10，
故x> SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(lg 10,lg \f(3,2))＝eq \f(1,lg 3－lg 2)，
由于eq \f(1,lg 3－lg 2)≈eq \f(1,0.477 1－0.301 0)≈5.7，
故x≥6.
因此，凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．
11．(2022·衡阳模拟)“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时，在24 ℃的保鲜时间为8小时，那么在12 ℃时，该果蔬的保鲜时间为( )
A．72小时 B．36小时
C．24小时 D．16小时
答案 A
解析 当x＝6时，e6a＋b＝216；
当x＝24时，e24a＋b＝8，则eq \f(e6a＋b,e24a＋b)＝eq \f(216,8)＝27，
整理可得e6a＝eq \f(1,3)，于是eb＝216×3＝648，
当x＝12时，
y＝e12a＋b＝(e6a)2·eb＝eq \f(1,9)×648＝72.
12．(2022·南通模拟)“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强I与标准声强I0(I0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lg eq \f(I,I0).取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音强度y(分贝)与喷出的泉水高度x(m)之间满足关系式y＝2x，甲、乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为70 m，60 m．若甲同学大喝一声的声强大约相当于n个乙同学同时大喝一声的声强，则n的值约为( )
A．10 B．100 C．200 D．1 000
答案 B
解析 设甲同学的声强为I1，乙同学的声强为I2，
则140＝10lg eq \f(I1,10－12)，120＝10lg eq \f(I2,10－12)，
两式相减即得20＝10lg eq \f(I1,I2)，即lg eq \f(I1,I2)＝2，
从而eq \f(I1,I2)＝100，所以n的值约为100.
13．如图所示，一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m
(0答案 C
解析 设AD＝x米，则CD＝(16－x)米，
要将树围在矩形内，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥a，,16－x≥4，))
∴a≤x≤12.
S＝x(16－x)＝－(x－8)2＋64，x∈[a,12]，
当0当8Smax＝－a2＋16a.
综上有f(a)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(64，014．(2022·芜湖模拟)央视某主持人曾自曝，自小不爱数学，成年后还做过数学噩梦，心狂跳不止：梦见数学考试了，水池有个进水管，5小时可注满，池底有一个出水管，8小时可放完满池水．若同时打开进水管和出水管，多少小时可注满空池？“这题也太变态了，你到底想放水还是注水？”主持人质疑这类问题的合理性．其实这类放水注水问题只是个数学模型，用来刻画“增加量－消耗量＝改变量”，这类数量关系可以用于处理现实生活中的大量问题．例如，某仓库从某时刻开始4小时内只进货不出货，在随后的8小时内同时进出货，接着按此进出货速度，不进货，直到把仓库中的货出完．假设每小时进、出货量是常数，仓库中的货物量y(吨)与时间x(小时)之间的部分关系如图，那么从不进货起__________小时后该仓库内的货恰好运完．
答案 8
解析 由图象可知，在0到4小时进货20吨，故进货速度是5吨/小时，所以出货速度为(20＋5×8－30)÷8＝eq \f(15,4)(吨/小时)，从不进货起，需要30÷eq \f(15,4)＝8(小时)将该仓库内的货恰好运完．
15．(多选)(2022·济南模拟)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)，则下列结论正确的是( )
A．当x>1时，甲走在最前面
B．当x>1时，乙走在最前面
C．当01时，丁走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
答案 CD
解析 甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．
当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；
当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；
根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当01时，丁走在最后面，所以C正确；
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．
16．某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为y＝f(x)时，该公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25,1 600]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤90恒成立；③f(x)≤eq \f(x,5)恒成立．
(1)现有两个奖励函数模型：(Ⅰ)f(x)＝eq \f(1,15)x＋10；(Ⅱ)f(x)＝2eq \r(x)－6.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
(2)已知函数f(x)＝aeq \r(x)－10(a≥2)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．
解 (1)对于函数模型：(Ⅰ)f(x)＝eq \f(1,15)x＋10，验证条件③：当x＝30时，f(x)＝12，而eq \f(x,5)＝6，
即f(x)≤eq \f(x,5)不成立，故不符合公司要求；
对于函数模型：(Ⅱ)f(x)＝2eq \r(x)－6，
当x∈[25,1 600]时，条件①f(x)是增函数满足；
∴f(x)max＝2eq \r(1 600)－6＝2×40－6＝74<90，满足条件②；
对于条件③：
记g(x)＝2eq \r(x)－6－eq \f(x,5)(25≤x≤1 600)，
则g(x)＝－eq \f(1,5)(eq \r(x)－5)2－1，
∵eq \r(x)∈[5,40]，
∴当eq \r(x)＝5时，
g(x)max＝－eq \f(1,5)(5－5)2－1＝－1≤0，
∴f(x)≤eq \f(x,5)恒成立，即条件③也成立．
故函数模型： (Ⅱ)f(x)＝2eq \r(x)－6符合公司要求．
(2)∵a≥2，
∴函数f(x)＝aeq \r(x)－10符合条件①；
由函数f(x)＝aeq \r(x)－10符合条件②，
得aeq \r(1 600)－10＝a×40－10≤90，
解得a≤eq \f(5,2)；
由函数f(x)＝aeq \r(x)－10符合条件③，
得aeq \r(x)－10≤eq \f(x,5)对x∈[25,1 600]恒成立，
即a≤eq \f(\r(x),5)＋eq \f(10,\r(x))对x∈[25,1 600]恒成立．
∵eq \f(\r(x),5)＋eq \f(10,\r(x))≥2eq \r(2)，当且仅当eq \f(\r(x),5)＝eq \f(10,\r(x))，
即x＝50时等号成立，
∴a≤2eq \r(2)，
综上所述，实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2))).函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝lgax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
－0.01
0.98
2.00
x
1
2
3
y
3
5.99
12.01
时间t
60
100
180
种植成本Q
116
84
116
小数记录x
0.1
0.12
0.15
…
1
1.2
1.5
2.0
五分记录y
4.0
4.1
4.2
…
5
5.1
5.2
5.3
年份x
2016
2017
2018
2019
包装垃圾y(万吨)
4
6
9
13.5