新高考数学二轮复习对点题型第20讲独立性检验与条件概率（2份打包，原卷版+教师版）

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2022新高考一卷第20题
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
（1）能否有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人， SKIPIF 1 < 0 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， SKIPIF 1 < 0 表示事件“选到的人患有该疾病”， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 SKIPIF 1 < 0 ．
（ⅰ）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（ⅱ）利用该调查数据，给出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出 SKIPIF 1 < 0 的估计值．
附： SKIPIF 1 < 0 ．
知识要点整理
知识点一 分类变量
为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示．
知识点二 2×2列联表
1．2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数．
2．定义一对分类变量X和Y，我们整理数据如下表所示：
像这种形式的数据统计表称为2×2列联表．
知识点三 独立性检验
1．定义：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”．简称独立性检验．
2．χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.
3．独立性检验解决实际问题的主要环节
(1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释．
(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较．
(3)根据检验规则得出推断结论．
(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．
知识点四 条件概率的概念
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
思考 P(A|B)，P(B)，P(AB)间存在怎样的等量关系？
答案 P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)，其中P(B)>0.
知识点五 概率乘法公式
对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)为概率的乘法公式．
知识点六 条件概率的性质
设P(A)>0，则
(1)P(Ω|A)＝1.
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
(3)设eq \x\t(B)和B互为对立事件，则P(eq \x\t(B)|A)＝1－P(B|A)．
知识点七 全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq \i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)，我们称该公式为全概率公式．
*知识点八 贝叶斯公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝eq \f(PAiPB|Ai,PB)
三年真题
1．甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附： SKIPIF 1 < 0 ，
2．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（ⅱ）利用该调查数据，给出 SKIPIF 1 < 0 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附 SKIPIF 1 < 0 ，
3．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附： SKIPIF 1 < 0
4．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 SKIPIF 1 < 0 天空气中的 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 浓度（单位： SKIPIF 1 < 0 ），得下表：
（1）估计事件“该市一天空气中 SKIPIF 1 < 0 浓度不超过 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 浓度不超过 SKIPIF 1 < 0 ”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的 SKIPIF 1 < 0 列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为该市一天空气中 SKIPIF 1 < 0 浓度与 SKIPIF 1 < 0 浓度有关？
附： SKIPIF 1 < 0 ，
5．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 SKIPIF 1 < 0 天空气中的 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 浓度（单位： SKIPIF 1 < 0 ），得下表：
（1）估计事件“该市一天空气中 SKIPIF 1 < 0 浓度不超过 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 浓度不超过 SKIPIF 1 < 0 ”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的 SKIPIF 1 < 0 列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为该市一天空气中 SKIPIF 1 < 0 浓度与 SKIPIF 1 < 0 浓度有关？
附： SKIPIF 1 < 0 ，
6．某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附： SKIPIF 1 < 0 ，
7．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附： SKIPIF 1 < 0 ．
8．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（I）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（II）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
25周岁以上组 25周岁以下组
9．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，结果如下表：
甲厂：
乙厂：
(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；
(2)由于以上统计数据填下面 SKIPIF 1 < 0 列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
附： SKIPIF 1 < 0
10．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
（1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2） 能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3） 根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由
附：
11．某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）
（1）应收集多少位女生样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
附：
SKIPIF 1 < 0
12．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
(Ⅰ)根据已知条件完成下面的 SKIPIF 1 < 0 列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别
有关？
(Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
附 SKIPIF 1 < 0
13．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 SKIPIF 1 < 0 ，并将完成生产任务所需时间超过 SKIPIF 1 < 0 和不超过 SKIPIF 1 < 0 的工人数填入下面的列联表：
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附： SKIPIF 1 < 0 ，
三年模拟
一、解答题
1．某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标 SKIPIF 1 < 0 的数量 SKIPIF 1 < 0 与连续用药天数 SKIPIF 1 < 0 具有相关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 表示连续用药 SKIPIF 1 < 0 天， SKIPIF 1 < 0 表示相应的临床疗效评价指标 SKIPIF 1 < 0 的数值.根据临床经验，刚开始用药时，指标 SKIPIF 1 < 0 的数量 SKIPIF 1 < 0 变化明显，随着天数增加， SKIPIF 1 < 0 的变化趋缓.经计算得到如下一些统计量的值：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求样本 SKIPIF 1 < 0 的相关系数（精确到 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，第2条生产线出现不合格药品的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，两条生产线是否出现不合格药品相互独立.
（i）随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；
（ii）若在抽查中发现3件不合格药品，求其中至少有2件药品来自第1条生产线的概率.
附：相关系数 SKIPIF 1 < 0 .
2．在一次数学考试中，从甲，乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，他们成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．
（1）从两班10名同学中各抽取一人，在有人及格的情况下，求乙班同学不及格的概率；
（2）从甲班10人中取一人，乙班10人中取两人，三人中及格人数记为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和数学期望．
3．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对 SKIPIF 1 < 0 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 SKIPIF 1 < 0 名男性驾驶员中，平均车速超过 SKIPIF 1 < 0 的有 SKIPIF 1 < 0 人，不超过 SKIPIF 1 < 0 的有 SKIPIF 1 < 0 人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过 SKIPIF 1 < 0 的有 SKIPIF 1 < 0 人，不超过 SKIPIF 1 < 0 的有 SKIPIF 1 < 0 人.
(1)完成下面的列联表，并判断是否有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为平均车速超过 SKIPIF 1 < 0 与性别有关；
(2)在被调查的驾驶员中，按分层抽样的方法从平均车速不超过 SKIPIF 1 < 0 的人中抽取 SKIPIF 1 < 0 人，再从这6人中采用简单随机抽样的方法随机抽取 SKIPIF 1 < 0 人，求这2人恰好为 SKIPIF 1 < 0 名男生、1名女生的概率.
参考公式与数据： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
4．为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，长郡中学数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占 SKIPIF 1 < 0 ，统计成绩后，得到如下的 SKIPIF 1 < 0 列联表：
(1)请完成上面的 SKIPIF 1 < 0 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；
(2)若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.
附： SKIPIF 1 < 0
5．一种配件的标准尺寸为 SKIPIF 1 < 0 ，误差不超过 SKIPIF 1 < 0 均为合格品，其余为不合格品.科研人员在原有生产工艺的基础上，经过技术攻关，推出一种新的生产工艺.下面的表格分别给出了用两种工艺生产的20个配件的尺寸（单位： SKIPIF 1 < 0 ）：
(1)请将下面的 SKIPIF 1 < 0 列联表补充完整；
(2)根据所得样本数据判断，能否有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为用两种工艺生产的配件合格率有差异？
附： SKIPIF 1 < 0 .
6．近年来中年人的亚健康问题日趋严重，引起了政府部门和社会各界的高度关切.一研究机构为了解亚健康与锻炼时间的关系，对某地区的中年人随机调查了 SKIPIF 1 < 0 人，得到如下数据：
(1)从这些中年人中任选 SKIPIF 1 < 0 人，记 SKIPIF 1 < 0 “该中年人亚健康”， SKIPIF 1 < 0 “该中年人平均每天锻炼时间不足半小时”，分别求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)完成下面的列联表，根据小概率值 SKIPIF 1 < 0 的独立性检验，能否认为亚健康与锻炼时间有关联？
附： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
7．某地区对高一年级学生进行体质健康测试（简称体测），现随机抽取了900名学生的体测结果等级（“良好及以下”或“优秀”）进行分析．得到如下列联表：
附表及公式：
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)计算并判断是否有99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系？
(2)将频率视为概率，用样本估计总体．若从该地区高一所有学生中，采取随机抽样的方法每次抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取3次，且各次抽取的结果相互独立，记被抽取到的3名学生的体测等级为“优秀”的人数为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和数学期望 SKIPIF 1 < 0 ．
8．2022年11月15日9时38分,长征四号丙运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞,随后将遥感三十四号03星送入预定轨道发射,大量观众通过某网络直播平台观看了发射全过程.为了解大家是否关注航空航天技术,该平台随机抽取了100名用户进行调查,相关数据如下表.
附： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)补充表格数据并根据表中数据分别估计男、女性用户关注航空航天技术的概率;
(2)能否有99.9%的把握认为是否关注航空航天技术与性别有关?
9．2020年11月2日湖南省衡阳市衡南县清竹村，由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的晚稻品种“叁优一号”亩产为911.7公斤.在此之前，同一基地种植的早稻品种亩产为619.06公斤.这意味着双季亩产达到1530.76公斤，实现了“1500公斤高产攻关”的目标.在水稻育种中，水稻的不同性状对水稻的产量有不同的影响.某育种科研团队测量了株高(单位：cm)和穗长的数据，如下表(单位：株)：
(1)根据表中数据判断，能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系？
(2)在采样的稻田里随机抽取3株测量每穗总粒数，把抽取的低杆长穗株数记为X，求X的分布列和数学期望(把频率当成概率计算).
参考公式： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
10．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，在该批棉花中随机抽取了容量为120的样本，测量每个样本棉花的纤维长度（单位：mm，纤维长度是棉花质量的重要指标），所得数据均在区间 SKIPIF 1 < 0 内，将其按组距为2分组，制作成如图所示的频率分布直方图，其中纤维长度不小于28mm的棉花为优质棉.
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)已知抽取的容量为120的样本棉花产自于A，B两个试验区，部分数据如下2×2列联表：
将2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质棉与A，B两个试验区有关系；
(3)若从这批120个样本棉花中随机抽取3个，其中有X个优质棉，求X的分布列和数学期望 SKIPIF 1 < 0 .
注：①独立性检验的临界值表：
② SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
11．某企业为响应国家在《“十四五”工业绿色发展规划》中提出的“推动绿色发展，促进人与自然和谐共生”的号召，推进产业结构高端化转型，决定开始投入生产某新能源配件.该企业初步用甲､乙两种工艺进行试产，为了解两种工艺生产新能源配件的质量情况，从两种工艺生产的产品中分别随机抽取了 SKIPIF 1 < 0 件进行质量检测，得到下图所示的频率分布直方图，规定质量等级包含合格和优等两个等级，综合得分在 SKIPIF 1 < 0 的是合格品，得分在 SKIPIF 1 < 0 的是优等品.
(1)从这100件甲工艺所生产的新能源配件中按质量等级分层抽样抽取5件，再从这5件中随机抽取2件做进一步研究，求恰有1件质量等级为优等品的概率；
(2)根据频率分布直方图完成下面的 SKIPIF 1 < 0 列联表，并判断是否有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为新能源配件的质量等级与生产工艺有关？该企业计划大规模生产这种新能源配件，若你是该企业的决策者，你会如何安排生产，为什么？
附： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
12．某企业为响应国家在《“十四五”工业绿色发展规划》中提出的“推动绿色发展，促进人与自然和谐共生”的号召，推进产业结构高端化转型，决定开始投入生产某新能源配件.该企业初步用甲､乙两种工艺进行试产，为了解两种工艺生产新能源配件的质量情况，从两种工艺生产的产品中分别随机抽取了100件进行质量检测，得到下图所示的频率分布直方图，规定：质量等级包含合格和优等两个等级，综合得分在 SKIPIF 1 < 0 的是合格品，得分在 SKIPIF 1 < 0 的是优等品.

(1)通过计算，比较甲､乙两种工艺生产的配件的综合平均得分哪个更高？（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)根据频率分布直方图完成下面的 SKIPIF 1 < 0 列联表，并判断是否有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为新能源配件的质量等级与生产工艺有关？
附： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
13．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕，本次冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为 SKIPIF 1 < 0 ，统计得到以下2×2列联表，经过计算可得 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值，并判断有多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；
(2)为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取6人，再从这6人中抽取2人进行面对面交流，“至少抽到一名男生”的概率；
附表：
附： SKIPIF 1 < 0
14．2022年11月20日，卡塔尔足球世界杯正式开幕，世界杯上的中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物……中国制造为卡塔尔世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛．该足球队教练组对球员的使用是依据数据分析，为了考查球员甲对球队的贡献，作出如下数据统计（甲参加过的比赛均分出了胜负）：
(1)据此能否有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；
(2)根据以往的数据统计，乙球员能够胜任边锋、中锋、后腰以及后卫四个位置，且出场率分别为：0.2，0.4，0.3，0.1，当出任边锋、中锋、后腰以乃后卫时，球队输球的概率依次为：0.4、0.3、0.4、0.2．则：
①当乙球员参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；
②当乙球员参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担任边锋的概率；
③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用乙球员？
附表及公式：
SKIPIF 1 < 0 ．
15．现在养宠物已经成为一件再正常不过的事情了，尤其是对某些人来说，养宠物是他们生活中非常重要的一件事情，他们还将自己的宠物当成是家人．某机构随机抽取了 SKIPIF 1 < 0 名养宠物的人，对他们养宠物的原因进行了调查，根据调查结果，得到如下表数据：
(1)根据题中调查数据，判断是否有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为是否是因为喜欢宠物而养宠物与性别有关；
(2)若从这 SKIPIF 1 < 0 名男性养宠物的人中，按养宠物的原因采用分层抽样的方法抽取 SKIPIF 1 < 0 人，再从这 SKIPIF 1 < 0 人中随机抽取 SKIPIF 1 < 0 人，求抽取的这 SKIPIF 1 < 0 人中至少有 SKIPIF 1 < 0 人因为喜欢宠物而养宠物的概率．
参考公式： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
参考数据：
16．2022年新型冠状“奥密克戎”病毒肆虐，冠状肺炎感染人群年龄大多数是50岁以上的人群．该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对200个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期中位数为5，平均数为7.1，方差为5.06．如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：
(1)依据小概率值 SKIPIF 1 < 0 的独立性检验，可否认为“长潜伏期”与年龄有关？
(2)假设潜伏期Z服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 近似为样本平均数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 近似为样本方差 SKIPIF 1 < 0 ．现在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；
(3)以题日中的样本频率估计概率，设1000个病例中恰有 SKIPIF 1 < 0 个属于“长潜伏期”的概率是 SKIPIF 1 < 0 ，当k为何值时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值？
附： SKIPIF 1 < 0 ．
若随机变量Z服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
17．为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包一块地，土地的使用面积x与管理时间y的关系如下．调查了300名村民参与管理的意愿．如下表
表1
表2
(1)判断管理时间y与土地面积x有极强的线性关系．求出关于y与x的线性方程．
(2)依据小概率值 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 独立性检验，分析参与管理的性别与参与管理的意愿是否有关联？
(3)利用分层抽样从愿意参与管理的男女中抽取4人，再从4人中抽取3人．其中3人中参与管理的男性人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
18．为丰富学生的校园生活，提升学生的实践能力和综合素质能力，培养学生的兴趣爱好，某校计划借课后托管服务平台开设书法兴趣班，为了解学生对这个兴趣班的喜爱情况，该校随机抽取了该校 SKIPIF 1 < 0 名学生，调查他们对这个兴趣班的喜爱情况，得到下面的2×2列联表：
以调查得到的男、女学生喜欢书法兴趣班的频率代替概率.
(1)完成题中的2×2列联表，并判断能否有 SKIPIF 1 < 0 的把握认为是否喜欢书法兴趣班与性别有关；
(2)从该校喜欢书法兴趣班的学生中，用分层抽样的方法抽取 SKIPIF 1 < 0 名学生，再从这 SKIPIF 1 < 0 名学生中随机抽取 SKIPIF 1 < 0 名学生，求这 SKIPIF 1 < 0 名学生中至少有 SKIPIF 1 < 0 名女学生的概率.
参考公式： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
参考数据：
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
SKIPIF 1 < 0
0.050
0.010
0.001
SKIPIF 1 < 0
3.841
6.635
10.828
X
Y
合计
Y＝0
Y＝1
X＝0
a
b
a＋b
X＝1
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
SKIPIF 1 < 0
0.100
0.050
0.010
SKIPIF 1 < 0
2.706
3.841
6.635
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
SKIPIF 1 < 0
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
SKIPIF 1 < 0
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
32
18
4
SKIPIF 1 < 0
6
8
12
SKIPIF 1 < 0
3
7
10
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0.050
0.010
0.001
SKIPIF 1 < 0
3.841
6.635
10.828
锻炼人次
空气质量等级
[0，200]
(200，400]
(400，600]
1（优）
2
16
25
2（良）
5
10
12
3（轻度污染）
6
7
8
4（中度污染）
7
2
0
人次≤400
人次>400
空气质量好
空气质量不好
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
SKIPIF 1 < 0
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
分组
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
频数
12
63
86
182
92
61
4
分组
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
频数
29
71
85
159
76
62
18
甲厂
乙厂
合计
优质品
非优质品
合计
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
是否需要志愿 性别
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
SKIPIF 1 < 0
0.10
0.05
0.010
0.005
SKIPIF 1 < 0
2.706
3.841
6.635
7.879
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
SKIPIF 1 < 0
0.05
0.01
k
3.841
6.635
超过 SKIPIF 1 < 0
不超过 SKIPIF 1 < 0
第一种生产方式
第二种生产方式
平均车速超过 SKIPIF 1 < 0 人数
平均车速不超过 SKIPIF 1 < 0 人数
合计
男性驾驶人数
女性驾驶人数
合计
SKIPIF 1 < 0
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
SKIPIF 1 < 0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
分数大于等于120分
分数不足120分
合计
周做题时间不少于15小时
4
19
周做题时间不足15小时
合计
45
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
新工艺
500
499
503
500
505
500
502
499
500
498
502
496
498
501
500
497
498
503
500
499
旧工艺
497
502
499
495
502
494
500
496
506
503
499
496
505
498
503
502
496
498
501
505
合格品
不合格品
合计
新工艺
20
旧工艺
20
合计
10
40
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
平均每天锻炼时间
不足半小时
半小时到 SKIPIF 1 < 0 小时（含半小时）
SKIPIF 1 < 0 小时及以上
亚健康
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
无亚健康
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
平均每天锻炼时间
不足 SKIPIF 1 < 0 小时
SKIPIF 1 < 0 小时及以上
合计
亚健康
无亚健康
合计
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0

良好及以下
优秀
合计
男
450
200
650
女
150
100
250
合计
600
300
900
SKIPIF 1 < 0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
SKIPIF 1 < 0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
关注
不关注
合计
男性用户
35
女性用户
30
50
合计
100
SKIPIF 1 < 0
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
SKIPIF 1 < 0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
长穗
短穗
总计
高杆
34
16
50
低杆
10
40
50
总计
44
56
100
SKIPIF 1 < 0
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A试验区
B试验区
合计
优质棉
10
非优质棉
30
合计
120
SKIPIF 1 < 0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
SKIPIF 1 < 0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
合格品
优等品
合计
甲生产工艺
乙生产工艺
总计
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
合格品
优等品
合计
甲生产工艺
乙生产工艺
总计
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
男生
女生
合计
了解
SKIPIF 1 < 0
不了解
SKIPIF 1 < 0
合计
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
SKIPIF 1 < 0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
球队负
球队胜
总计
甲参加
3
29
32
甲未参加
7
11
18
总计
10
40
50
SKIPIF 1 < 0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
SKIPIF 1 < 0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
喜欢
其他
合计
男
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
女
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
合计
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
年龄
潜伏期
合计
长潜伏期
非长潜伏期
50岁以上
30
110
140
50岁及50岁以下
20
40
60
合计
50
150
200
SKIPIF 1 < 0
0.1
0.05
0.01
SKIPIF 1 < 0
2.706
3.841
6.635
土地使用面积x
1
2
3
4
5
管理时间y
8
10
13
25
24
性别
参与管理的意愿
合计
愿意
不愿意
男
150
50
200
女
50
合计
200
300
SKIPIF 1 < 0
0.050
0.010
0.005
0.001
SKIPIF 1 < 0
3.841
6.635
7.879
10.828
喜爱
不喜爱
合计
男
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
女
SKIPIF 1 < 0
合计
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0