广东省阳江市阳春市2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

这是一份广东省阳江市阳春市2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了考生务必保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。

1．全卷共6页，满分为120分，考试用时为120分钟．
2．答卷前，考生务必用黑色字迹签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的姓名、准考证号、座位号．
3．严格按照题号在相应的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效；不能答在试题上．
4．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将答题卡交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的绝对值是（ ）
A. 2024B. C. D. 0
答案：A
解析：解：的绝对值是，
故选：A．
2. 如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：D．
3. 经历百年风雨，中国共产党从小到大、由弱到强，从建党时多名党员，发展成为今天已经拥有超过万党员的世界第一大政党．万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：万，
故选：C．
4. 某校举行演讲比赛，计划在九年级选取1名主持人，报名情况为：九（1）班有2人报名，九（2）班有4人报名，九（3）班有6人报名．若从这12名同学中随机选取1名主持人，则九（1）班同学当选的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：∵九（1）班有2人报名，九（2）班有4人报名，九（3）班有6人报名，
∴共有12名同学，
∵九（1）班有2名，
∴P==；
故选：D．
5. 某校九年级科技创新兴趣小组的7个成员体重（单位：）如下：38，42，35，40，36，42，75，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 42，36B. 42，42C. 40，40D. 42，40
答案：D
解析：解：出现次数最多的数据为42，
∴众数为42，
排序后，位于中间位置的数据为40，
∴中位数为40；
故选D．
6. 如图，，，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
答案：B
解析：解：∵，

∴，
∵，，
∴，
故选：B．
7. 某种蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，，则当时，的值是（ ）
A. 4B. 5C. 10D. 0
答案：A
解析：解：由题意，设，
∴，
∴；
∴当时，．
故选：A．
8. 《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：设合伙人数为人，依题意，得：．
故选B．
9. 如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：连接OB，OC，如图，
∵正方形ABCD内接于，
∴
∴
故选：B．
10. 已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( )
A. B. C. 或D. 或
答案：A
解析：解：∵、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
又∵，，
∴，
∴
即
解得：或，
∵，
∴，
故选：A．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 比较大小：______2．（填“>”、“=”或“<”）
答案：
解析：解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 分解因式： ________________．
答案：
解析：解：，
故答案为：．
13. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；③作射线BP，交AC于点D．若，，则线段AD的长为_______．
答案：
解析：解：由作法得BD平分∠ABC，
过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE=DC，
在Rt△ABC中，，
∵S△ABD+S△BCD=S△ABC，
∴•DE×5+•CD×3=×3×4，，
即5CD+3CD=12，
∴CD=，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，平分，交边于点，连接，若，则长为________．
答案：
解析：解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
如图，过点作于点，
则，
，
，
，，
．
故答案为：．
15. 如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为__________．

答案：6
解析：如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接

∵是等边三角形，
∴
∵是等边三角形的外接圆，其半径为4
∴，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴的最小值为的长度
∵是等边三角形，，
∴
∴的最小值为6．
故答案为：6．
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分）
16. （1）计算：；
（2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
答案：（1）；（2）；数轴见解析
解析：（1）
；
（2）
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
在数轴上表示解集如图所示，
17. 体育老师随机抽取了部分同学参加体能测试，并按测试成绩分成四个等级，已知有的同学获得等级．根据测试成绩，体育绘制了如下条形统计图（不完整）
（1）请将条形统计图补充完整，并在图中标注相应数据；
（2）体育老师从两个等级的同学中随机选择2名同学进行体训，求事件“2名同学中至少有一名同学是等级”发生的概率．（树状图或列表法）
答案：（1）见解析 （2）
小问1解析：
解：由题意得：被调查的学生人数为：（人），
等级人数为：（人），
补全图形如下：
；
小问2解析：
解：画出树状图如下：
，
由图可得，共有种等可能出现的结果，其中名同学中至少有名同学是等级的有种结果，
事件“2名同学中至少有一名同学是等级”发生的概率为．
18. 为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地，培育绿植销售，空地南北边界，西边界，经测量得到如下数据，点在点的北偏东方向，在点的北偏东方向，米，求空地南北边界和的长（结果保留整数，参考数据：，）．
答案：的长和的长分别约为米和米．
解析：解：过作于于，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴在中，，
∵米，，
∴（米），
∵，
∴在中，，
∵四边形为矩形，
∴米，
∵，
∴（米），
∴（米），
答：的长和的长分别约为米和米．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19. 某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．
（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？
（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？
答案：（1）35元/盒；（2）20%．
解析：试题分析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设年增长率为m，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润×（1+增长率）2=2016年的销售利润，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
试题解析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据题意得：，解得：x=35，经检验，x=35是原方程的解．
答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒．
（2）设年增长率为m，2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）．
根据题意得：（60﹣35）×100（1+a）2=（60﹣35+11）×100，解得：a=0.2=20%或a=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：年增长率为20%．
考点：一元二次方程的应用；分式方程的应用；增长率问题．
20. 类比一次函数和反比例函数的学习经验，某数学实验小组尝试探究“的函数图像与性质”，进行了如下活动．
（1）小组合作：讨论交流
同学甲说：“我们可以从表达式分析，猜想图像位置．”
同学乙回应道：“是的，因为自变量的取值范围是 ，所以图像与轴不相交．”
同学丙补充说：“又因为函数值大于0，所以图像一定在第 象限．”
……
（2）独立操作：探究性质
在平面直角坐标系中，画出的图像．

结合图像，描述函数图像与性质：
①函数的图像是两条曲线；
②该函数图像关于______________对称；
③图像的增减性是__________________；
④同学丁说：“将第二象限的曲线绕原点顺时针旋转后，与第一象限的曲线重合．”请你判断同学丁的说法是否正确？若错误，举出反例；若正确，请说明理由．
（3）拓展探究：综合应用
直接写出不等式的解集是____________________．
答案：（1）；一、二
（2）画图见解析；轴；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少；同学丁的说法是正确的，证明见解析
（3）或或
小问1解析：
解：∵，
∴，
∴因为自变量的取值范围，所以图像与轴不相交．因为函数值大于0，所以图像一定在第一、二象限．”
故答案：；一、二；
小问2解析：
列表得：
描点并连线得：

根据函数图像可得：
①函数图像是两条曲线；
②该函数图像关于轴对称；
故答案为：轴；
③图像的增减性是：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少；
故答案为：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少；
④同学丁的说法是正确的，理由如下：
取第二象限的曲线点绕原点顺时针旋转后得到，过作轴于，轴于，

∴，，，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在的第一象限的曲线上，
故将第二象限的曲线绕原点顺时针旋转后，与第一象限的曲线重合，说法正确．
小问3解析：
∵，
∴或或，
∴不等式的解集是：或或．
故答案为：或或．
21. 如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是抛物线上不同两点．
①若，求之间的数量关系．
②若，求的最小值．
答案：（1）
（2）①；②最小值为
小问1解析：
抛物线与x轴相交于点
解得
；
小问2解析：
①点是抛物线上不同的两点．
若，则．
；
②
==，
当=1时，的最小值为-2．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22. 综合探究
如图1，在正方形中，是边上的动点，在的外接圆上，且位于正方形 的内部，，连结，．
（1）求证：是等腰直角三角形；
（2）如图2，连结，过点作于点，请探究线段与的数量关系，并说明理由；
（3）当点是的中点时，．
①求的长；
②若点是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连结，当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长．
答案：（1）见解析 （2），理由见解析
（3）或
小问1解析：
证明：如图1，点在的外接圆上，
，
，
．
，
，
是等腰直角三角形；
小问2解析：
解：
理由：如图，延长交于点，
，，
，
即，
，
，
，
，
又是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
，
；
小问3解析：
解：①由（2）知．
，
．
是的中点，
，
②，
，
存在或，
当时，如图，，
是圆的直径，
当时，如图，连结；
是圆的直径，
，
，
，
综上所述，的长是或．
23. 如图1，矩形OABC的顶点O是直角坐标系的原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（8，4），将矩形OABC绕点A顺时针旋转得到矩形ADEF，D、E、F分别与B、C、O对应，EF的延长线恰好经过点C，AF与BC相交于点Q．
（1）证明：△ACQ是等腰三角形；
（2）求点D的坐标；
（3）如图2，动点M从点A出发在折线AFC上运动（不与A、C重合），经过的路程为x，过点M作AO的垂线交AC于点N，记线段MN在运动过程中扫过的面积为S；求S关于x的函数关系式．
答案：（1）证明见解析；（2）；（3）
解析：（1）证明：∵四边形OABC，四边形FADE都是矩形，
∴∠AOC＝90°，∠AFE＝∠AFC＝90°，BC∥OA，
∵∠CFA＝∠AOC＝90°，AC＝AC，AO＝AF，
∴Rt△ACO≌Rt△ACF（HL），
∴∠CAO＝∠CAF，
∵BC∥OA，
∴∠BCA＝∠CAO，
∴∠BCA＝∠ACF，
∴QC＝QA，
∴△ACQ是等腰三角形．
（2）解：设CQ＝AQ＝x，
∵B（8，4），
∴BC＝8，AB＝4，
在Rt△AQB中，∵AQ2＝BQ2+AB2，
∴x2＝（8﹣x）2+42，
∴x＝5，
∴BQ＝3，
如图1中，过点D作DH⊥x轴于H．
∵∠QAD＝∠BAH＝90°，
∴∠QAB＝∠DAH，
∵∠B＝∠AHD＝90°，
∴△ABQ∽△AHD，
∴，
∴，
∴AH＝，DH＝，
∴OH＝OA+AH＝8+＝，
∴D（）．
（3）①当0＜x≤8时，如图2中，延长MN交AO于H，作QJ∥AB交AC于J．
∵QJ∥AB，
∴，
∴，
∴QJ＝，
∵MN∥QJ，
∴△AMN∽△AQJ，
∴，
∴
∴MN＝，AH＝，
∴S＝•MN•AH＝·x·＝x2．
②当8＜x＜12时，如图3中，作QJ∥AB交AC于J，作EK∥AB交BC于T，设MN交BC于R．
∵FK∥AB，JQ∥AB，
∴FK∥JQ，
∴△AQJ∽△AFK，
∴，
∴，
∴FK＝4，BT＝，
∴CT＝BC﹣BT＝8﹣＝，
∵MN∥FK，
∴△CMN∽△CFK，
∴，
∴，
∴MN＝12﹣x，CR＝（12﹣x），
∴S＝S△ACF﹣S△AFK＝×4×12﹣×（12﹣x）×（12﹣x）＝．
综上所述，S＝．