新高考数学二轮复习对点题型第34讲高考题中的解答题五（圆锥曲线）（2份打包，原卷版+教师版）

第34讲　高考题中的解答题五 （圆锥曲线） 解析几何中的证明、定点、定值问题(一)　证明问题　圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广，但无论证明什么，其常用方法有直接法和转化法，对于转化法，先是对已知条件进行化简，根据化简后的情况，将证明的问题转化为另一问题.[典例]　(2022·山东淄博三模)如图，已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率e＝eq \f(1,2)，由椭圆E的四个顶点围成的四边形的面积为16eq \r(3).(1)求椭圆E的标准方程；(2)设A为椭圆E的右顶点，过点M(－2a,0)且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于点B，C(点B在MC之间)，若N为线段BC上的点，且满足eq \f(|MB|,|MC|)＝eq \f(|BN|,|NC|)，证明：∠ANC＝2∠AMC.[关键点拨]方法技巧圆锥曲线中证明问题的求解策略处理圆锥曲线中的证明问题常采用直接法证明，证明时常借助于等价转化思想，化几何关系为数量关系(如证明直线垂直可转化为证明两直线的斜率之积为－1或方向向量的数量积为0，证明三点共线可转化为斜率相等或对应的向量共线)，然后借助函数方程思想、数形结合思想解决．针对训练已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(2,0)，一条渐近线方程为x－eq \r(3)y＝0.(1)求双曲线C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A，B，过F的直线l交C的右支于M，N两点，连接MB交直线x＝eq \f(3,2)于点Q，求证：A，Q，N三点共线．(二)　定点问题　定点问题常见类型1证明直线过定点，其中证明直线过定点x0，y0，常利用直线的点斜式方程y－y0＝kx－x0来证明.2圆或其他曲线过定点.[典例]　(2022·四川成都七中三模)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，0))，且C经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2))).(1)求C的方程；(2)设C与y轴正半轴交于点D，直线l：y＝kx＋m与C交于A，B两点(l不经过D点)，且AD⊥BD.证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标．[关键点拨]方法技巧直线过定点问题的常见解法(1)用参数表示出直线的方程，根据直线方程的特征确定定点的位置．(2)从特殊点入手，先确定定点，再证明该定点符合题目条件．提醒：求出直线方程是判断直线是否过定点的前提和关键．针对训练(2022·山东烟台三模)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，其左、右焦点分别为F1，F2，T为椭圆C上任意一点，△TF1F2面积的最大值为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知A(0,1)，过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线AM，AN与x轴的交点分别为P，Q，证明：以PQ为直径的圆过定点．(三)　定值问题　圆锥曲线中定值问题的四种常见类型和解法1证明代数式为定值；2证明点到直线的距离为定值；3证明某线段长度为定值；4证明某几何图形的面积为定值.[典例]　(2022·河北邯郸二模)已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,3)))为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上一点，A，B分别为C的左、右顶点，且△PAB的面积为5.(1)求C的标准方程；(2)过点Q(1,0)的直线l与C相交于点G，H(点G在x轴上方)，AG，BH与y轴分别交于点M，N，记S1，S2分别为△AOM，△AON(点O为坐标原点)的面积，证明：eq \f(S1,S2)为定值．[关键点拨]方法技巧求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．针对训练(2022·安徽省芜湖模拟)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(5),5)，F1，F2为左右焦点．直线l：y＝kx＋m交椭圆C于A，B两点，且|AF1|＋|AF2|＝2eq \r(5).(1)求椭圆C的方程；(2)若OA，OB斜率之积为－eq \f(4,5)，求证：△AOB的面积为定值．解析几何中的证明、定点、定值问题1．(2022·陕西西安三模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)上的点G(4，t)(t＞0)到其准线的距离为5.不过原点的动直线交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，点M在准线l上的射影为N.(1)求抛物线C的方程；(2)当eq \o(NA,\s\up7(―→))·eq \o(NB,\s\up7(―→))＝1时，求证：直线AB过定点．2．(2022·广东肇庆模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率是eq \f(\r(5),2)，实轴长是8.(1)求双曲线C的方程；(2)过点P(0,3)的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足|PA|·|DB|＝|PB|·|DA|成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值．3．已知点F(eq \r(2)，0)，动点M(x，y)到直线l：x＝2eq \r(2)的距离为d，且d＝eq \r(2)|MF|，记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)过M作圆O：x2＋y2＝eq \f(4,3)的两条切线MP，MQ(其中P，Q为切点)，直线MP，MQ分别交C的另一点为A，B，从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．①|PA|·|PM|为定值；②|MA|＝|MB|.4．(2022·山东济宁三模)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点F是椭圆E的右焦点，点Q在椭圆E上，且|QF|的最大值为3，椭圆E的离心率为eq \f(1,2).(1)求椭圆E的方程；(2)若过点A的直线与椭圆E交于另一点P(异于点B)，与直线x＝2交于一点M，∠PFB的角平分线与直线x＝2交于点N，求证：点N是线段BM的中点．　解析几何中的最值与范围、探索性问题(一)　最值与范围问题　求解范围、最值问题的常见方法1利用判别式来构造不等关系.2利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.3利用隐含或已知的不等关系建立不等式.4利用基本不等式.eq \a\vs4\al(类型一　平面图形面积的最值问题)[典例]　(2022·福建南平三模)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，焦距为4，过右焦点F2且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点，已知△MNF1的周长为4eq \r(5)，点M关于x轴的对称点为P，直线PN交x轴于点Q.(1)求椭圆C的方程；(2)求四边形MF1NQ面积的最大值．[关键点拨]方法技巧求四边形面积的最值，首先分割，借助三角形面积转化为函数的最值问题；求解最值应用了两个技巧：一是换元，运用函数的性质；二是利用已知或隐含的不等关系构造不等式求解．针对训练(2022·山东济南一中模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，且过左焦点和上顶点的直线l与圆(x－eq \r(3))2＋y2＝3相切．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线m：y＝kx＋n(k>0，n>0)与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且直线OA，OB，AB的斜率之和为0.求三角形OAB面积的最大值．eq \a\vs4\al(直线的距离、斜率或某个参数的最值或范围问题)[典例]　(2022·四川遂宁三模)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，坐标原点为O，离心率e＝eq \f(1,2)，过F1且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，|AB|＝3；过F2且斜率为k(k≠0)的直线l与C交于P，Q点．(1)求C的标准方程；(2)令P，Q的中点为N，若存在点M(m,0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))))，使得MN⊥PQ，求k的取值范围．[关键点拨]方法技巧圆锥曲线中求解含双变量的式子的取值范围的方法：几何条件定代换，目标关系式求范围．一般分三步完成：第一步，消参，将直线l的方程与圆锥曲线的方程联立，得两个变量的等量关系 (此时需要检验判别式Δ＞0)；第二步，将等量关系代入目标关系式；第三步，利用函数的性质求取值范围．针对训练(2022·北京东城三模)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－2,0)，长轴长为2eq \r(6).过右焦点F2的直线l交椭圆C于A，B两点，直线F1A，F1B分别交直线x＝3于点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)设线段AB中点为T，当点M，N位于x轴异侧时，求T到直线x＝3的距离的取值范围．解决探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.1当条件和结论不唯一时要分类讨论.2当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.3当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意.[典例]　(2022·山东潍坊一模)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦距为2，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)))在C上．(1)求C的方程；(2)若过动点P的两条直线l1，l2均与C相切，且l1，l2的斜率之积为－1，点A(－eq \r(3)，0)，问是否存在定点B，使得eq \o(PA,\s\up7(―→))·eq \o(PB,\s\up7(―→))＝0？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．[关键点拨]针对训练(2022·天津红桥二模)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq \f(\r(2),2)，点A(a,0)，B(0，b)之间的距离为eq \r(3).(1)求椭圆C的标准方程；(2)若经过点(0，eq \r(2))且斜率为k的直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q，则是否存在常数k，使得eq \o(OP,\s\up7(―→))＋eq \o(OQ,\s\up7(―→))与eq \o(AB,\s\up7(―→))共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．解析几何中的最值与范围、探索性问题1．(2022·北京丰台一模)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且|AB|＝4，离心率为eq \f(\r(3),2).(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上不同于A，B的一点，直线PA，PB与直线x＝4分别交于点M，N.若|MN|≤4，求点P横坐标的取值范围．2．已知点P是一个动点，A(－2eq \r(2)，0)，B(2eq \r(2)，0)，|PA|－|PB|＝4.动点P的轨迹记为Ω.(1)求Ω的方程；(2)设T为直线x＝1上一点，过T的直线l与Ω交于C，D两点，试问是否存在点T，使得eq \o(TC,\s\up7(―→))·eq \o(TD,\s\up7(―→))＝eq \o(OT,\s\up7(―→))2？若存在，求T的坐标；若不存在，请说明理由．3．(2022·辽宁抚顺市第二中学三模)设双曲线C：eq \f(x2,3)－y2＝1，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．(1)求直线l倾斜角θ的取值范围；(2)直线AO(O为坐标原点)与双曲线C的另一个交点为D，求△ABD面积的最小值，并求此时l的方程．4．(2022·江苏南京模拟)已知圆F：(x－2)2＋y2＝1，动圆P与圆F内切，且与定直线x＝－3相切，设动点P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若直线l过点F，且与E交于A，B两点，与y轴交于M点，满足eq \o(MA,\s\up7(―→))＝λeq \o(AF,\s\up7(―→))，eq \o(MF,\s\up7(―→))＝μeq \o(FB,\s\up7(―→)) (λ＞0，μ＞0)，试探究λ与μ的关系．大题专攻——“解析几何”大题的规范解题路径一、题型通法点拨：圆锥曲线问题重在“设”——设点、设线　解析几何部分知识点多，运算量大，能力要求高，综合性强，在高考试题中大都是在压轴题的位置出现，是考生“未考先怕”的题型之一，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算.因此，在遵循“设—列—解”程序化运算的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈.　[解题示范](2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－1))两点．(1)求E的方程；(2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足eq \o(MT,\s\up7(―→))＝eq \o(TH,\s\up7(―→)).证明：直线HN过定点．解题“瓶颈”突破：合理设参，化解计算繁而杂难题　平面解析几何中的许多问题，若解题方法不对就会使解题过程繁杂而冗长，从而影响到解题的速度和解题的准确性，通过引入参数，设而不求是解决此类问题的有效方法．一旦合理引入参数，用参数来刻画运动变化状态，减少变量，再利用平面几何知识就会化难为易，化繁为简，收到意想不到的解题效果．设参方式一般有以下几种类型：　“单参”解题[例1]　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为原点，直线AB(不垂直于x轴)过点F且与抛物线交于A，B两点，直线OA，OB斜率之积为－p.(1)求抛物线C的方程；(2)若M为线段AB中点，射线OM交抛物线于D点．求证：eq \f(|OD|,|OM|)>2.[反思领悟]单参问题经常需要在“k参”与“m参”eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,k)))中选择．一般而言，选“k参”还是选“m参”可以依照：“一看已知点的坐标，二看所求问题目标”来决定．如本例中，因为已知AB过点F，而F点在x轴上，其纵坐标为零，所以设直线AB时选“m参”解题更为轻巧．　　 二　“双参”解题[例2]　已知离心率为eq \f(\r(3),2)的椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))，与坐标轴不平行的直线l与椭圆C交于A，B两点，其中M为A关于y轴的对称点，N(0，eq \r(2))，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)分别记△PAO，△PBO的面积为S1，S2，当M，N，B三点共线时，求S1·S2的最大值．[反思领悟]对于圆锥曲线中的双参数问题，在求参数的取值范围时，许多情况下要先根据问题特征，求出其中一个参数的范围，然后寻找两参数的等量关系，借助这个等量关系求另一个参数的范围．　　 　“点参”解题[例3]　如图，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A，B，M是抛物线上三点(M在第一象限)，直线AB交x轴于点N(N在F的右边)，四边形FMNA是平行四边形，记△MFN，△FAB的面积分别为S1，S2.(1)若|MF|＝1，求点M的坐标(用含有p的代数式表示)；(2)若eq \f(S1,S2)＝eq \f(2,5)，求直线OM的斜率(O为坐标原点)．[反思领悟]“点参”解题是解析几何大题的一种重要方法，尤其在以抛物线为背景的解析几何大题中运用较多．这是因为抛物线方程本身就是一个“x”与“y”的等量关系式，“x”与“y”的转换方便，且有降幂升幂的功能．当然，椭圆背景的大题，也不乏适合“点参”解题的题目．　　 　　　　　“解析几何”大题规范增分练1．已知椭圆C∶eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)．过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点F1作AB的垂线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的周长为4eq \r(6).(1)求椭圆C的方程；(2)求eq \f(|MN|,|AB|)的取值范围．2．(2022·湖南永州三模)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦距为2，点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，且直线PM，PN的倾斜角互补，求△OMN面积的最大值．3.已知点F1(－1,0)是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点，且椭圆C经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2))).过点F1作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，过点M作直线l：x＝－4的垂线，垂足为E.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求证：直线EN过定点，并求定点的坐标．4．(2022·河北秦皇岛二模)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，虚轴长为2eq \r(3)，离心率为eq \f(\r(6),2)，过F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．(1)求双曲线C的方程；(2)已知P(－2eq \r(3)，0)，若△ABP的外心Q的横坐标为0，求直线l的方程．5.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点F的直线交E于A，B两点，设E的准线与x轴的交点为K，当S△KAF＝2S△KBF时，S△KBF＝eq \r(2).(1)求抛物线E的标准方程；(2)若点N(3,0)，过点N的直线l与E交于P，Q两点，是否存在x轴上的定点M，使得|MP||NQ|＝|MQ||NP|恒成立？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．切入点(1)根据题意得到关于a，b，c的方程，进而可求出结果；(2)设直线l的方程为x＝my－8(m>0)，与椭圆联立，结合韦达定理证得点N在直线x＝－2上，从而可得出结论迁移点把几何量的关系∠ANC＝2∠AMC转化为数量关系反思点无论是条件还是结论，把几何关系数量化是解题的突破口切入点(1)利用待定系数法，根据椭圆的定义求出a，再求得b，即可求出椭圆方程．(2)由已知得D(0,1)，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系，结合AD⊥BD，求解m值障碍点把AD⊥BD转化为代数式求出直线方程中两个参数的关系式隐藏点参数m值应满足Δ＞0切入点(1)根据左、右顶点的定义，结合代入法、三角形面积公式进行求解即可；(2)设出直线l的方程与椭圆标准方程联立，结合一元二次方程根与系数关系、三角形面积公式进行求解即可障碍点把两个三角形面积的比转化为两点坐标绝对值的比切入点(1)由△MNF1的周长求出a，再由焦距求得c，进而求出b，即得椭圆C的方程；(2)设出直线l的方程联立椭圆方程求得y1＋y2，y1y2，表示出直线PN的方程求出Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))，由SMF1NQ＝eq \f(1,2)|y1－y2||F1Q|表示出面积，结合基本不等式求最大值即可障碍点分割四边形MF1NQ，把其面积转化为两个有公共边的三角形面积的和，进而利用公共边与点的纵坐标差的绝对值求解切入点(1)用待定系数法求出C的标准方程；(2)用设而不求法表示出Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k2,3＋4k2)，\f(－3k,3＋4k2)))，根据MN⊥PQ，得到m＝eq \f(k2,3＋4k2)，列表达式，求出k的取值范围障碍点寻求参数m与k的关系式反思点求最值或范围的问题，目标函数中含有两个变量，要利用条件消去其中一个切入点(1)根据给定条件可得椭圆C两焦点的坐标，利用椭圆定义求出椭圆的长轴长即可计算作答．(2)设出过点P(x0，y0)的直线方程，与椭圆C的方程联立，由判别式Δ＝0探求出x0，y0的关系即可推理作答隐藏点若存在定点B，使得eq \o(PA,\s\up7(―→))·eq \o(PB,\s\up7(―→))＝0，则动点P的轨迹为一个圆