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新高考数学二轮复习考点讲义第二十三讲计数原理(2份打包,原卷版+解析版)
展开第二十三讲:计数原理【考点梳理】1.排列与组合的概念排列问题的解题策略特殊元素优先安排的策略; (2)合理分类与准确分步的策略;正难则反、等价转化的策略;(4)相邻问题捆绑处理的策略;不相邻问题插空处理的策略;(6)定序问题除法处理的策略;3.二项式定理 SKIPIF 1 < 0 .4.二项展开式的通项公式二项展开式的通项: SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 公式特点:①它表示二项展开式的第 SKIPIF 1 < 0 项,该项的二项式系数是;②字母 SKIPIF 1 < 0 的次数和组合数的上标相同;③ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的次数之和为 SKIPIF 1 < 0 .二项式系数的性质 (1)对称性;(2)增减性与最大值;(3)二项式系数的和【典型题型讲解】考点一:排列、组合【典例例题】例1.(2022·广东中山·高三期末) SKIPIF 1 < 0 男 SKIPIF 1 < 0 女六位同学站成一排,则 SKIPIF 1 < 0 位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是( )A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 例2.(2022·广东·铁一中学高三期末)高三一班周一上午有四节课,分别安排语文、数学、英语和体育.其中语文不安排在第一节,数学不安排在第二节,英语不安排在第三节,体育不安排在第四节,则不同的课表安排方法共有______种.【方法技巧与总结】排列、组合搞清楚区别【变式训练】1.(2022·广东清远·高三期末)为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作,推进疫苗接种进度,降低新冠肺炎感染风险,某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校,设立疫苗接种点,免费给学校老师和学生接种新冠疫苗,若每所学校分配1名医生和2名护士,则不同的分配方法共有_______种.2.(2022·广东惠州·一模)现有 SKIPIF 1 < 0 名学生报名参加校园文化活动的 SKIPIF 1 < 0 个项目,每人须报 SKIPIF 1 < 0 项且只报 SKIPIF 1 < 0 项,则恰有 SKIPIF 1 < 0 名学生报同一项目的报名方法有( )A. SKIPIF 1 < 0 种 B. SKIPIF 1 < 0 种 C. SKIPIF 1 < 0 种 D. SKIPIF 1 < 0 种3.(2022·广东湛江·一模)为提高新农村的教育水平,某地选派4名优秀的教师到甲、乙、丙三地进行为期一年的支教活动,每人只能去一个地方,每地至少派一人,则不同的选派方案共有( )A.18种 B.12种 C.72种 D.36种4.(2022·广东韶关·一模)在一次学校组织的研究性学习成果报告会上,有 SKIPIF 1 < 0 共6项成果要汇报,如果B成果不能最先汇报,而A、C、D按先后顺序汇报(不一定相邻),那么不同的汇报安排种数为( )A.100 B.120 C.300 D.6005.(2022·广东茂名·二模)某大学计算机学院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生.丁教授拟从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发共5个方向展开研究,每个方向均有研究生学习,每位研究生只参与一个方向的学习.其中小明同学因录取分数最高主动选择学习人脸识别,其余5名研究生均表示服从丁教授统一安排.则这6名研究生不同的分配方向共有( )A.480种 B.360种 C.240种 D.120种6.(2022·广东·二模)某校安排高一年级(1)~(5)班共5个班去A,B,C,D四个劳动教育基地进行社会实践,每个班去一个基地,每个基地至少安排一个班,则高一(1)班被安排到A基地的排法总数为( )A.24 B.36 C.60 D.2407.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有( )A.12种 B.24种 C.36种 D.48种8.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )A.60种 B.120种 C.240种 D.480种9.将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为( )A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 10.已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字,则比2134大的四位数的个数为________考点二:二项式定理【典例例题】例1.(2022·广东汕尾·高三期末)已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等,则 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为( )A.-240 B.240 C.-60 D.60例2.(2022·广东深圳·高三期末) SKIPIF 1 < 0 的各项系数和为( )A. SKIPIF 1 < 0 B.27 C.16 D. SKIPIF 1 < 0 例3.(2022·广东揭阳·高三期末)(多选)已知二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中各项的系数和为64,则下列说法正确的是( )A.展开式中的常数项为1B. SKIPIF 1 < 0 C.展开式中二项式系数最大的项是第四项D.展开式中 SKIPIF 1 < 0 的指数均为偶数【方法技巧与总结】1.在形如 SKIPIF 1 < 0 的展开式中求 SKIPIF 1 < 0 的系数,关键是利用通项求 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 .2.三项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式: SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 若令 SKIPIF 1 < 0 ,便得到三项式 SKIPIF 1 < 0 展开式通项公式: SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 叫三项式系数.3.二项展开式二项式系数和: SKIPIF 1 < 0 ;奇数项与偶数项二项式系数和相等: SKIPIF 1 < 0 .系数和:赋值法,二项展开式的系数表示式: SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 是系数),令 SKIPIF 1 < 0 得系数和: SKIPIF 1 < 0 .【变式训练】1.(2022·广东潮州·高三期末) SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项是_________.2.(2022·广东·一模)二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式中的常数项为__________.3.(2022·广东·珠海市第三中学二模) SKIPIF 1 < 0 的展开式中, SKIPIF 1 < 0 的系数为( )A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 4.(2022·广东汕头·二模)二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式中,有理项共有( )项.A.3 B.4 C.5 D.75.(2022·广东汕头·高三期末) SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为________ SKIPIF 1 < 0 用数字填写答案 SKIPIF 1 < 0 6.(2022·广东东莞·高三期末) SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 项的系数是( )A.9 B.10 C.11 D.127.(2022·广东佛山·高三期末) SKIPIF 1 < 0 的展开式中, SKIPIF 1 < 0 的系数为( )A.80 B.40 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 8.(2022·广东惠州·一模)若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( ) SKIPIF 1 < 0 B.0 C.1 D.29.(2022·广东广州·一模) SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为( )A.60 B.24 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 10.(2022·广东深圳·二模)(多选)已知 SKIPIF 1 < 0 ,则( )A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 11.(2022·广东茂名·二模)已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式共有13项,则下列说法中正确的有( )A.所有奇数项的二项式系数和为 SKIPIF 1 < 0 B.所有项的系数和为 SKIPIF 1 < 0 C.二项式系数最大的项为第6项或第7项 D.有理项共5项12.(2022·广东湛江·二模) SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项为___________.13.(2022·广东·普宁市华侨中学二模)(2+ SKIPIF 1 < 0 )(2+x)5的展开式中x2的系数是____.(用数字作答)14.(2022·广东潮州·二模)设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ______.【巩固练习】一、单选题1.6名志愿者要到 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 三个社区进行志愿服务,每个志愿者只去一个社区,每个社区至少安排1名志愿者,若要2名志愿者去 SKIPIF 1 < 0 社区,则不同的安排方法共有( )A.105种 B.144种 C.150种 D.210种2.2022年3月中旬,新冠肺炎疫情突袭南昌,南昌市统一指挥,多方携手、众志成城,构筑起抗击疫情的坚固堡垒.某小区有小王、小张等5位中学生积极参加社区志愿者,他们被分派到测温和扫码两个小组,若小王和小张不同组,且他们所在的两个组都至少需要2名中学生志愿者,则不同的分配方案种数有( )A.8 B.10 C.12 D.143.甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园,西湖茶经楼,历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩,其中茶经楼必有人去,则不同的参观方式共有( )种.A.24 B.96 C.174 D.1754.若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者,每个社区至少分配一人,每人只能去一个社区.若甲分配的社区已经确定,则乙与甲分配到不同社区的概率是( )A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 5.近日,各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作,某社区疫苗接种点为了更好的服务市民,决定增派5名医务工作者参加登记、接种、留观3项工作,每人参加1项,接种工作至少需要2人参加,登记、留观至少1人参加,则不同的安排方式有( )A.50 B.80 C.140 D.1806.甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》,恰好买到了七张连号的电影票,若甲、乙两人必须相邻,且丙坐在七人的正中间,则不同的坐法的种数为( )A.240 B.192 C.96 D.487.某校有5名大学生打算前往观看冰球,速滑,花滑三场比赛,每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往,则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有( )A.48 B.54 C.60 D.728. SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为( )A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 9.在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中,含 SKIPIF 1 < 0 的项的系数为( )A.-120 B.-40 C.-30 D.20010. SKIPIF 1 < 0 的展开式中, SKIPIF 1 < 0 的系数等于( )A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C.10 D.4511.若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的值为( )A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 12.已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中各项系数的和为 SKIPIF 1 < 0 ,则该展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为( )A.0 B. SKIPIF 1 < 0 C.120 D. SKIPIF 1 < 0 二、多选题13.已知 SKIPIF 1 < 0 ,则( )A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 14.在二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中,正确的说法是( )A.常数项是第3项 B.各项的系数和是1C.偶数项的二项式系数和为32 D.第4项的二项式系数最大15.已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .( )A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 被8整除余数为716.已知 SKIPIF 1 < 0 ,下列结论正确的是( )A. SKIPIF 1 < 0 B.当 SKIPIF 1 < 0 时,设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 C.当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 中最大的是 SKIPIF 1 < 0 D.当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 17.已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的系数为60,则下列说法正确的是( )A. SKIPIF 1 < 0 的展开式的各项系数之和为1 B. SKIPIF 1 < 0 的展开式中系数最大的项为 SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 的展开式中所有二项式的系数和为32三、填空题18.甲、乙、丙三名志愿者需要完成A,B,C,D,E五项不同的工作,每项工作由一人完成,每人至少完成一项,且E工作只有乙能完成,则不同的安排方式有______种.19.志愿团安排去甲、乙、丙、丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序,一位志愿者说:不能先去甲,甲的困难户最多;另一位志愿者说:不能最后去丁,丁离得最远.他们共有多少种不同的安排方法____20.将中国古代四大名著——《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》,以及《诗经》等12本书按照如图所示的方式摆放,其中四大名著要求放在一起,且必须竖放,《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》要求横放,若这12本书中7本竖放5本横放,则不同的摆放方法共有___________种.21.5位学生被分配到3个志愿点作志愿者,每个志愿点至少分配一位学生,其中甲乙不能分配到同一个志愿点,则共有___________种不同的分配方式(用数字作答).22.有甲、乙、丙三项任务,甲、乙各需1人承担,丙需2人承担且至少1人是男生,现有2男2女共4名学生承担这三项任务,不同的安排方法种数是______.(用具体数字作答)23.已知 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的值为___________.24.已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项为20,则 SKIPIF 1 < 0 ___________.名称定义排列从 SKIPIF 1 < 0 个不同元素中取出 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组