新高考数学二轮复习对点题型第8讲求与几何体的切接（2份打包，原卷版+教师版）

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2022新高考一卷第8题
已知正四棱锥的侧棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则该正四棱锥体积的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【思路分析】画出图形，由题意可知求出球的半径 SKIPIF 1 < 0 ，设正四棱锥的底面边长为 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 的取值范围求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以该正四棱锥体积 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数即可求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】【解法一】(统一为h)：如图所示，正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 各顶点都在同一球面上，连接 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则球心 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
设正四棱锥的底面边长为 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 球 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 球 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 该正四棱锥体积 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 （4） SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即该正四棱锥体积的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
【解法二】(统一为l)：由球的体积为36π，得球的半径R=3.
设正四棱锥的底面边长为a，高为h，则 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 − SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 QUOTE ，解得h= SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 =2 SKIPIF 1 < 0 − SKIPIF 1 < 0 ,于是正四棱锥的体积V= SKIPIF 1 < 0 h= SKIPIF 1 < 0 (2 SKIPIF 1 < 0 − SKIPIF 1 < 0 )，设x= SKIPIF 1 < 0 ∈[9,27]，则V= SKIPIF 1 < 0 ,求导得 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 QUOTE ),由 SKIPIF 1 < 0 >0得9≤x