新高考数学二轮复习 题型归纳演练专题6-1 等差数列，等比数列中性质应用（选填）（2份打包，原卷版+解析版）

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\l "_Tc29398" PAGEREF _Tc29398 \h 1
\l "_Tc1053" 题型一：等差（等比）数列中项 PAGEREF _Tc1053 \h 1
\l "_Tc20453" 题型二：等差（等比）数列下角标和性质 PAGEREF _Tc20453 \h 5
\l "_Tc19361" 题型三：等差（等比）数列单调性问题 PAGEREF _Tc19361 \h 9
\l "_Tc24932" 等比数列的单调性 PAGEREF _Tc24932 \h 13
\l "_Tc21164" 题型四：等差（等比）数列中最大（小）项 PAGEREF _Tc21164 \h 16
\l "_Tc16077" 题型五：等差（等比）数列奇偶项问题 PAGEREF _Tc16077 \h 21
\l "_Tc29551" 题型六：等差（等比）数列片段和性质 PAGEREF _Tc29551 \h 26
\l "_Tc32686" 题型七：两个等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和之比问题 PAGEREF _Tc32686 \h 31
\l "_Tc23793" PAGEREF _Tc23793 \h 36
\l "_Tc32215" 一、单选题 PAGEREF _Tc32215 \h 36
\l "_Tc29957" 二、多选题 PAGEREF _Tc29957 \h 42
\l "_Tc13835" 三、填空题 PAGEREF _Tc13835 \h 44
题型一：等差（等比）数列中项
【典例分析】
例题1．（2022·四川·广安二中模拟预测（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则公比 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
例题2．（2022·江苏省响水中学高二期中）正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B．8C．32D．64
【答案】D
【详解】由题意可知， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项利为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，1成等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，1成等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
例题4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知正项等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则等差数列的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】等差数列 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，
设公差为d， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【提分秘籍】
等差中项
由三个数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项.这三个数满足关系式 SKIPIF 1 < 0 .
等比中项
如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，那么 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项．即： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项⇔ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列⇔ SKIPIF 1 < 0
【变式演练】
1．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】解：设等比数列公比为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列可得， SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 2；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2．（2022·安徽省宿州市第二中学高二期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，3， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，3， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
3．（2022·吉林·辽源市第五中学校高二阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若3是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．7C． SKIPIF 1 < 0 D．9
【答案】A
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立．故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）已知在正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】9
【详解】设正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （不符合题意，舍去）.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：9.
题型二：等差（等比）数列下角标和性质
【典例分析】
例题1．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】A
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
例题2．（2022·吉林·长春市第二中学高二阶段练习）已知正项等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．3B．14C．28D．42
【答案】D
【详解】解：正项等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）
则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
例题3．（2022·浙江·慈溪中学高二阶段练习）记正项递增等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】63
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
例题4．（2022·黑龙江·铁人中学高二开学考试）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】解：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，根据等比数列的性质得到： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
根据 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【提分秘籍】
① SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （特别的，当 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ）
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .特别地，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
【变式演练】
1．（2022·黑龙江·哈师大青冈实验中学高三阶段练习）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．150B．120C．75D．60
【答案】D
【详解】由等差数列的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
2．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中的项 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】C
【详解】依题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两个根，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 是正项等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
故选：C
3．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二阶段练习）在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．36B．34C．38D．212
【答案】B
【详解】解：令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
故选：B
4．（2022·全国·高二单元测试）正项递增等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，前n项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ＝__．
【答案】364
【解答】设每一项都是正数的递增的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q＞1，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以3q2＝27，解得q＝3，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 364．
故答案为：364．
5．（2022·吉林辽源·高二期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##0.5
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型三：等差（等比）数列单调性问题
【典例分析】
例题1．（2022·北京交通大学附属中学高二期中）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为递增数列B．当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值
C．不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 D．不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为无限集
【答案】C
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
对于A， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为递减数列，A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，B错误；
对于C，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，为有限集，D错误.
故选：C.
例题2．（2022·浙江·金华市外国语学校高二开学考试）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列结论正确的是（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列B． SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 取得最大值时， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列是递减数列，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值.故B正确，AC错误.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：B.
例题3．（多选）（2022·河南·高三阶段练习（理））各项均为正数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项积为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，公比 SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题错误的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则必有 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则必有 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中最大的项
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则必有 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则必有 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【详解】对于A，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，根据等比数列的性质，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B，若 SKIPIF 1 < 0 ，则等比数列 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中最大的项；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则等比数列 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中最小的项，B错误；
对于C，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：AD
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】∵等差数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为 SKIPIF 1 < 0 .
5．（2022·江苏南通·高三期中）试写出一个无穷等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，同时满足① SKIPIF 1 < 0 ；②数列 SKIPIF 1 < 0 单调递减；③数列 SKIPIF 1 < 0 不具有单调性，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
∵数列 SKIPIF 1 < 0 不具有单调性，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵数列 SKIPIF 1 < 0 单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 ，不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
经检验符合题意．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【提分秘籍】
若数列 SKIPIF 1 < 0 满足对一切正整数 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 （或者 SKIPIF 1 < 0 ），则称数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列（递减数列）；
等差数列的单调性
①当 SKIPIF 1 < 0 ，等差数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列
②当 SKIPIF 1 < 0 ，等差数列 SKIPIF 1 < 0 为递减数列
③当 SKIPIF 1 < 0 ，等差数列 SKIPIF 1 < 0 为常数列
等比数列的单调性
已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0
（1）当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，等比数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，等比数列 SKIPIF 1 < 0 为递减数列；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时，等比数列 SKIPIF 1 < 0 为常数列（ SKIPIF 1 < 0 ）
（4）当 SKIPIF 1 < 0 时，等比数列 SKIPIF 1 < 0 为摆动数列.
【变式演练】
1．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高二阶段练习）设等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．32B．16C．128D．64
【答案】D
【详解】因为等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 是单调递减数列，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，且 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 为递减数列，
当 SKIPIF 1 < 0 是递增数列时， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 是递增数列”的必要不充分条件，
故选：B
3．（多选）（2022·江苏·南京市天印高级中学高三期中）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项积为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
由 SKIPIF 1 < 0 知等比数列 SKIPIF 1 < 0 为递减数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 取得最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 成立，故D正确.
故选：ACD
4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{ SKIPIF 1 < 0 }的前n项和是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列{| SKIPIF 1 < 0 |}中值最小的项为第___项．
【答案】10
【详解】由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故等差数列{ SKIPIF 1 < 0 }为递减数列，即公差为负数，
因此 SKIPIF 1 < 0 的前9项依次递减，从第10项开始依次递增，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，∴{| SKIPIF 1 < 0 |}最小的项是第10项，
故答案为：10
5．（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学高一阶段练习）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则使 SKIPIF 1 < 0 成立的最大自然数n为_______
【答案】4042
【详解】由等差数列的性质可得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 异号，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以等差数列 SKIPIF 1 < 0 必为递减数列， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
使 SKIPIF 1 < 0 成立的最大自然数n为4042.
故答案为：4042.
题型四：等差（等比）数列中最大（小）项
【典例分析】
例题1．（2022·陕西·虢镇中学高二阶段练习）设 SKIPIF 1 < 0 ，则当数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和取得最小值时， SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．4B．5
C．4或5D．5或6
【答案】A
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 最大.则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍)，故 SKIPIF 1 < 0
故答案为：20.
例题3．（2022·福建省宁德第一中学高二阶段练习）已知首项为4的数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列．
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的最小项．
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0 ；最小项为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）
解：因为数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 表示首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列.
（2）
解：数列 SKIPIF 1 < 0 表示首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 的最小项为 SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 的最小项为 SKIPIF 1 < 0 .
【提分秘籍】
①求数列 SKIPIF 1 < 0 中最大项方法：当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 是数列最大项；
②求数列 SKIPIF 1 < 0 中最小项方法：当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 是数列最小项；
③利用单调性求解
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 取最大值时， SKIPIF 1 < 0 的值为___________.
【答案】7
【详解】方法一：设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值.
方法二：设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 .∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 的前7项为正数，从第8项起各项均为负数，
故当 SKIPIF 1 < 0 取得最大值时， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：7.
2．（2022·全国·高二期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式
(3)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，并求出 SKIPIF 1 < 0 为何值时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 ，理由见解析.
(1)
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是以-15为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列；
(2)
由(1)知， SKIPIF 1 < 0 是以-15为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
(3)
由(2)得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，同理当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，即 SKIPIF 1 < 0 为最小值.
3．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求使得 SKIPIF 1 < 0 成立的正整数 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）7.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ①，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ②，
①②两式相减，得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ③．
又当 SKIPIF 1 < 0 时，得 SKIPIF 1 < 0 ，不满足上式．
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为增函数，
又 SKIPIF 1 < 0 ．
因此要使 SKIPIF 1 < 0 成立，只需 SKIPIF 1 < 0 ，
故使 SKIPIF 1 < 0 成立的正整数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为7．
题型五：等差（等比）数列奇偶项问题
【典例分析】
例题1．（2022·上海·位育中学高二期末）设等差数列的项数 SKIPIF 1 < 0 为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由题知，奇数项有 SKIPIF 1 < 0 项，偶数项有 SKIPIF 1 < 0 项，
奇数项之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
偶数项之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以奇数项之和与偶数项之和的比为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
例题2．（2022·全国·高二）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
即前10项分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前10项中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 共有 SKIPIF 1 < 0 项，它的所有项的和是奇数项的和的 SKIPIF 1 < 0 倍，则公比 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的奇数项之和为 SKIPIF 1 < 0 ，偶数项之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
例题4．（2022·江苏·高二课时练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，前 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且 SKIPIF 1 < 0 ，求通项公式．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】∵等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，前m（m为奇数）项的和为77，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，①
∵其中偶数项之和为33，由题意可得偶数项共有 SKIPIF 1 < 0 项，公差等于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 × SKIPIF 1 < 0 =33，②
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，③
由①②③，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【详解】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 SKIPIF 1 < 0 ,所有偶数项之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
结合等比数列求和公式有： SKIPIF 1 < 0 ，解得n=4，
即这个等比数列的项数为8.
本题选择C选项.
2．（2022·上海南汇中学高二期末）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，已知公差 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】145
【详解】等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，已知公差 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：145.
3．（2022·全国·高三专题练习）若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是不等于 SKIPIF 1 < 0 的常数）对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则称 SKIPIF 1 < 0 是周期为 SKIPIF 1 < 0 ，周期公差为 SKIPIF 1 < 0 的“类周期等差数列”．已知在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 是周期为 SKIPIF 1 < 0 的“类周期等差数列”，并求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)证明见解析； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(1)由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 周期为 SKIPIF 1 < 0 ，周期公差为 SKIPIF 1 < 0 的“类周期等差数列”，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述， SKIPIF 1 < 0
4．（2022·江苏·高二课时练习）一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，求公差d．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：设首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
则由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(1) SKIPIF 1 < 0 等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解可得， SKIPIF 1 < 0 ，且在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，奇数项仍成等差，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 的相邻两项差为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
题型六：等差（等比）数列片段和性质
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高二课时练习）等差数列 SKIPIF 1 < 0 中其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 为．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和性质可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
本题正确选项： SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·全国·高二单元测试）设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】根据等比数列性质： SKIPIF 1 < 0 成等比数列
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选C
例题3．（多选）（2022·全国·高二课时练习）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ）
A．若数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为常数），则数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列
B．若数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列
C．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 为前 SKIPIF 1 < 0 项和，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…仍为等差数列
D．数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列， SKIPIF 1 < 0 为前 SKIPIF 1 < 0 项和，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…仍为等比数列
【答案】BC
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于选项A：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以只有当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，故A错误；
对于选项B：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，符合上式，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，故B正确；
对于选项C：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 为前 SKIPIF 1 < 0 项和，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的公差）的等差数列，故C正确；
对于选项D：令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是常数列 SKIPIF 1 < 0 ，显然不是等比数列，故D错误.
故选：BC.
例题4．（2022·全国·高二课时练习）记 SKIPIF 1 < 0 为正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__.
【答案】8
【详解】在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，根据等比数列的性质，可得 SKIPIF 1 < 0 构成等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号是成立的，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【提分秘籍】
当 SKIPIF 1 < 0 是等差数列 ，记 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 …也成等差数
列，公差为 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 是等比数列 ，记 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 …也成等比数
列，公差为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式演练】
1．（2022·黑龙江实验中学高二阶段练习）公比 SKIPIF 1 < 0 的等比数列的前3项，前6项，前9项的和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下面等式成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由等比数列的性质可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8-2S4=5，则a9+a10+a11+a12的最小值为（ ）
A．10B．15C．20D．25
【答案】C
【详解】由题意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8，由S8-2S4=5，可得S8-S4=S4+5.
又由等比数列的性质知S4，S8-S4，S12-S8成等比数列，则S4(S12-S8)=(S8-S4)2.
SKIPIF 1 < 0 当且仅当S4=5时等号成立，所以a9+a10+a11+a12的最小值为20.
故选：C.
3．（2022·全国·高二课时练习）设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4D．5
【答案】A
【详解】解：设等比数列的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 不成立．
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
4．（2022·上海·高二课时练习）等差数列前10项的和为10，第11项至第20项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，则第21项至第30项的和是_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设该等差数列为 SKIPIF 1 < 0 ，其公差为 SKIPIF 1 < 0 ，前项和为 SKIPIF 1 < 0 .
前10项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
由第11项至第20项的和为， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
则第21项至第30项的和是： SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
5．（2022·全国·高二课时练习）已知一个等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前4项和为32，前8项和为56．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)通过计算观察，寻找 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间的关系，你发现什么结论？
(3)根据上述结论，请你归纳出对于等差数列而言的一般结论，并证明．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列．
(3)已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，… SKIPIF 1 < 0 成等差数列；证明见解析．
（1）
设 SKIPIF 1 < 0 公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列；
（3）
设 SKIPIF 1 < 0 公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为常数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，… SKIPIF 1 < 0 成等差数列．
题型七：两个等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和之比问题
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知两个等差数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，则使得 SKIPIF 1 < 0 为整数的正整数 SKIPIF 1 < 0 的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【详解】依题意， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，要 SKIPIF 1 < 0 为整数，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 是正整数，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是32的大于1的约数，
又32的非1的正约数有2，4，8，16，32五个，则n的值有1，3，7，15，31五个，
所以使得 SKIPIF 1 < 0 为整数的正整数n的个数为5.
故选：B
例题2．（2022·全国·高二课时练习）两等差数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】解：在 SKIPIF 1 < 0 为等差数列中，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
例题3．（2022·江苏·北大附属宿迁实验学校高二期中）已知两个等差数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，所以可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 外一点，点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为P，B，C三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 +λ=1，所以 SKIPIF 1 < 0 +λ=1， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 +λ= SKIPIF 1 < 0 +λ=1，λ= SKIPIF 1 < 0 ，
故选:B.
【提分秘籍】
若数列 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 均为等差数列且其前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
【变式演练】
1．（2022·全国·高二课时练习）设数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都是正项等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为数列 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为p，
数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等差数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选D．
2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若对于任意的自然数 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】数列{an}，{bn}均为等差数列，由等差数列下标和的性质得
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
3．（2022·江苏·宿迁中学高二期中）若两个等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和分别为An、Bn，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】等差数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 .
4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
5．（2022·广东·南海中学高二阶段练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和公式以及等差中项的性质得 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 ，故选A．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
一、单选题
1．（2022·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（文））已知在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．96B．102C．118D．126
【答案】B
【详解】解：在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
2．（2022·山东济宁·高三期中）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 和为 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】对于A，设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 , 前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
可得 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 2 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
故选项A正确;
由 SKIPIF 1 < 0 得，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 11,
SKIPIF 1 < 0 ，
故选项B正确；
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 n= SKIPIF 1 < 0 ,
故选项C错误；
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
即数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项 和 为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .故选项D正确.
故选：C.
3．（2022·广西玉林·高三阶段练习（理））设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，并且满足条件 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】解：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，
SKIPIF 1 < 0 ，
故B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 单调递增，故D错误；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故C错误．
故选：B．
4．（2022·贵州·贵阳六中一模（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和组成的数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
5．（2022·福建·莆田第六中学高二阶段练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等差数列.
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
6．（2022·四川外国语大学附属外国语学校高三期中）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间 SKIPIF 1 < 0 平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历 SKIPIF 1 < 0 步构造后，所有去掉的区间长度和为（ ） （注： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 的区间长度均为 SKIPIF 1 < 0 ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】解：将定义 SKIPIF 1 < 0 的区间长度为 SKIPIF 1 < 0 ，根据“康托尔三分集”的定义可得：
每次去掉的区间长组成的数为以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
第1次操作去掉的区间长为 SKIPIF 1 < 0 ，剩余区间的长度和为 SKIPIF 1 < 0 ，
第2次操作去掉两个区间长为 SKIPIF 1 < 0 的区间，剩余区间的长度和为 SKIPIF 1 < 0 ，
第3次操作去掉四个区间长为 SKIPIF 1 < 0 的区间，剩余区间的长度和为 SKIPIF 1 < 0 ，
第4次操作去掉8个区间长为 SKIPIF 1 < 0 ，剩余区间的长度和为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
第 SKIPIF 1 < 0 次操作去掉 SKIPIF 1 < 0 个区间长为 SKIPIF 1 < 0 ，剩余区间的长度和为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
设定义区间为 SKIPIF 1 < 0 ，则区间长度为1，
所以第 SKIPIF 1 < 0 次操作剩余区间的长度和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则去掉的区间长度和为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
7．（2022·贵州遵义·高三阶段练习（理））数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 为首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为1的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
8．（2022·湖南师大附中高二阶段练习）已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中的 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极值点，则是 SKIPIF 1 < 0 的两个根，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是正项等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
二、多选题
9．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高二阶段练习）数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 前5项的和最大
B．设 SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则使得 SKIPIF 1 < 0 成等比数列的充要条件为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为2022
【答案】AB
【详解】A：由通项公式知：数列是严格递减数列，又 SKIPIF 1 < 0
所以数列 SKIPIF 1 < 0 前5项的和最大，A对；
B：在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 成等差， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 B对；
C： SKIPIF 1 < 0 成等比数列， SKIPIF 1 < 0 所以不是充要条件，C错；
D： SKIPIF 1 < 0 为等差数列, SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以D错，
故选：AB
10．（2022·湖南·慈利县第一中学高三阶段练习）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项之积为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的值是 SKIPIF 1 < 0 中最小的D．使 SKIPIF 1 < 0 成立的最大正整数 SKIPIF 1 < 0 的值为4043
【答案】ABD
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，故A正确，
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，故B正确，
对于C，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的值是 SKIPIF 1 < 0 中最小的，故C错误，
对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故使 SKIPIF 1 < 0 成立的最大正整数 SKIPIF 1 < 0 的值为4043，故D正确，
故选：ABD
三、填空题
11．（2022·陕西·乾县第二中学高二阶段练习）如图所示，在坐标平面内有一质点从坐标原点出发，最开始向右，随后沿着箭头标注的路线运动，运动的方向始终与坐标轴平行，且每2秒移动1个单位长度，根据其运动的规律，经过__________秒后，该质点首次落在直线 SKIPIF 1 < 0 上．
【答案】1300
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
根据题意可知，当该质点到达点 SKIPIF 1 < 0 处时，首次落在直线 SKIPIF 1 < 0 上．
质点到达 SKIPIF 1 < 0 处，走过的路程长度为2；
质点到达 SKIPIF 1 < 0 处，走过的路程长度为 SKIPIF 1 < 0 ；
质点到达 SKIPIF 1 < 0 处，走过的路程长度为 SKIPIF 1 < 0 ；
……
依此类推，可知质点到达 SKIPIF 1 < 0 处，
走过的路程长度为 SKIPIF 1 < 0 ，
故该质点到达 SKIPIF 1 < 0 处时，走过的路程长度为 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，即经过1300秒．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
12．（2022·山西大附中高三阶段练习）已知各项为正的数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
【答案】2
【详解】各项为正的数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，化为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，首项为1，公差为2． SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号， SKIPIF 1 < 0 的最小值为2,
故答案为：2．
13．（2022·山西·太原师范学院附属中学高二阶段练习）设正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则公比 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
又正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵数列{an}是等比数列，
∴ SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
因为等比数列{an}为正项数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14．（2022·山东省实验中学高三阶段练习）正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且存在两项 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 （舍）或 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时取等号），
SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15．（2022·四川·绵阳市开元中学高一期末（理））已知在单调递增的等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等比中项， SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为________.
【答案】6
【详解】解：由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
故 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
此时 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，故最小值为6.
故答案为：6.