新高考数学二轮复习讲义第十六讲等差、等比数列（2份打包，原卷版+解析版）

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1.数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 与通项公式为 SKIPIF 1 < 0
若数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
注意：根据 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 时，不要忽视对 SKIPIF 1 < 0 的验证．
2.等差数列
（1）如果等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，那么它的通项公式是 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）通项公式的推广： SKIPIF 1 < 0 ．
（3）等差中项
若三个数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，且有 SKIPIF 1 < 0 ．
（4）等差数列的性质
在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
特别地，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
（5）等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和公式
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
（6）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则满足 SKIPIF 1 < 0 的项数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，则满足 SKIPIF 1 < 0 的项数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ．
3.等比数列
（1）等比数列的通项公式
设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则它的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ．
推广形式： SKIPIF 1 < 0
（2）等比中项：如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，那么 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项．
即 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项 ⇔ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列 ⇒ SKIPIF 1 < 0 ．
（3）等比中项的推广．
若 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，特别地，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
（4）等比数列的前n项和公式
等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0
【典型题型讲解】
考点一：等差、等比数列基本量运算
【典例例题】
例1．（2022·广东汕头·一模）已知各项均为正数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前4项和为15， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．5
【答案】A
【详解】设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
例2．（2022·广东茂名·一模）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】．B
【详解】A选择中，由 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
B选项中， SKIPIF 1 < 0
C选项中，由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
D选项中， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选：B
【方法技巧与总结】
等差、等比数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差 SKIPIF 1 < 0 公比 SKIPIF 1 < 0 或项数 SKIPIF 1 < 0 ．在求解时，一般要运用方程思想．
（2）求通项． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 是等差数列的两个基本元素．
（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
（4）求前 SKIPIF 1 < 0 项和．利用等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【变式训练】
1.（2022·广东深圳·一模）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】．2
【详解】由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
2．（2022·广东中山·高三期末）已知 SKIPIF 1 < 0 为正项等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为该数列的前 SKIPIF 1 < 0 项积，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．8B．16C．32D．64
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 是正项等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 舍去），
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
3．（2022·广东潮州·高三期末）等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
4．（2022·广东汕头·高三期末）记 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，由题知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
5．（2022·广东中山·高三期末）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
6.（2022·广东揭阳·高三期末）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个根，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】8
【详解】根据韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，由等差数列的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而可得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：8
7.（2022·广东潮州·高三期末）设 SKIPIF 1 < 0 是首项为2的等比数列， SKIPIF 1 < 0 是其前n项和．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】.62
【详解】设数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则根据题意得， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以计算得 SKIPIF 1 < 0 .
由等比数列前n项和 SKIPIF 1 < 0 得，数列 SKIPIF 1 < 0 的前五项和为，
SKIPIF 1 < 0
故答案为：62.
8.（2022·广东汕尾·高三期末）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和是 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】.136
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：136
9．（2022·广东珠海·高三期末）等差数列 SKIPIF 1 < 0 前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求n的最小值．
【答案】．(1) SKIPIF 1 < 0 (2)7
【详解】（1）设等差数列的公差为d，首项为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由题得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以n的最小值是7．
10．（2022·广东揭阳·高三期末）在各项均为正数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2) SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】．(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
（1）
设数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，依题意可得
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，又因为数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，所以 SKIPIF 1 < 0 .
从而可求得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
（2）
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
11．（2022·广东潮州·高三期末）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 及前n项和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．
(注意:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【答案】．(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若选 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
若选 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)
设等差数列的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得：
SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
若选 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，两个等式相减得：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
若选 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此有：
SKIPIF 1 < 0 .
12．（2022·广东东莞·高三期末）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)在任意相邻两项 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间插入 SKIPIF 1 < 0 个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前200项的和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】．(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
（1）
解：设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
方法一：由题意可知， SKIPIF 1 < 0 的各项为 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 会出现在数列 SKIPIF 1 < 0 的前200项中，
所以 SKIPIF 1 < 0 前面（包括 SKIPIF 1 < 0 ）共有126+7=133项，所以 SKIPIF 1 < 0 后面（不包括 SKIPIF 1 < 0 ）还有67个1，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
方法二：在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 前面（包括 SKIPIF 1 < 0 ）共有 SKIPIF 1 < 0 项，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 会出现在数列 SKIPIF 1 < 0 的前200项中，
所以 SKIPIF 1 < 0 前面（包括 SKIPIF 1 < 0 ）共有126+7=133项，所以 SKIPIF 1 < 0 后面（不包括 SKIPIF 1 < 0 ）还有67个1，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
13．（2022·广东汕尾·高三期末）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的等差中项．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】．(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)
设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ②，
①-②得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
14．（2022·广东汕头·高三期末）已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0
【答案】．(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)
解：设数列 SKIPIF 1 < 0 公比为 SKIPIF 1 < 0 ，因为数列 SKIPIF 1 < 0 正项等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
解：由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，适合 SKIPIF 1 < 0 ，
15．（2022·广东惠州·一模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列.
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式：
(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，求集合A中所有元素的和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】．(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)
由 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
由(1)得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为奇数时 SKIPIF 1 < 0 ，故1，3，5，都是集合A中的元素，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为偶数时 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，∴2，4，6，8，10，是集合A中的元素，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
考点二：等差、等比数列的判定或证明
【典例例题】
例1．（2022·广东·一模）已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 ，其前n项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，并求出 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
(2)数列 SKIPIF 1 < 0 中是否存在连续三项 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 构成等差数列？请说明理由.
【答案】．(1)证明见解析， SKIPIF 1 < 0 ；
(1)
依题意，正项数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，因此，数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，1为公差的等差数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 是正项数列，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
不存在，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
假设存在满足要求的连续三项 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 构成等差数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
两边同时平方，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，显然不成立，因此假设是错误的，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 中不存在满足要求的连续三项.
例2．（2022·广东茂名·一模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值，并证明数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【答案】．(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明见解析 (2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列
(2)
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列.
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 也适合上式
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0
数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
【方法技巧与总结】
1.等差、等比数列的定义证明数列是等差、等比数列；
2.等差、等比中项证明数列是等差、等比数列。
【变式训练】
1．（多选）（2022·广东·金山中学高三期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，公比为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，下列判断正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为等比数列B． SKIPIF 1 < 0 为等差数列
C． SKIPIF 1 < 0 为等比数列D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】．AD
【详解】A选项，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，A正确；
B选项，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 没意义，故B错误；
C选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，等比数列的任一项都不能为0，故C错误；
D选项，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
故选：AD.
2．（多选）（2022·广东深圳·高三期末）已知d为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差， SKIPIF 1 < 0 为其前n项和，若 SKIPIF 1 < 0 为递减数列，则下列结论正确的为（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 为递减数列B．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差数列D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】.BD
【详解】由题意可知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且递减，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨举例如： SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，这三项不构成递减数列，故A错；
而 SKIPIF 1 < 0 ,这三项不构成等差数列，说明C错；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，是关于n的一次函数，
因此 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，故B正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确，
故选：BD.
3．（多选）（2022·广东佛山·高三期末）数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .则下列结论中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 是等比数列
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】．ABD
【详解】因为数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由累加法得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当n为奇数时， SKIPIF 1 < 0 是递增数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当n为偶数时， SKIPIF 1 < 0 是递减数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：ABD
4.（2022·广东汕头·一模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析； SKIPIF 1 < 0 (2)证明见解析.
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0
5．（2022·广东深圳·一模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)证明见解析 (2) SKIPIF 1 < 0
（1）
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列．
（2）
由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2022·广东深圳·高三期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】．(1)证明见解析 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列；
(2)
解：由（1），得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
经检验当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，亦满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为任意 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ) ，
又因为 ( SKIPIF 1 < 0 )，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
7．（2022·广东佛山·高三期末）设 SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差数列.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差数列；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项积，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值及相应 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】．(1)证明见解析；(2)当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 .
(1)
解：设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差数列.
(2)
解： SKIPIF 1 < 0 ，所以，数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值，且 SKIPIF 1 < 0 .
8.已知数列{an}满足 SKIPIF 1 < 0
(1)问数列 SKIPIF 1 < 0 是否为等差数列或等比数列？说明理由；
(2)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【解析】(1)由 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵a3－a2＝2，a4－a3＝3，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列{an}不是等差数列.
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴数列{an}也不是等比数列.
(2)证明：∵对任意正整数n， SKIPIF 1 < 0 为偶数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
从而对∀n∈N*， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
∴数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式是 SKIPIF 1 < 0 (n∈N*).
考点三：等差、等比综合应用
【典例例题】
例1.在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 这两个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答．
已知正项等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 成等比数列．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，_________，求 SKIPIF 1 < 0 ．
注：如果选择两个条件并分别作答，按第一个解答计分．
【解析】(1)设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)选择①：设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
选择②：设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【方法技巧与总结】
（1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对数运算转化为等差数列．
（2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列．
【变式训练】
1.已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 公差不为0，正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则以下命题中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 公差为 SKIPIF 1 < 0 ，正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （*），
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，（*）式为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个解，
记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是一次函数， SKIPIF 1 < 0 是指数函数，
由一次函数和指数函数性质知当它们同增或同减时，图象才能有两个交点，即方程 SKIPIF 1 < 0 才可能有两解（题中 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足同增减）．
如图，作出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图象，它们在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 时相交，
无论 SKIPIF 1 < 0 还是 SKIPIF 1 < 0 ，由图象可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
2.已知数列 SKIPIF 1 < 0 是公差不为零的等差数列， SKIPIF 1 < 0 是正项等比数列，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
等差数列的通项公式是关于 SKIPIF 1 < 0 的一次函数， SKIPIF 1 < 0 ，图象中的孤立的点在一条直线上，
而等比数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式是关于 SKIPIF 1 < 0 的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，
如图所示当 SKIPIF 1 < 0 时，如下图所示，
当公差 SKIPIF 1 < 0 时，如下图所示，
如图可知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
3．已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 是公比为2的等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求集合 SKIPIF 1 < 0 中元素个数．
【解析】(1)设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，即可解得， SKIPIF 1 < 0 ，所以原命题得证．
(2)由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，亦即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以满足等式的解 SKIPIF 1 < 0 ，故集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素个数为 SKIPIF 1 < 0 ．
4．已知数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为2的等差数列，数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为2的等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ．设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
5．已知公差为正数的等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)从 SKIPIF 1 < 0 中依次取出第 SKIPIF 1 < 0 项、第 SKIPIF 1 < 0 项、第 SKIPIF 1 < 0 项、…、第 SKIPIF 1 < 0 项，按照原来的顺序组成一个新数列 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
(2)由（1）得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
【巩固练习】
一、选择题：
1．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则下列三个数列：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ，必成等比数列的个数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 不为等比数列，①不符合；
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 必非零且公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 也非零且公比为 SKIPIF 1 < 0 ，②符合；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 不为等比数列，③不符合；
故选：B
2．已知数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若 SKIPIF 1 < 0 、数列 SKIPIF 1 < 0 的第2项、数列 SKIPIF 1 < 0 的第5项恰好构成等比数列，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 、数列 SKIPIF 1 < 0 的第2项、数列 SKIPIF 1 < 0 的第5项恰好构成等比数列，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 构成等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍去），所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ①，可得： SKIPIF 1 < 0 ②，两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 是从第二项开始的，公比是2的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
故选：C
4．数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，命题 SKIPIF 1 < 0 ，命题 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的（ ）条件
A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】因为数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，即 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，设 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因此， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充要条件.
故选：A.
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项不正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是等比数列B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 是等比数列D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】对于A：当 SKIPIF 1 < 0 是奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 是奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 是以首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为1的等比数列，
即选项A正确；
对于B：由A知：当 SKIPIF 1 < 0 是奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即选项B错误；
对于C：当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以首项为2，公比为2的等比数列，
故选项C正确；
对于D：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，即选项D正确．
故选：B.
选择题：
6．若数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，则（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列B．数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列
C．数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列D．数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列
【答案】AD
【解析】设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，A对；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 不是等比数列，B错；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 不是等比数列，C错；
SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，D对.
故选：AD．
7．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差和首项都不等于0，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】由题设，若 SKIPIF 1 < 0 的公差和首项分别为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，又公差和首项都不等于0，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故D正确，C错误；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故A正确，B错误.
故选：AD
8．数列{an}的前n项和为Sn， SKIPIF 1 < 0 ，则有（ ）
A．Sn＝3n－1B．{Sn}为等比数列
C．an＝2·3n－1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】依题意 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 符合上式，所以 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列.
所以ABD选项正确，C选项错误.
故选：ABD
三、填空题：
9．在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为其前n项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的公比为______．
【答案】１或 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】解：当 SKIPIF 1 < 0 时，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述：公比 SKIPIF 1 < 0 的值为：１或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：１或 SKIPIF 1 < 0 .
10．设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则λ＝________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入，可得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题：
11.已知公比大于1的等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和．
【解析】(1)设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
故 SKIPIF 1 < 0 ，
由数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 适合该式，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 为常数列，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为2n.
12.已知数列{ SKIPIF 1 < 0 }满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明{ SKIPIF 1 < 0 }是等比数列，并求{ SKIPIF 1 < 0 }的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)由题意可得： SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为2，公比为2的等比数列
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
因此{ SKIPIF 1 < 0 }的通项公式为 SKIPIF 1 < 0
(2)由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
综上 SKIPIF 1 < 0 ．
13.已知数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是各项为正的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【解析】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是等比数列
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 是各项为正的等比数列，设其首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为q，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （定值）
则数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，设其首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为d，
由数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，
可得方程组 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ；数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
14.设 SKIPIF 1 < 0 是各项为正的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项的和，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)在数列 SKIPIF 1 < 0 的任意 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 项之间，都插入 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）个相同的数 SKIPIF 1 < 0 ，组成数列 SKIPIF 1 < 0 ，记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】(1)解：设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则等比数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(2)解：数列 SKIPIF 1 < 0 中在 SKIPIF 1 < 0 之前共有 SKIPIF 1 < 0 项，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
则所求的数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
15.（2022·广东茂名·二模）已知 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为d（d≠0），
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(2)∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .