新高考数学二轮复习对点题型第27讲高考题中的填空题解法（2份打包，原卷版+教师版）

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双空题—eq \a\vs4\al(扩考查宽度，增得分“容易度”)
新高考在填空题中引入一题双空题，其考查初衷一是增加试题考查的覆盖面，从一定程度上防猜题押题；二是两个空的总分值仍是5分，考生答对其中一空得部分分数的概率明显提高，这有利于提高一般考生的得分，也有利于区分选拔高水平考生．
一、双空填空题常见的两种类型
类型(一) 并列型
并列型双空填空题，即各空所填的内容是题干的并列结论，相互之间没有必然的逻辑关系．
1．(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________.
2．(2019·北京高考)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________．
3．四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则四面体ABCD的体积为________，球O的表面积为________．
[题型技法]
此种类型双空题的特点是：两空的设问相当于一个题目背景下的两道小填空题，两问之间没什么具体联系，各自成题，是对于多个知识点或某知识点的多个角度的考查；两问之间互不干扰，不会其中一问，照样可以答出另一问．所采取的解题策略是缺“问”解答或跳“问”解答，考场上切勿心浮气躁、全盘放弃．
类型(二) 相关型
相关型双空填空题，即两空所填内容之间存在逻辑关系，一空填错会影响另一空的对错．
1．(2022·北京高考)若函数f(x)＝Asin x－eq \r(3)cs x的一个零点为eq \f(π,3)，则A＝________；feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝________.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且被抛物线截得的弦长为2的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程________，此时该弦中点到y轴的距离为________．
3．(2022·浙江高考)若3sin α－sin β＝eq \r(10)，α＋β＝eq \f(π,2)，则sin α＝________，cs 2β＝________.
[题型技法]
此种类型双空题的特点是：两空之间有着一定联系，一般是第二空需要借助第一空的结果再进行作答，第一空往往是整个题的切入点也是难点，只要第一空会做并且做对，第二空便可顺势解答．
二、解答填空题常用的四种方法
方法(一) 直接法
直接从题目的条件出发，利用概念、定理、公式、法则等数学基础知识得出答案，然后按照要求将最后结果填入空位处．填空题的直接法更像做解答题，但由于填空题不需要过程，因而可以跳过一些步骤，大跨度前进．为了节省时间还可手写与心算相结合，力求快速，避免“小题大做”．
[例1] (1)(2021·新高考Ⅰ卷)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________．
(2)(2021·浙江高考)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2eq \r(3)，则AC＝________，cs∠MAC＝________.
方法(二) 特例法
当填空题暗示答案是一个“定值”或具“定性”特征时，我们可以取特殊数值、特殊图形、特殊位置或特殊结构来确定这个“定值”“定性”，以节省推理论证的过程．我们把这些解填空题的方法统称为特例法．对于解答题，特例常常只是提供论证的方向，而对填空题来说，往往不需要过程，就成为答案了．当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤为有效．
[例2] 设(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a4＝________；a1＋a3＋a5＝________.
[技法展示] 这是“计算型双空填空题”，由二项式定理系数公式得a4＝Ceq \\al(4,5)24＝80.
第二个空可以分别计算a1＝10，a3＝80，a5＝32，相加得a1＋a3＋a5＝122.也可以令x＝±1(特例法)，
有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(35＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，,－15＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，))
两式相减，得a1＋a3＋a5＝eq \f(1,2)(35＋1)＝122.
可见，两个空之间没有必然的逻辑联系，是并列关系．
方法(三) 图解法
由于填空题不用写出论证过程，因而画出辅助图示进行直观分析便可填上最后答案．数学上的数轴、韦恩图、函数的图象、方程的曲线、三角函数、复数、向量等，本身就具有数形结合的特征．使用图解法特别要用好坐标系，要善于进行几何结构的分析，还要学会构造图形．
[例3] (1)(2021·北京高考)已知f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论：
①若k＝0，则f(x)有两个零点；
②∃k＜0，使得f(x)有一个零点；
③∃k＜0，使得f(x)有三个零点；
④∃k＞0，使得f(x)有三个零点．
以上正确结论的序号是__________．
(2)设直线l：y＝kx＋b(k＞0)，圆C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直线l与C1，C2都相切，则k＝______；b＝________.
[技法展示] (1)零点个数问题，转化成两个函数图象的交点个数来分析．令f(x)＝|lg x|－kx－2＝0，可转化成两个函数y1＝|lg x|，y2＝kx＋2的图象的交点个数问题．对于①，当k＝0时，y1＝|lg x|，y2＝2，如图1所示，两图象有两个交点，①正确；对于②，如图2所示，存在k＜0，使得y1＝|lg x|与y2＝kx＋2相切，故②正确；对于③，如图2所示，若k＜0，y1＝|lg x|与y2＝kx＋2的图象最多有两个交点，故③错误；对于④，当k＞0时，过点(0,2)存在函数g(x)＝lg x(x＞1)图象的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切的斜率时，就会有3个交点，如图3所示，故④正确．
(2)法一：直接法
由直线l与两圆都相切知，两圆心(0,0)，(4,0)到直线l：y＝kx＋b的距离都等于1，由点到直线的距离公式，有eq \f(|b|,\r(1＋k2))＝eq \f(|4k＋b|,\r(1＋k2))＝1(k＞0)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|b|＝|4k＋b|，,|b|＝\r(1＋k2)，))k>0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2k＋b＝0，,b2＝1＋k2，))k>0.解得k＝eq \f(\r(3),3)，b＝－eq \f(2\r(3),3).
两个几何参数k，b表面上是并列的，实际上存在内在联系，一个算错影响另一个的计算．
法二：图解法
依题意可作图如图，由直线l与两圆相切知，直线经过两圆连心线的中点A(2,0)，|OA|＝2.又单位圆的半径|OB|＝1，
故在Rt△ABO中，∠OAB＝30°，
从而在Rt△AOC中，|OC|＝eq \f(|OA|,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3)，
tan∠DAx＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3).解得k＝eq \f(\r(3),3)，b＝－eq \f(2\r(3),3).
[答案] (1)①②④ (2)eq \f(\r(3),3) －eq \f(2\r(3),3)
方法(四) 猜想法
猜想是根据部分理由而得出结论的合情推理，一个完整的数学解题过程常常要经历“先猜后证”的两个阶段，猜想也是一种能力．解填空题除了要重点掌握好直接法、特例法、图解法外，也可辅以猜想法．新高考出现了开放性填空题，意味着考生在掌握基础知识的前提下，能先猜后证．
[例4] (1)(2021·新高考Ⅱ卷)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：__________________.①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数．
(2)写出一个满足a1a2＝2a3的等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的通项公式an＝________.
[题型技法]
答案不唯一的填空题可以大致分为两种：
(1)举例子；(2)求题目中参数满足的关系式，并取其中一个特殊参数作为答案．
对于第(1)种，要求学生掌握基础知识，联想题目中的条件可以对应自己学过的哪些内容；
对于第(2)种，需要把题目条件转化得到关系式，取满足条件的其中一个结果即可．
针对训练
一、填空题
1．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项 SKIPIF 1 < 0 ，则其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 _________．
2． SKIPIF 1 < 0 的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n的值是___________．
3．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为_________．
二、双空题
4．已知A，B，C三点在球心为O，半径为R的球面上， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，那么A，B两点的球面距离为___________，球心到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为___________.
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为________， SKIPIF 1 < 0 的值为_____．
6．从0，1，2，3这四个数中选三个不同的数作为函数 SKIPIF 1 < 0 的系数，可组成不同的一次函数共有____________个，不同的二次函数共有____________个．（用数字作答）
7．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率是____________，准线方程是____________．
8．已知n次式项式 SKIPIF 1 < 0 ．如果在一种算法中，计算 SKIPIF 1 < 0 的值需要 SKIPIF 1 < 0 次乘法，计算 SKIPIF 1 < 0 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算 SKIPIF 1 < 0 的值共需要______次运算．
下面给出一种减少运算次数的算法： SKIPIF 1 < 0 ．利用该算法，计算 SKIPIF 1 < 0 的值共需要6次运算．计算 SKIPIF 1 < 0 的值共需要_______次运算．
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的定义域是___________；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，则实数a的取值范围是___________．
10．将杨辉三角中的每一个数 SKIPIF 1 < 0 都换成分数 SKIPIF 1 < 0 ，就得到一个如下图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 _____________，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____________．
11．设函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 轴所围成图形的面积称为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的面积，已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1） SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的面积为______；
（2） SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的面积为______．
12．在函数 SKIPIF 1 < 0 中，若a，b，c成等比数列且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 有最_________值（填“大”或“小”），且该值为___________．