新高考数学二轮复习 题型归纳演练专题4-2 正余弦定理中的高频小题归类（2份打包，原卷版+解析版）

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\l "_Tc19800" PAGEREF _Tc19800 \h 1
\l "_Tc16214" 题型一：利用正弦定理边角互化 PAGEREF _Tc16214 \h 1
\l "_Tc23885" 题型二：利用余弦定理边角互化 PAGEREF _Tc23885 \h 5
\l "_Tc18501" 题型三：利用正余弦定理解三角形 PAGEREF _Tc18501 \h 10
\l "_Tc5811" 题型四：判断三角形解的个数 PAGEREF _Tc5811 \h 16
\l "_Tc9117" 题型五：利用正余弦定理判断三角形形状 PAGEREF _Tc9117 \h 22
\l "_Tc25007" 题型六：三角形周长，面积问题 PAGEREF _Tc25007 \h 26
\l "_Tc20660" 题型七：正余弦定理实际应用 PAGEREF _Tc20660 \h 32
\l "_Tc16618" PAGEREF _Tc16618 \h 38
\l "_Tc19885" 一、单选题 PAGEREF _Tc19885 \h 38
\l "_Tc4003" 二、多选题 PAGEREF _Tc4003 \h 44
\l "_Tc20401" 三、填空题 PAGEREF _Tc20401 \h 46
题型一：利用正弦定理边角互化
【典例分析】
例题1．（2022·福建·浦城县第三中学高三期中）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为锐角，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由正弦定理可知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
例题2．（2022·甘肃定西·高二开学考试）在锐角 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______ .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，根据正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，
得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【提分秘籍】
利用正弦定理边角互化主要思路：
SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ;
化成角后，再进行相应的运算。
【变式演练】
1．（2022·河南·高三阶段练习（理））在 SKIPIF 1 < 0 中，D为 SKIPIF 1 < 0 边上一点， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ．又 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ①．又 SKIPIF 1 < 0 ②，①②联立，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， D为 SKIPIF 1 < 0 边上一点，
所以 SKIPIF 1 < 0 为钝角，所以角 SKIPIF 1 < 0 为锐角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 舍去，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
2．（2022·上海市金山中学高一期末）记 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 的面积为S，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
3．（2022·江西宜春·高二阶段练习（理））在 SKIPIF 1 < 0 ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若点M满足 SKIPIF 1 < 0 ，且∠MAB=∠MBA，则 SKIPIF 1 < 0 AMC的面积为_____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】
SKIPIF 1 < 0
化简得： SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
∠MAB=∠MBA， SKIPIF 1 < 0 ,
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
解之： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型二：利用余弦定理边角互化
【典例分析】
例题1．（2022·江苏·无锡市第一中学高三阶段练习）设 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 内角 SKIPIF 1 < 0 的对边，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则角 SKIPIF 1 < 0 ________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,与 SKIPIF 1 < 0 矛盾
所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·黑龙江·杜尔伯特蒙古族自治县第一中学高一阶段练习） SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 最大值______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
代入上式得 SKIPIF 1 < 0 ，方程有解，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意，因此最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
例题3．（2022·全国·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为___________.
【答案】4
【详解】解：由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由正､余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 (负值舍).
故答案为：4
【提分秘籍】
在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 ，所对的边分别是 SKIPIF 1 < 0 ,则：
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
余弦定理的推论
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0
【变式演练】
1．（2022·广东江门·高三阶段练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边长分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可得
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理与余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）
故选：C
2．（2022·山西·晋城市第一中学校高三阶段练习） SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D．以上都不对
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ,
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时取等，
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选:B.
3．（2022·福建·高二期中）若△ SKIPIF 1 < 0 的边长 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，且边a，c的等差中项为1，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得： SKIPIF 1 < 0
由题可知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
4．（2022·四川成都·高三阶段练习（理））在 SKIPIF 1 < 0 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若 SKIPIF 1 < 0 ；则当角A最大时， SKIPIF 1 < 0 的面积为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据正弦定理以及余弦定理，则可得 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
根据余弦定理，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 等号成立，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，由函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型三：利用正余弦定理解三角形
【典例分析】
例题1．（2022·山西·高三阶段练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A.
例题2．（2022·湖北·高二期中）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的平分线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．6B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．10
【答案】C
【详解】如下图所示：由题意可得，AD是∠A的平分线，则 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ,代入化简得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.故最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
例题3．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高二阶段练习）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】解：如图
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，
所以由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可知，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
【提分秘籍】
解三角形问题，综合应用正弦定理，余弦定理，有时候需要将边化为角，利用三角函数来解三角形问题；求最值问题时也涉及到基本不等式.
【变式演练】
1．（2022·上海市金山中学高一期末）记 SKIPIF 1 < 0 内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 的取值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】依题意，作出图形，
因为点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
.
2．（2022·上海·复旦附中高一期末）已知 SKIPIF 1 < 0 中，角A、B、C的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
故选：C
3．（2022·四川省南充高级中学高二期中）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别是角 SKIPIF 1 < 0 的对边， SKIPIF 1 < 0 ，则角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
4．（2022·福建·浦城县第三中学高三期中）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为锐角，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由正弦定理可知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
5．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试）在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 ，若角A的内角平分线 SKIPIF 1 < 0 的长为3，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．21B．24C．27D．36
【答案】C
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因角A的内角平分线 SKIPIF 1 < 0 的长为3，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值27.
故选：C
题型四：判断三角形解的个数
【典例分析】
例题1．（2022·黑龙江·宾县第二中学高三阶段练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列条件能确定三角形有两解的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】对于A：由正弦定理可知， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故三角形 SKIPIF 1 < 0 有一解；
对于B：由正弦定理可知， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故三角形 SKIPIF 1 < 0 有两解；
对于C：由正弦定理可知， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 为钝角，∴B一定为锐角，故三角形 SKIPIF 1 < 0 有一解；
对于D：由正弦定理可知， SKIPIF 1 < 0 ，故故三角形 SKIPIF 1 < 0 无解.
故选：B.
例题2．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）在下列关于 SKIPIF 1 < 0 的四个条件中选择一个，能够使角 SKIPIF 1 < 0 被唯一确定的是：（ ）
① SKIPIF 1 < 0
② SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 ；
④ SKIPIF 1 < 0 .
A．①②B．②③C．②④D．②③④
【答案】B
【详解】对于① SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故①错误；
对于② SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调，所以角 SKIPIF 1 < 0 被唯一确定，
故②正确；
对于③ SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理有
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以角 SKIPIF 1 < 0 被唯一确定，故③正确；
对于④ SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以如图， SKIPIF 1 < 0 不唯一，故④错误.故A，C，D错误.
故选：B.
例题3．（2022·江苏徐州·高一期中）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请您给出一个 SKIPIF 1 < 0 值，使得 SKIPIF 1 < 0 有两解，则您给的 SKIPIF 1 < 0 值为______．
【答案】3（满足 SKIPIF 1 < 0 即可）
【详解】由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ， 因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 有两解，即 SKIPIF 1 < 0 有两个解，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为：3（满足 SKIPIF 1 < 0 即可）
例题4．（2022·重庆市育才中学高一阶段练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 所对的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若满足 SKIPIF 1 < 0 的三角形有两解，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 有两解，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ,
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【提分秘籍】
上表中若 SKIPIF 1 < 0 为锐角, 当 SKIPIF 1 < 0 时无解; 若 SKIPIF 1 < 0 为钝角或直角,当 SKIPIF 1 < 0 时无解.
【变式演练】
1．（2022·江西萍乡·高一期末）在 SKIPIF 1 < 0 中，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】A：由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，无解；
B：由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，有唯一解；
C：由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，有两解；
D：由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，有两解；
故选：B
2．（2022·青海玉树·高一期末）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则此三角形解的情况为（ ）
A．无解B．有两解C．有一解D．有无数解
【答案】C
【详解】由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 只能为锐角的一个值， SKIPIF 1 < 0 只有一个解.
故选：C.
3．（2022·全国·高一课时练习）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若该三角形有两解，则x的取值范围是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
要使三角形有两解，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
4．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 唯一，符合题意，得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有两个值， SKIPIF 1 < 0 不唯一，不合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 唯一，符合题意，得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
题型五：利用正余弦定理判断三角形形状
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高一课时练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形
【答案】D
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 及正弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ,
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，于是有 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的形状是等腰三角形.
故选：D.
例题2．（2022·全国·高一课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 三个内角 SKIPIF 1 < 0 的对边，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 及正弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为等腰或直角三角形.
故选：D.
例题3．（2022·四川成都·高一期末）已知 SKIPIF 1 < 0 内角 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的形状是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【详解】由题设及正弦定理边角关系有 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 为正三角形.
故选：C
【提分秘籍】
① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为钝角三角形；
② SKIPIF 1 < 0
③ SKIPIF 1 < 0
④ SKIPIF 1 < 0
【变式演练】
1．（2022·河北张家口·高三期中）在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的形状为（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】由二倍角公式可得 SKIPIF 1 < 0 ,由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理边角互化可得： SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，
故选：B
2．（2022·河北·石家庄市第十五中学高二阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 的三个内角 SKIPIF 1 < 0 所对应的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的形状是（ ）
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．顶角为 SKIPIF 1 < 0 的等腰三角形D．顶角为 SKIPIF 1 < 0 的等腰三角形
【答案】D
【详解】由题 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理及余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 为顶角为 SKIPIF 1 < 0 的等腰三角形
故选：D
3．（2022·福建省福州高级中学高一期末）在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线，则 SKIPIF 1 < 0 形状为（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线，
SKIPIF 1 < 0 ．
由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
同理由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线，可得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 形状为等边三角形．
故选：A．
4．（2022·陕西·白水县白水中学高二阶段练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】B
【详解】由已知，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理可知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
整理得， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）.
所以 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形.
故选：B.
题型六：三角形周长，面积问题
【典例分析】
例题1．（2022·河北张家口·高三期中）钝角 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别是 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 及余弦定理可知，
SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
又因为 SKIPIF 1 < 0 是钝角三角形，比较 SKIPIF 1 < 0 三边大小可知， SKIPIF 1 < 0 为最大边，
所以C角为最大角，即C为钝角；
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意，
此时 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意；
综上可知， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 的平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 周长的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】根据题意，设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为根据基本不等式有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
由余弦定理得
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
所以 SKIPIF 1 < 0 周长的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
例题3．（2022·江苏·扬州中学高二开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 对应的边分别是 SKIPIF 1 < 0 ， 内角 SKIPIF 1 < 0 的角平分线交边 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 点， 且 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值是（ ）
A．16B． SKIPIF 1 < 0 C．64D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由题可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【提分秘籍】
1、三角形面积的计算公式：
① SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 （其中， SKIPIF 1 < 0 是三角形 SKIPIF 1 < 0 的各边长， SKIPIF 1 < 0 是三角形 SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径）；
④ SKIPIF 1 < 0 (其中， SKIPIF 1 < 0 是三角形 SKIPIF 1 < 0 的各边长， SKIPIF 1 < 0 是三角形 SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径).
2、三角形面积最值：
核心技巧：利用基本不等式 SKIPIF 1 < 0 ，再代入面积公式.
3、三角形面积取值范围：
核心技巧：利用正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.
4、利用正弦定理化角
核心技巧：利用正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
【变式演练】
1．（2022·全国·高二开学考试）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的外接圆面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A．24B．25C．27D．28
【答案】D
【详解】易知 SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径 SKIPIF 1 < 0 .由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，结合正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
2．（2022·江西赣州·高三期中（文））在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，△ABC的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长为（ ）
A．6B．8C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为△ABC的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
3．（2022·浙江·高三开学考试）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，代入上式得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边上的一点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 面积的两倍，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 面积的两倍，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又由题意 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的平分线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合已知得 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，负值舍去，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
题型七：正余弦定理实际应用
【典例分析】
例题1．（2022·四川达州·高二期末（理））某班同学利用课外实践课，测量北京延庆会展中心冬奥会火炬台“大雪花”的垂直高度 SKIPIF 1 < 0 .在过 SKIPIF 1 < 0 点的水平面上确定两观测点 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 处测得 SKIPIF 1 < 0 的仰角为30°， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的北偏东60°方向上， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的正东方向30米处，在 SKIPIF 1 < 0 处测得 SKIPIF 1 < 0 在北偏西60°方向上，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．10米B．12米C．16米D．18米
【答案】A
【详解】由已知得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 米
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 米
在直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 米
故选：A
例题2．（2022·全国·高三专题练习（文））我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛民用于抢险救灾､视频拍摄､环保监测等领域．如图，有一个从地面 SKIPIF 1 < 0 处垂直上升的无人机 SKIPIF 1 < 0 ，对地面 SKIPIF 1 < 0 两受灾点的视角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．已知地面上三处受灾点 SKIPIF 1 < 0 共线，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则无人机 SKIPIF 1 < 0 到地面受灾点 SKIPIF 1 < 0 处的遥测距离PD的长度是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】提示：法一：由题意，得 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 记 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，又在 SKIPIF 1 < 0 中有 SKIPIF 1 < 0 选 SKIPIF 1 < 0 ．
法二：由题， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，进而 SKIPIF 1 < 0 选B.
故选：B.
【变式演练】
1．（2022·浙江·慈溪中学高三期中）雷峰塔又名黄妃塔､西关砖塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山（海拔46米）之上.是吴越国王钱俶为供奉佛螺髻发舍利､祈求国泰民安而建.始建于北宋太平兴国二年（977年），历代屡加重修.现存建筑以原雷峰塔为原型设计，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.李华同学为测量塔高，在西湖边相距 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 两处（海拔均约16米）各放置一架垂直于地面高为 SKIPIF 1 < 0 米的测角仪 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 （如图所示）.在测角仪 SKIPIF 1 < 0 处测得两个数据：塔顶 SKIPIF 1 < 0 仰角 SKIPIF 1 < 0 及塔顶 SKIPIF 1 < 0 与观测仪 SKIPIF 1 < 0 点的视角 SKIPIF 1 < 0 在测角仪 SKIPIF 1 < 0 处测得塔顶 SKIPIF 1 < 0 与观测仪 SKIPIF 1 < 0 点的视角 SKIPIF 1 < 0 ，李华根据以上数据能估计雷锋塔 SKIPIF 1 < 0 的高度约为（ ）（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
A．70.5B．71C．71.5D．72
【答案】C
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
将平面 SKIPIF 1 < 0 画成平面图如图所示：
由题意知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
2．（2022·陕西·蓝田县城关中学高二期中（理））甲、乙两名学生决定利用解三角形的相关知识估算一下友谊大厦的高度，甲同学在点A处测得友谊大厦顶端C的仰角是63.435°，随后，他沿着某一方向直行 SKIPIF 1 < 0 m后到达点B，测得友谊大厦顶端C的仰角为45°，乙同学站在友谊大厦底端的点D，测量发现甲同学在移动的过程中，∠ADB恰好为60°，若甲、乙两名同学始终在同一水平面上，则友谊大厦的高度大约是（ ）（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ）
A．270mB．280mC．290mD．300m
【答案】B
【详解】如图所示：设友谊大厦的高度为 SKIPIF 1 < 0 ，
在直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
在直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，根据余弦定理： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）如图甲，圣 SKIPIF 1 < 0 索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物 SKIPIF 1 < 0 ，高约为40 SKIPIF 1 < 0 ，如图乙，在它们之间的地面上的点 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 三点共线）处测得楼顶 SKIPIF 1 < 0 ､教堂顶 SKIPIF 1 < 0 的仰角分别是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，在楼顶 SKIPIF 1 < 0 处测得塔顶 SKIPIF 1 < 0 的仰角为 SKIPIF 1 < 0 ，则估算索菲亚教堂的高度 SKIPIF 1 < 0 约为（ ）
A．50B．55C．60D．70
【答案】C
【详解】由题意知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
故选：C
4．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点 SKIPIF 1 < 0 距地面的距离，小明同学在场馆内的A点测得 SKIPIF 1 < 0 的仰角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （单位： SKIPIF 1 < 0 ），（点 SKIPIF 1 < 0 在同一水平地面上），则大跳台最高高度 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理可得,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ,
所以， SKIPIF 1 < 0 （m）
故选：C.
一、单选题
1．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（文））在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 外接圆的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长为（ ）
A．20B． SKIPIF 1 < 0 C．27D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
2．（2022·吉林·吉化第一高级中学校高三阶段练习）材料一：已知三角形三边长分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则三角形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .这个公式被称为海伦一秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯（Apllnius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点 SKIPIF 1 < 0 的距离的和等于常数（大于 SKIPIF 1 < 0 ）的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为（ ）
A．6B．10C．12D．2
【答案】C
【详解】用材料一：根据海伦-秦九韶公式， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意，可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号.
用材料二：以 SKIPIF 1 < 0 的中点为原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线为 SKIPIF 1 < 0 轴，
由椭圆的定义易知，椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离），，
可知当点 SKIPIF 1 < 0 位于短轴的顶点时， SKIPIF 1 < 0 取到最大值为4，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号.
故选：C.
3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号）， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
4．（2022·重庆·高三阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 内的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】C
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等.
故选：C.
5．（2022·宁夏·银川三沙源上游学校高二期中（理））云台阁，位于镇江西津渡景区，全全落于云台山北峰，建筑形式具有宋､元古建特征.如图，小明同学为测量云台阁的高度，在云台阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12 SKIPIF 1 < 0 ，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，云台阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，则小明估算云台阁的高度为（ ）
（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，精确到1 SKIPIF 1 < 0 ）
A．42 SKIPIF 1 < 0 B．45 SKIPIF 1 < 0 C．51 SKIPIF 1 < 0 D．57 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
6．（2022·江苏·南京市第一中学高二阶段练习）在钝角 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 对应的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 为钝角三角形，所以由诱导公式得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 时为直角三角形，舍去），即 SKIPIF 1 < 0 为钝角，
从而 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
7．（2022·天津南开·高一期末）已知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为锐角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
8．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市实验中学高三阶段练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】∵在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
根据条件得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
二、多选题
9．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 所对应的边分别是 SKIPIF 1 < 0 ，它的外接圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径 SKIPIF 1 < 0 为1
D． SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，有正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确，B错误；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径 SKIPIF 1 < 0 为1，故C正确；
由余弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ACD.
10．（2022·河北·高三阶段练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 所对应的边分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是9D． SKIPIF 1 < 0 面积的最小值是6
【答案】AC
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确；
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 可能相等也可能不等，又 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形就不会出现C，D求最值了，因此可用排除法，所以B不正确；
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
可得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
可得 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是9，无最小值.
所以C正确，D不正确.
故选：AC.
三、填空题
11．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】4
【详解】
因为在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：4
12．（2022·湖北·丹江口市第一中学高一期末）记 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若O为 SKIPIF 1 < 0 的重心， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】连接AO，延长AO交BC于D，
由题意得D为BC的中点， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
13．（2022·上海市大同中学高一期末）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：根据题意，在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 表示起点为 SKIPIF 1 < 0 ，终点在平行于 SKIPIF 1 < 0 且过 SKIPIF 1 < 0 点的直线上的向量，如下图中的 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 变化在直线 SKIPIF 1 < 0 上运动，
∴对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，只需 SKIPIF 1 < 0 即可，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14．（2022·陕西·府谷县府谷中学高二阶段练习（理））在 SKIPIF 1 < 0 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为______
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
为锐角
为钝角或者直角
图形
关系式
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
解的个数
一解
两解
一解
一解