新高考数学二轮复习对点题型第29讲高考题中的解答题解法（2份打包，原卷版+教师版）

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答题思想方法
1.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2.如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法；
3.面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对称轴或是……；
4.选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法；
5.求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；
6.恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏；
7.圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式；
8.求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）；
9.求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可；
10.三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；
11.数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想；
12.立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题；
13.导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；
4.概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径；
15.三选二的三题中，极坐标与参数方程注意转化的方法，不等式题目注意柯西与绝对值的几何意义，平面几何重视与圆有关的知积，必要时可以测量；
16.遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元来完成；
17.注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等；
18.绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先选择使用定义；
19.与平移有关的，注意口诀“左加右减，上加下减”只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成；
20.关于中心对称问题，只需使用中点坐标公式就可以，关于轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂直，一是中点在对称轴上。
1．记 SKIPIF 1 < 0 是内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .已知 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有 SKIPIF 1 < 0 ，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，然后利用余弦定理即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径为R，由正弦定理，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为 SKIPIF 1 < 0 ，如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，①
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．②
由①②得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 （舍去）．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故有 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理知 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 ．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点E，则 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
以向量 SKIPIF 1 < 0 为基底，有 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．③
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ④
联立③④，得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为x轴，过点D垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直线为y轴，
SKIPIF 1 < 0 长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则 SKIPIF 1 < 0 ．
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．⑤
由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．⑥
联立⑤⑥解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）， SKIPIF 1 < 0 ，
代入⑥式得 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ．
【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
2．在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所对的边长分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
（2）是否存在正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为钝角三角形?若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在，且 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）由正弦定理可得出 SKIPIF 1 < 0 ，结合已知条件求出 SKIPIF 1 < 0 的值，进一步可求得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角 SKIPIF 1 < 0 为钝角，由 SKIPIF 1 < 0 结合三角形三边关系可求得整数 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 为锐角，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）显然 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为钝角三角形，则 SKIPIF 1 < 0 为钝角，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由三角形三边关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
3．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： SKIPIF 1 < 0 的一个最小正实根，求证：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】（1）利用公式计算可得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合 SKIPIF 1 < 0 及极值点的范围可得 SKIPIF 1 < 0 的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 有两个不同零点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上为增函数，在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，
若 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数且 SKIPIF 1 < 0 ，
而当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的一个最小正实根，
若 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 且在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，故1为 SKIPIF 1 < 0 的一个最小正实根，
综上，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 有两个不同零点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上为增函数，在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 存在一个零点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的一个最小正实根，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
4．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，样本方差分别记为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 SKIPIF 1 < 0 ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.
（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
（2）依题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
5．如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是矩形， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，由已知条件得出 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得出 SKIPIF 1 < 0 的长；
（2）求出平面 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.
【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，不妨以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
[方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法
如图，连结 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
从而 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ．
[方法三]：几何法+三角形面积法
如图，联结 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点N．
由[方法二]知 SKIPIF 1 < 0 ．
在矩形 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，因为M为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因此，二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
[方法二]：构造长方体法+等体积法
如图，构造长方体 SKIPIF 1 < 0 ，联结 SKIPIF 1 < 0 ，交点记为H，由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．过H作 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足记为G．
联结 SKIPIF 1 < 0 ，由三垂线定理可知 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角．
易证四边形 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形，联结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
由等积法解得 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面积方法求得.
（2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.
6．如图，直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的体积为4， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求A到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离；
(2)设D为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由等体积法运算即可得解；
（2）由面面垂直的性质及判定可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.
【详解】（1）在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，设点A到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为h，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点A到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）取 SKIPIF 1 < 0 的中点E,连接AE,如图，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 且相交，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可取 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可取 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
7．设抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，点 SKIPIF 1 < 0 ，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角分别为 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 取得最大值时，求直线AB的方程．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）由抛物线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得解；
（2）法一：设点的坐标及直线 SKIPIF 1 < 0 ，由韦达定理及斜率公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由差角的正切公式及基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，结合韦达定理可解.
【详解】（1）抛物线的准线为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以抛物线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由斜率公式可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 ，代入抛物线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若要使 SKIPIF 1 < 0 最大，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以当 SKIPIF 1 < 0 最大时， SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，
代入抛物线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 .
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN的斜率存在.
设 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,同理， SKIPIF 1 < 0 .
直线MD: SKIPIF 1 < 0 ,代入抛物线方程可得： SKIPIF 1 < 0 ，同理， SKIPIF 1 < 0 .
代入抛物线方程可得: SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由斜率公式可得： SKIPIF 1 < 0
（下同方法一）若要使 SKIPIF 1 < 0 最大，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以当 SKIPIF 1 < 0 最大时， SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，
代入抛物线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 .
[方法三]：三点共线
设 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ,若 P、M、N三点共线，由 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
反之，若 SKIPIF 1 < 0 ,可得MN过定点 SKIPIF 1 < 0
因此，由M、N、F三点共线，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由M、D、A三点共线，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由N、D、B三点共线，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使 SKIPIF 1 < 0 最大，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以当 SKIPIF 1 < 0 最大时， SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 .
【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线 SKIPIF 1 < 0 过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．
8．抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： SKIPIF 1 < 0 交C于P，Q两点，且 SKIPIF 1 < 0 ．已知点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与l相切．
（1）求C， SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 是C上的三个点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均与 SKIPIF 1 < 0 相切．判断直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）抛物线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ；（2）相切，理由见解析
【分析】（1）根据已知抛物线与 SKIPIF 1 < 0 相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出 SKIPIF 1 < 0 坐标，由 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 ；由圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，求出半径，即可得出结论；
（2）方法一：先考虑 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若 SKIPIF 1 < 0 斜率存在，由 SKIPIF 1 < 0 三点在抛物线上，将直线 SKIPIF 1 < 0 斜率分别用纵坐标表示，再由 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，得出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，最后求出 SKIPIF 1 < 0 点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，即可得出结论.
【详解】（1）依题意设抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切，所以半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）[方法一]：设 SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在，则 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，根据对称性不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
则过 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切的另一条直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意；
若 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，根据对称性不妨设 SKIPIF 1 < 0
则过 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切的直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，此时直线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切；
若直线 SKIPIF 1 < 0 斜率均存在，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
同理直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切， SKIPIF 1 < 0
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，同理 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 为方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切；
综上若直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切.
[方法二]【最优解】：设 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，同解法1．
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
由直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
同理，由直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为方程 SKIPIF 1 < 0 同时经过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，点M到直线 SKIPIF 1 < 0 距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切．
综上所述，若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切，则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切．
【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用 SKIPIF 1 < 0 的对称性，抽象出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关系，把 SKIPIF 1 < 0 的关系转化为用 SKIPIF 1 < 0 表示，法二是利用相切等条件得到 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，其与两条曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)见解析
【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.
（2）根据（1）可得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的解的个数、 SKIPIF 1 < 0 的解的个数均为2，构建新函数 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数可得该函数只有一个零点且可得 SKIPIF 1 < 0 的大小关系，根据存在直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 有三个不同的交点可得 SKIPIF 1 < 0 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 无最小值，故 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
故 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
故 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 有相同的最小值，
故 SKIPIF 1 < 0 ，整理得到 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的减函数，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的唯一解为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的解为 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0 .
（2）[方法一]：
由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，考虑 SKIPIF 1 < 0 的解的个数、 SKIPIF 1 < 0 的解的个数.
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点，即 SKIPIF 1 < 0 的解的个数为2.
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点即 SKIPIF 1 < 0 的解的个数为2.
当 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）讨论可得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 仅有一个解，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由（1）讨论可得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均无根，
故若存在直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 有三个不同的交点，
则 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个零点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且：
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
因此若存在直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 有三个不同的交点，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的根 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的根 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 为方程 SKIPIF 1 < 0 的解，同理 SKIPIF 1 < 0 也为方程 SKIPIF 1 < 0 的解
又 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 为方程 SKIPIF 1 < 0 的解，同理 SKIPIF 1 < 0 也为方程 SKIPIF 1 < 0 的解，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .
[方法二]：
由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0
① SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 与两条曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
共有0个交点，不符合题意；
② SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 与两条曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；
③ SKIPIF 1 < 0 时，首先，证明 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有2个交点，
即证明 SKIPIF 1 < 0 有2个零点， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在且只存在1个零点，设为 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上存在且只存在1个零点，设为 SKIPIF 1 < 0
其次，证明 SKIPIF 1 < 0 与曲线和 SKIPIF 1 < 0 有2个交点，
即证明 SKIPIF 1 < 0 有2个零点， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在且只存在1个零点，设为 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上存在且只存在1个零点，设为 SKIPIF 1 < 0
再次，证明存在b，使得 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以只需证明 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解即可，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有零点，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在零点，取一零点为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 即可，
此时取 SKIPIF 1 < 0
则此时存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，其与两条曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 共有三个不同的交点，
最后证明 SKIPIF 1 < 0 ，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，
因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 与两条曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.
10．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求a的取值范围；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 的减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)见解析
【分析】（1）求出 SKIPIF 1 < 0 ，讨论其符号后可得 SKIPIF 1 < 0 的单调性.
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，先讨论 SKIPIF 1 < 0 时题设中的不等式不成立，再就 SKIPIF 1 < 0 结合放缩法讨论 SKIPIF 1 < 0 符号，最后就 SKIPIF 1 < 0 结合放缩法讨论 SKIPIF 1 < 0 的范围后可得参数的取值范围.
（3）由（2）可得 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，从而可得 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为连续不间断函数，
故存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，与题设矛盾.
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
下证：对任意 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 成立，
证明：设 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 成立.
由上述不等式有 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 总成立，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0 .
（3）取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
所以对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得到： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.
11．如图， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 内的一点， SKIPIF 1 < 0 记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 记为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中的对边分别记为m，n， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长和 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由已知可推出 SKIPIF 1 < 0 ，整理得到 SKIPIF 1 < 0 .根据 SKIPIF 1 < 0 的范围可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而即可得出 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据 SKIPIF 1 < 0 即可得出 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出三角形面积的最大值.
【详解】（1）已知 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理可得
SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得知：
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 面积有最大值 SKIPIF 1 < 0 .
12．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）将 SKIPIF 1 < 0 两边同时加 SKIPIF 1 < 0 ，结合等比数列的定义证明可得 SKIPIF 1 < 0 ，再构造数列 SKIPIF 1 < 0 ，求解首项分析即可；
（2）根据等比数列的前 SKIPIF 1 < 0 项公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，参变分离可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 的单调性求解最大值即可.
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，3为公比的等比数列，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1） SKIPIF 1 < 0 为等比数列，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值即可.
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而增大；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小.
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的最大值，为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
13．已知双曲线C过点 SKIPIF 1 < 0 ,且C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求C的方程;
(2)设A为C的右顶点,过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与圆O: SKIPIF 1 < 0 交于点M,N,直线AM,AN与C的另一交点分别为D,E,求证:直线DE过定点.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【分析】(1)根据渐近线方程设出双曲线方程,将 SKIPIF 1 < 0 代入,求出方程即可;
(2)分析 SKIPIF 1 < 0 斜率情况,设出直线 SKIPIF 1 < 0 方程,与圆联立可得 SKIPIF 1 < 0 两点坐标之间的关系,化简 SKIPIF 1 < 0 可得为定值,即 SKIPIF 1 < 0 也为该定值,设出 SKIPIF 1 < 0 的直线方程,与双曲线联立,即可得 SKIPIF 1 < 0 两点坐标之间关系,根据 SKIPIF 1 < 0 为定值,建立等式,进行化简,解得 SKIPIF 1 < 0 的直线方程中参数之间的关系,即可得直线DE所过定点.
【详解】（1）解:由题知C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
故设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ;
（2）由题知画图如下:
因为直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 斜率不为零,
故设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
联立 SKIPIF 1 < 0 ,
可得 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 ,
由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
联立 SKIPIF 1 < 0 ,
可得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 ,
由韦达定理得: SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
因为直线 SKIPIF 1 < 0 不过 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直线 SKIPIF 1 < 0 为: SKIPIF 1 < 0 ,
故直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】思路点睛:本题考查直线与圆锥曲线的综合应用中的定点问题,关于定点的问题思路有:
(1)先根据题意考虑特殊情况,斜率不存在,或斜率为零;
(2)设普通的直线方程,联立方程组;
(3)判别式大于零,韦达定理;
(4)根据题意建立关于 SKIPIF 1 < 0 的等式,进行化简.
14．已知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 存在唯一的零点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1)2
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 可求出 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，然后对函数求导，由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极小值；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数可求出其单调区间和最小值，然后分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 讨论函数的零点即可.
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
SKIPIF 1 < 0 存在唯—的零点， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
①若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
注意到 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 存在唯一的零点，符合题意
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上各有一个零点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增， SKIPIF 1 < 0 上递减， SKIPIF 1 < 0 上递增，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上各有一个零点，共3个零点了，舍去.
综上， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的极值，考查利用导数解决函数零点问题，第（2）问解题的关键是对 SKIPIF 1 < 0 求导后，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数求出其最小值后再讨论可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5