新高考数学一轮复习讲义第5章 §5.4 平面向量中的综合问题 培优课(含解析)
展开题型一 平面向量在几何中的应用
例1 (1)在△ABC中,AC=9,∠A=60°,D点满足eq \(CD,\s\up6(→))=2eq \(DB,\s\up6(→)),AD=eq \r(37),则BC的长为( )
A.3eq \r(7) B.3eq \r(6)
C.3eq \r(3) D.6
答案 A
解析 因为eq \(CD,\s\up6(→))=2eq \(DB,\s\up6(→)),
所以eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BD,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))
=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))-eq \(AB,\s\up6(→)))
=eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→)),
设AB=x,则eq \(AD2,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))+\f(1,3)\(AC,\s\up6(→))))2,
得37=eq \f(4,9)x2+eq \f(4,9)×x×9cs 60°+eq \f(1,9)×92,
即2x2+9x-126=0,
因为x>0,故解得x=6,即AB=6,
所以BC=eq \r(AB2+AC2-2AB·ACcs 60°)
=eq \r(62+92-2×6×9×\f(1,2))=3eq \r(7).
(2)已知平行四边形ABCD,证明:AC2+BD2=2(AB2+AD2).
证明 取{eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AD,\s\up6(→))}为基底,设eq \(AB,\s\up6(→))=a,eq \(AD,\s\up6(→))=b,
则eq \(AC,\s\up6(→))=a+b,eq \(DB,\s\up6(→))=a-b,
∴eq \(AC,\s\up6(→))2=(a+b)2=a2+2a·b+b2,
eq \(DB,\s\up6(→))2=(a-b)2=a2-2a·b+b2,
上面两式相加,得eq \(AC,\s\up6(→))2+eq \(DB,\s\up6(→))2=2(a2+b2),
∴AC2+BD2=2(AB2+AD2).
思维升华 用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题eq \(――→,\s\up7(设向量))向量问题eq \(――→,\s\up7(计算))解决向量问题eq \(――→,\s\up7(还原))解决几何问题.
跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅲ)在平面内,A,B是两个定点,C是动点,若eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))=1,则点C的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆
C.抛物线 D.直线
答案 A
解析 建立如图所示的平面直角坐标系Oxy,
设点A,B的坐标分别为(-a,0),(a,0),点C为(x,y),
则eq \(AC,\s\up6(→))=(x+a,y),eq \(BC,\s\up6(→))=(x-a,y),
所以eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))=(x-a)(x+a)+y·y
=x2+y2-a2=1,
整理得x2+y2=a2+1.
因此点C的轨迹为圆.
(2)(多选)在四边形ABCD中,eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(DC,\s\up6(→))=(6,8),且eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)+eq \f(\(AD,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))|)=eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|),则下列结论成立的是( )
A.四边形ABCD为菱形
B.∠BAD=120°
C.|eq \(AC,\s\up6(→))|=10eq \r(3)
D.|eq \(BD,\s\up6(→))|=10eq \r(3)
答案 ABD
解析 eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(DC,\s\up6(→))=(6,8),
则四边形ABCD为平行四边形,
设m,n,p都是单位向量,m+n=p,
则(m+n)2=p2,m2+2m·n+n2=p2,
1+2m·n+1=1,
则m·n=-eq \f(1,2)=cs〈m,n〉,所以〈m,n〉=120°,
因此由eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)+eq \f(\(AD,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))|)=eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)知∠BAD=120°,且AC是∠BAD的平分线,因此四边形ABCD是菱形,而|eq \(AB,\s\up6(→))|=10,所以|eq \(BD,\s\up6(→))|=eq \r(3)|eq \(AB,\s\up6(→))|=10eq \r(3),|eq \(AC,\s\up6(→))|=10.
题型二 和向量有关的最值(范围)问题
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
例2 (2022·广州模拟)如图,在平行四边形ABCD中,点E是CD的中点,点F为线段BD上的一动点,若eq \(AF,\s\up6(→))=xeq \(AE,\s\up6(→))+yeq \(DC,\s\up6(→))(x>0,y>0),则eq \f(2-3x,4y2+1)的最大值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,4)
C.1 D.2
答案 A
解析 设BD,AE交于O,因为DE∥AB,
所以△AOB∽△EOD,所以eq \f(AO,OE)=eq \f(AB,DE)=2,
所以AO=2OE,则eq \(AE,\s\up6(→))=eq \f(3,2)eq \(AO,\s\up6(→)),
所以eq \(AF,\s\up6(→))=xeq \(AE,\s\up6(→))+yeq \(DC,\s\up6(→))=eq \f(3,2)xeq \(AO,\s\up6(→))+yeq \(AB,\s\up6(→)),
因为O,F,B三点共线,
所以eq \f(3,2)x+y=1,即2-3x=2y,
所以eq \f(2-3x,4y2+1)=eq \f(2y,4y2+1)=eq \f(2,4y+\f(1,y)),
因为x>0,y>0,
所以4y+eq \f(1,y)≥2eq \r(4y·\f(1,y))=4,
当且仅当4y=eq \f(1,y),即y=eq \f(1,2)时等号成立,
此时x=eq \f(1,3),
所以eq \f(2-3x,4y2+1)=eq \f(2,4y+\f(1,y))≤eq \f(2,4)=eq \f(1,2).
命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题
例3 (2020·新高考全国Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→)) 的取值范围是( )
A.(-2,6) B.(-6,2)
C.(-2,4) D.(-4,6)
答案 A
解析 如图,取A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,
则A(0,0),B(2,0),C(3,eq \r(3)),
F(-1,eq \r(3)).
设P(x,y),则eq \(AP,\s\up6(→))=(x,y),eq \(AB,\s\up6(→))=(2,0),
且-1
命题点3 与模有关的最值(范围)问题
例4 已知向量a=(cs θ,sin θ),b=(-eq \r(3),1),则|2a-b|的最大值为________.
答案 4
解析 方法一 由题意得|a|=1,|b|=2,
a·b=sin θ-eq \r(3)cs θ
=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ-\f(π,3))),
所以|2a-b|2=4|a|2+|b|2-4a·b
=4×12+22-8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ-\f(π,3)))
=8-8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ-\f(π,3))).
所以|2a-b|2的最大值为8-8×(-1)=16,
故|2a-b|的最大值为
4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(此时θ=2kπ-\f(π,6),k∈Z)).
方法二 因为a=(cs θ,sin θ),b=(-eq \r(3),1),
所以2a-b=(2cs θ+eq \r(3),2sin θ-1),
所以|2a-b|=eq \r(2cs θ+\r(3)2+2sin θ-12)
=eq \r(8-4sin θ-\r(3)cs θ)
=eq \r(8-8sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ-\f(π,3)))).
故|2a-b|的最大值为eq \r(8-8×-1)=4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(此时θ=2kπ-\f(π,6),k∈Z)).
方法三 由题意得|2a-b|≤2|a|+|b|=2×1+2=4,当且仅当向量a,b方向相反时不等式取等号,故|2a-b|的最大值为4.
思维升华 向量求最值(范围)的常用方法
(1)利用三角函数求最值(范围).
(2)利用基本不等式求最值(范围).
(3)建立坐标系,设变量构造函数求最值(范围).
(4)数形结合,应用图形的几何性质求最值.
跟踪训练2 (1)(2022·苏州模拟)已知△ABC为等边三角形,AB=2,△ABC所在平面内的点P满足|eq \(AP,\s\up6(→))-eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AC,\s\up6(→))|=1,则|eq \(AP,\s\up6(→))|的最小值为( )
A.eq \r(3)-1 B.2eq \r(2)-1 C.2eq \r(3)-1 D.eq \r(7)-1
答案 C
解析 因为|eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→))|2
=eq \(AB,\s\up6(→))2+eq \(AC,\s\up6(→))2+2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
=|eq \(AB,\s\up6(→))|2+|eq \(AC,\s\up6(→))|2+2|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs eq \f(π,3)=12,
所以|eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→))|=2eq \r(3),
由平面向量模的三角不等式可得
|eq \(AP,\s\up6(→))|=|(eq \(AP,\s\up6(→))-eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AC,\s\up6(→)))+(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→)))|≥
||eq \(AP,\s\up6(→))-eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AC,\s\up6(→))|-|eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→))||=2eq \r(3)-1.
当且仅当eq \(AP,\s\up6(→))-eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→))方向相反时,等号成立.
因此|eq \(AP,\s\up6(→))|的最小值为2eq \r(3)-1.
(2)(2022·广东实验中学模拟)如图,在△ABC中,eq \(BD,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→)),点E在线段AD上移动(不含端点),若eq \(AE,\s\up6(→))=λeq \(AB,\s\up6(→))+μeq \(AC,\s\up6(→)),则eq \f(λ,μ)=________,λ2-2μ的最小值是________.
答案 2 -eq \f(1,4)
解析 因为在△ABC中,eq \(BD,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→)),
所以eq \(DC,\s\up6(→))=2eq \(BD,\s\up6(→)).
由向量定比分点公式得
eq \(AD,\s\up6(→))=eq \f(2,1+2)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,1+2)eq \(AC,\s\up6(→)),
即eq \(AD,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→)).
因为点E在线段AD上移动(不含端点),
所以设eq \(AE,\s\up6(→))=xeq \(AD,\s\up6(→))(0
对比eq \(AE,\s\up6(→))=λeq \(AB,\s\up6(→))+μeq \(AC,\s\up6(→)),
可得λ=eq \f(2x,3),μ=eq \f(x,3).
得eq \f(λ,μ)=eq \f(\f(2x,3),\f(x,3))=2;
代入λ=eq \f(2x,3),μ=eq \f(x,3)可得λ2-2μ=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x,3)))2-2×eq \f(x,3)
=eq \f(4x2,9)-eq \f(2x,3)(0
(λ2-2μ)min=eq \f(4,9)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2-eq \f(2,3)×eq \f(3,4)=-eq \f(1,4).
课时精练
1.(2022·杭州模拟)边长为2的正△ABC内一点M(包括边界)满足:eq \(CM,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))+λeq \(CB,\s\up6(→))(λ∈R),则eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(4,3),\f(2,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(2,3),\f(2,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(4,3),\f(4,3))) D.[-2,2]
答案 B
解析 因为点M在△ABC内部(包括边界),
所以0≤λ≤eq \f(2,3),
由eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))=eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CM,\s\up6(→)))
=eq \(CA,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))+\f(1,3)\(CA,\s\up6(→))+λ\(CB,\s\up6(→))))
=-2+eq \f(4,3)+2λ=-eq \f(2,3)+2λ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(2,3),\f(2,3))).
2.设O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))+λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|cs B)+\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|cs C))),λ∈[0,+∞),则点P的轨迹经过△ABC的( )
A.内心 B.外心
C.垂心 D.重心
答案 C
解析 eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))+λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|cs B)+\f(\(AC,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|cs C)))
=eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))+λ(-|eq \(BC,\s\up6(→))|+|eq \(BC,\s\up6(→))|)
=eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→)).
则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))=0,
即eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))=0,故AP⊥BC,
即点P的轨迹经过△ABC的垂心.
3.(2022·新余模拟)已知△ABC是顶角A为120°,腰长为2的等腰三角形,P为平面ABC内一点,则eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))+eq \(PC,\s\up6(→)))的最小值是( )
A.-eq \f(1,2) B.-eq \f(3,2) C.-eq \f(1,4) D.-1
答案 A
解析 如图,以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线DA为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,
则A(0,1),B(-eq \r(3),0),C(eq \r(3),0),设P(x,y),
所以eq \(PA,\s\up6(→))=(-x,1-y),eq \(PB,\s\up6(→))=(-eq \r(3)-x,-y),eq \(PC,\s\up6(→))=(eq \r(3)-x,-y),
所以eq \(PB,\s\up6(→))+eq \(PC,\s\up6(→))=(-2x,-2y),
eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))+eq \(PC,\s\up6(→)))=2x2-2y(1-y)
=2x2+2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y-\f(1,2)))2-eq \f(1,2)≥-eq \f(1,2),
当Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2)))时,所求的最小值为-eq \f(1,2).
4.(2022·长沙长郡中学月考)如图是某一自行车的平面结构示意图,已知图中的圆A(前轮),圆D(后轮)的半径均为eq \r(3),△ABE,△BEC,△ECD均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点,则在骑动该自行车的过程中,eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))的最大值为( )
A.18 B.24 C.36 D.48
答案 C
解析 骑行过程中,A,B,C,D,E相对不动,只有P点绕D点作圆周运动.
如图,以AD所在直线为x轴,E为坐标原点建立平面直角坐标系,由题意得A(-4,0),
B(-2,2eq \r(3)),C(2,2eq \r(3)),圆D方程为(x-4)2+y2=3,设P(4+eq \r(3)cs α,eq \r(3)sin α),
则eq \(AC,\s\up6(→))=(6,2eq \r(3)),eq \(BP,\s\up6(→))=(6+eq \r(3)cs α,eq \r(3)sin α-2eq \r(3)),
eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))=6(6+eq \r(3)cs α)+2eq \r(3)(eq \r(3)sin α-2eq \r(3))=6eq \r(3)cs α+6sin α+24
=12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin α+\f(\r(3),2)cs α))+24
=12sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,3)))+24,
易知当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,3)))=1时,
eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))取得最大值36.
5.(2022·合肥模拟)P为双曲线x2-y2=1左支上任意一点,EF为圆C:(x-2)2+y2=4的任意一条直径,则eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))的最小值为( )
A.3 B.4 C.5 D.9
答案 C
解析 如图,圆C的圆心C为(2,0),半径r=2,
eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))=(eq \(PC,\s\up6(→))+eq \(CE,\s\up6(→)))·(eq \(PC,\s\up6(→))+eq \(CF,\s\up6(→)))
=(eq \(PC,\s\up6(→))+eq \(CE,\s\up6(→)))·(eq \(PC,\s\up6(→))-eq \(CE,\s\up6(→)))
=|eq \(PC,\s\up6(→))|2-|eq \(CE,\s\up6(→))|2=|eq \(PC,\s\up6(→))|2-4,
则当点P位于双曲线左支的顶点时,|eq \(PC,\s\up6(→))|2-4最小,
即eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))最小.
此时eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))的最小值为(1+2)2-4=5.
6.(2022·上海模拟)已知在边长为1的正方形ABCD中,点P是对角线AC上的动点,点Q在以D为圆心、以1为半径的圆上运动,则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AQ,\s\up6(→))的取值范围为( )
A.[0,2] B.[1-eq \r(2),2]
C.[0,eq \r(2)+1] D.[1-eq \r(2),1+eq \r(2)]
答案 D
解析 如图分别以AB,AD所在直线为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,
设P(t,t),Q(cs θ,1+sin θ),
∴eq \(AP,\s\up6(→))=(t,t),
eq \(AQ,\s\up6(→))=(cs θ,1+sin θ),t∈[0,1],θ∈[0,2π),
∴eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AQ,\s\up6(→))=tcs θ+t+tsin θ
=t eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ+\f(π,4)))+1)),
∴eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AQ,\s\up6(→))∈[1-eq \r(2),1+eq \r(2)],
∴eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AQ,\s\up6(→))的取值范围为[1-eq \r(2),1+eq \r(2)].
7.(多选)(2022·武汉调研)如图,点A,B在圆C上,则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值( )
A.与圆C的半径有关
B.与圆C的半径无关
C.与弦AB的长度有关
D.与点A,B的位置有关
答案 BC
解析 如图,连接AB,过C作CD⊥AB交AB于D,则D是AB的中点,
故eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))=|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|·cs∠CAD
=|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|·eq \f(\f(1,2)|\(AB,\s\up6(→))|,|\(AC,\s\up6(→))|)
=eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|2,
故eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值与圆C的半径无关,只与弦AB的长度有关.
8.(多选)(2022·武汉模拟)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上,而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离的一半.这个定理就是著名的欧拉线定理.设△ABC中,点O,H,G分别是外心、垂心、重心.下列四个选项中结论正确的是( )
A.eq \(GH,\s\up6(→))=2eq \(OG,\s\up6(→))
B.eq \(GA,\s\up6(→))+eq \(GB,\s\up6(→))+eq \(GC,\s\up6(→))=0
C.设BC边的中点为D,则有eq \(AH,\s\up6(→))=3eq \(OD,\s\up6(→))
D.eq \(OA,\s\up6(→))=eq \(OB,\s\up6(→))=eq \(OC,\s\up6(→))
答案 AB
解析 如图,
对于A项,由题意得eq \(AG,\s\up6(→))=2eq \(GD,\s\up6(→)),AH⊥BC,
所以eq \(GH,\s\up6(→))=2eq \(OG,\s\up6(→)),所以A选项正确;
对于B项,设D为BC的中点,eq \(GB,\s\up6(→))+eq \(GC,\s\up6(→))=2eq \(GD,\s\up6(→))=-eq \(GA,\s\up6(→)),
所以eq \(GA,\s\up6(→))+eq \(GB,\s\up6(→))+eq \(GC,\s\up6(→))=0,所以B选项正确;
对于C项,因为D为BC的中点,G为△ABC的重心,
所以eq \(AG,\s\up6(→))=2eq \(GD,\s\up6(→)),eq \(GH,\s\up6(→))=2eq \(OG,\s\up6(→)),∠AGH=∠DGO,
所以△AGH∽△DGO,
所以eq \(AH,\s\up6(→))=2eq \(OD,\s\up6(→)),故C选项错误;
对于D项,向量eq \(OA,\s\up6(→)),eq \(OB,\s\up6(→)),eq \(OC,\s\up6(→))的模相等,方向不同,故D选项错误.
9.(2022·潍坊模拟)已知正方形ABCD的边长为1,eq \(AB,\s\up6(→))=a,eq \(BC,\s\up6(→))=b,eq \(AC,\s\up6(→))=c,则|a+b+c|=________.
答案 2eq \r(2)
解析 由题意可得,|eq \(AC,\s\up6(→))|是正方形的对角线长,
故|eq \(AC,\s\up6(→))|=eq \r(2),
又eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))=eq \(AC,\s\up6(→)),
所以|a+b+c|=2|eq \(AC,\s\up6(→))|=2eq \r(2).
10.已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的最大值为________.
答案 6
解析 方法一 根据题意作出图象,如图所示,A(-2,0),P(x,y).
eq \(AO,\s\up6(→))=(2,0),
eq \(AP,\s\up6(→))=(x+2,y),
所以eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))=2(x+2)=2x+4.
点P在圆x2+y2=1上,所以x∈[-1,1].
所以eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的最大值为2+4=6.
方法二 如图所示,因为点P在圆x2+y2=1上,
所以可设P(cs α,sin α)(0≤α<2π),
所以eq \(AO,\s\up6(→))=(2,0),eq \(AP,\s\up6(→))=(cs α+2,sin α),
eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))=2cs α+4≤2+4=6,
当且仅当cs α=1,即α=0,P(1,0)时等号成立.
11.(2022·沈阳模拟)已知在面积为eq \r(3)的△ABC中,sin2C=sin2A+sin2B-sin Asin B,eq \(CB,\s\up6(→))=3eq \(CD,\s\up6(→)),P为AD上一点,且满足eq \(CP,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))+meq \(CB,\s\up6(→)),则|eq \(CP,\s\up6(→))|的最小值为________.
答案 1
解析 在△ABC中,设角A,B,C所对的边的长为a,b,c,
因为sin2C=sin2A+sin2B-sin Asin B,
所以由正弦定理得c2=a2+b2-ab,
则cs C=eq \f(a2+b2-c2,2ab)=eq \f(1,2),
所以C=60°,因为A,P,D三点共线,
所以eq \(CP,\s\up6(→))=λeq \(CA,\s\up6(→))+(1-λ)eq \(CD,\s\up6(→)),
即eq \(CP,\s\up6(→))=λeq \(CA,\s\up6(→))+(1-λ)·eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→)),
所以λ=eq \f(1,2),即eq \(CP,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))+eq \f(1,6)eq \(CB,\s\up6(→)),
而S△ABC=eq \f(1,2)absin C=eq \r(3)⇒ab=4,
所以|eq \(CP,\s\up6(→))|=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(CA,\s\up6(→))+\f(1,6)\(CB,\s\up6(→))))2)
=eq \r(\f(1,4)\(CA,\s\up6(→))2+\f(1,6)|\(CB,\s\up6(→))|·|\(CA,\s\up6(→))|cs C+\f(1,36)\(CB,\s\up6(→))2)
=eq \r(\f(1,4)\(CA,\s\up6(→))2+\f(1,36)\(CB,\s\up6(→))2+\f(1,3))
≥eq \r(2×\f(1,2)b×\f(1,6)a+\f(1,3))
=eq \r(2×\f(1,12)×4+\f(1,3))=1,
当且仅当a=3b时等号成立.
12.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,P是矩形ABCD内的动点,且点P到点A的距离为1,则eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))的最小值为________.
答案 2-2eq \r(2)
解析 如图,以A为坐标原点,AB边所在的直线为x轴,AD边所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则D(0,1),C(2,1),
设P(cs θ,sin θ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))))),
eq \(PC,\s\up6(→))=(2-cs θ,1-sin θ),
eq \(PD,\s\up6(→))=(-cs θ,1-sin θ),
∴eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))=-2cs θ+cs2θ+1-2sin θ+sin2θ
=2-2(sin θ+cs θ)
=2-2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ+\f(π,4))),
∴当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ+\f(π,4)))=1,
即θ=eq \f(π,4)时,eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))取最小值,最小值为2-2eq \r(2).
新高考数学一轮复习讲义第3章 §3.8 隐零点与极值点偏移问题 培优课(含解析): 这是一份新高考数学一轮复习讲义第3章 §3.8 隐零点与极值点偏移问题 培优课(含解析),共11页。
新高考数学一轮复习讲义第2章 §2.4 函数性质的综合应用 培优课(含解析): 这是一份新高考数学一轮复习讲义第2章 §2.4 函数性质的综合应用 培优课(含解析),共13页。
新高考数学一轮复习讲义第6章 §6.6 数列中的综合问题(2份打包,原卷版+含解析): 这是一份新高考数学一轮复习讲义第6章 §6.6 数列中的综合问题(2份打包,原卷版+含解析),文件包含新高考数学一轮复习讲义第6章§66数列中的综合问题原卷版doc、新高考数学一轮复习讲义第6章§66数列中的综合问题含解析doc等2份学案配套教学资源,其中学案共20页, 欢迎下载使用。