新高考数学二轮复习强化讲与练专题07 导数与隐零点问题（讲）（2份打包，原卷版+解析版）

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真题体验 感悟高考
1．（2021·全国·高考真题（理））已知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）若曲线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 有且仅有两个交点，求a的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 上单调递增； SKIPIF 1 < 0 上单调递减；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；
（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 有且仅有两个交点等价转化为方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的实数根，即曲线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 有两个交点，利用导函数研究 SKIPIF 1 < 0 的单调性，并结合 SKIPIF 1 < 0 的正负，零点和极限值分析 SKIPIF 1 < 0 的图象，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，发现这正好是 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据 SKIPIF 1 < 0 的图象和单调性得到 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,
∴函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增； SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
（2）[方法一]【最优解】：分离参数
SKIPIF 1 < 0 ,设函数 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ,
在 SKIPIF 1 < 0 内 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递增；
在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递减；
SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 趋近于 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 趋近于0，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 有且仅有两个交点，即曲线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 有两个交点的充分必要条件是 SKIPIF 1 < 0 ,这即是 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
[方法二]：构造差函数
由 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 有且仅有两个交点知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有两个解，取对数得方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有两个解．
构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，求导数得 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，所以， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内最多只有一个零点，不符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有两个零点知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故 SKIPIF 1 < 0 的解为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
所以，实数a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
[方法三]分离法：一曲一直
曲线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有且仅有两个交点等价为 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有两个不相同的解．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以两边取对数得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，问题等价为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有且仅有两个交点．
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点，不符合题意．
②当 SKIPIF 1 < 0 时，取 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为同一直线时有 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率满足： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有且仅有两个交点．
记 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递增； SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递减； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时有 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述，实数a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
[方法四]：直接法
SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递减，不满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递减．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，两边取对数，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的解为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故实数a的范围为 SKIPIF 1 < 0 ．]
【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，
方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.
方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.
方法三：将问题取对，分成 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论．
方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.
2．（2019·全国·高考真题（文））已知函数f（x）=2sinx－xcsx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；
（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）求导得到导函数后，设为 SKIPIF 1 < 0 进行再次求导，可判断出当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，通过二次求导可判断出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；分别在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的情况下根据导函数的符号判断 SKIPIF 1 < 0 单调性，从而确定 SKIPIF 1 < 0 恒成立时 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 无零点，即 SKIPIF 1 < 0 无零点
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的唯一零点
综上所述： SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 存在唯一零点
（2）若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立
令 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 恒成立
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 不恒成立
④当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减 SKIPIF 1 < 0
可知 SKIPIF 1 < 0 不恒成立
综上所述： SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.
3．（2019·全国·高考真题（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线.
【答案】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上是单调增函数，证明见解析；
（2）证明见解析.
【分析】（1）对函数 SKIPIF 1 < 0 求导，结合定义域，判断函数的单调性；
（2）先求出曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线 SKIPIF 1 < 0 ，然后求出当曲线 SKIPIF 1 < 0 切线的斜率与 SKIPIF 1 < 0 斜率相等时，证明曲线 SKIPIF 1 < 0 切线 SKIPIF 1 < 0 在纵轴上的截距与 SKIPIF 1 < 0 在纵轴的截距相等即可.
【详解】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，因为函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上是单调增函数；
当 SKIPIF 1 < 0 ，时， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，显然当 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 有零点，而函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有唯一的零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 必有一零点，而函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调递增，故当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有唯一的零点
综上所述，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域 SKIPIF 1 < 0 内有2个零点；
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个零点，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，故曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，它在纵轴的截距为 SKIPIF 1 < 0 .
设曲线 SKIPIF 1 < 0 的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，过切点为 SKIPIF 1 < 0 切线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以在 SKIPIF 1 < 0 处的切线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，因此切线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当切线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 等于直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，
切线 SKIPIF 1 < 0 在纵轴的截距为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线 SKIPIF 1 < 0 重合，故曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线也是曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线.
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
1.高考对导数的考查要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
2.涉及导数与零点问题，主要有：函数零点个数的判断与证明、根据函数的零点个数或零点情况求参数的取值范围、与零点相关的不等式恒成立或证明问题等. 零点问题中另有一个比较重要的存在,就是隐零点问题，隐零点就是指一个函数 SKIPIF 1 < 0 ，可以判断它在某个区间上有一个零点，但是这个零点具体是什么却无法计算或根本不需要计算，只需利用他的存在去解答题目.
（二）本专题考向展示

考点突破 典例分析
考向一 利用“隐零点”研究极（最）值问题
【核心知识】
在利用导数研究极（最）值问题时，我们往往利用零点的存在性，对函数的零点设而不求，通过整体代换、构造函数等，再结合题目条件解决问题．
【典例分析】
典例1.【多选题】（2022·安徽·合肥一六八中学高三阶段练习）已知函数，若在区间上有零点，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】BCD
【分析】由函数在区间上有零点，则，结合函数可知点在直线，由可以表示原点到点的距离，问题进行转化，然后构造新函数进行分析求出的值的范围.
【详解】设在区间上零点为，则，
所以点在直线上，
由，其中О为坐标原点．
又，
记函数，，
因为，所以在上单调递增
所以最小值为，
所以，
故选：BCD.
典例2. （2022·江苏淮安·高三期中）已知函数
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)已知，求证：存在实数使得在处取得最大值，且
(3)求证：有唯一零点
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数可求得函数在某一点处的切线；
（2）整理函数解析式，求导，构造函数，利用其单调性以及零点存在性定理，可得导数的性质，结合导数求得最值，可得答案；
（3）函数求导，明确其单调性，结合零点存在性定理，可得答案.
【详解】（1）由，则，将代入，可得，切线斜率，
则，整理可得.
（2）由，，，
设，，在递增，
，，知有，
且在小于0，在大于0，在递增，在递减，
在处取最大值，.
（3），，在上单调递减，
，又，所以，，
，故，且唯一，
故函数有唯一零点.
【点睛】解决函数存在唯一零点，利用函数的导数研究其单调性，结合零点存在性定理，可得零点的唯一性，推广也可求得函数的零点的个数；当函数的导数时分式函数时，往往利用其分子构造成新函数，通过研究新函数的单调性和最值，可得导数与零的大小关系，可得原函数的单调性.
典例3.（2019·全国·高考真题（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导数．证明：
（1） SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 存在唯一极大值点；
（2） SKIPIF 1 < 0 有且仅有2个零点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，根据零点存在定理可判断出 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到导函数在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的唯一零点；当 SKIPIF 1 < 0 时，首先可判断出在 SKIPIF 1 < 0 上无零点，再利用零点存在定理得到 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性，可知 SKIPIF 1 < 0 ，不存在零点；当 SKIPIF 1 < 0 时，利用零点存在定理和 SKIPIF 1 < 0 单调性可判断出存在唯一一个零点；当 SKIPIF 1 < 0 ，可证得 SKIPIF 1 < 0 ；综合上述情况可证得结论.
【详解】（1）由题意知： SKIPIF 1 < 0 定义域为： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 唯一的极大值点
即： SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一的极大值点 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
①当 SKIPIF 1 < 0 时，由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的唯一零点
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，此时 SKIPIF 1 < 0 ，不存在零点
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，此时不存在零点
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 单调递减
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一零点
④当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不存在零点
综上所述： SKIPIF 1 < 0 有且仅有 SKIPIF 1 < 0 个零点
【规律方法】
零点问题求解三步曲
(1)用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的取值范围．
(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式．
(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．
考向二 利用“隐零点”确定参数取值范围
【核心知识】
利用零点存在性原理可以估算出隐零点的大小范围，然后再用隐零点的范围去估计所求函数（参数）的范围.
【典例分析】
典例4. （2022·河南南阳·高三期中（理））若方程 SKIPIF 1 < 0 存在唯一实根，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】方程 SKIPIF 1 < 0 存在唯一实根，则 SKIPIF 1 < 0 存在唯一实根，则函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 有唯一的交点，利用导数分析 SKIPIF 1 < 0 的单调性，并在同一坐标系中做出 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，即可求解
【详解】方程 SKIPIF 1 < 0 存在唯一实根，
则 SKIPIF 1 < 0 存在唯一实根，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，
注意到 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
又 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 的大致图象为：
由 SKIPIF 1 < 0 存在唯一实根，
则函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 有唯一的交点，
由图象可知 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时满足条件，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 存在唯一实根时，
实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
典例5.（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知．
(1)若在处的切线的斜率是，求当在恒成立时的的取值范围；
(2)设，当时有唯一零点，求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据导数的几何意义，求得参数；再利用导数求解在区间上的最小值，即可求得参数的范围；
（2）对参数分类讨论，当时，利用导数研究其单调性，即可判断零点个数；当时，根据，再证明，即可求得此时的零点个数，再结合题意进行取舍即可.
【详解】（1），则
令，则恒成立，
在上单调递增，当时，，即恒成立，
在上单调递增，
恒成立，
的取值范围是
（2），
①当时在上单调递增，，
存在使得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增
又，故存在唯一的使得，满足题意；
②当时，由可得，令，
则，当时，，故在上单调递增，
则，则在上恒成立，故在上无零点．
综上所述，a的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，以及利用导数处理恒成立问题和零点问题；其中第二问处理的关键是在当时，进行适度的放缩，属综合困难题.
典例6.（2022·甘肃·靖远县第四中学高三阶段练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极值点，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 恰有一个解，求a的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值，再利用导数求出函数的单调区间；
（2）求出函数的导函数 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用导数说明 SKIPIF 1 < 0 的单调性，由零点存在性定理可得存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 的单调性，从而求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值 SKIPIF 1 < 0 ，依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值，从而得解.
（1）
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极值点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，经检验符合题意，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
解：显然 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 恰有一个解，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ；
【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
【总结提升】
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
考向三 利用“隐零点”完成不等式恒成立或证明问题
【核心知识】
1.不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
2.含参数的不等式恒成立的处理方法：①的图象永远落在图象的上方；②构造函数法，一般构造，；③参变分离法，将不等式等价变形为，或，进而转化为求函数的最值.
3.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
【典例分析】
典例7. （2022·浙江省新昌中学高三期中）若存在 SKIPIF 1 < 0 使对于任意 SKIPIF 1 < 0 不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】变形为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知直线 SKIPIF 1 < 0 恒位于 SKIPIF 1 < 0 的图象上方， SKIPIF 1 < 0 的图象下方， SKIPIF 1 < 0 代表直线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距，当直线变化时观察 SKIPIF 1 < 0 取得小值时满足的条件.
【详解】
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数， SKIPIF 1 < 0 为减函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 时的图象如图所示.
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 为增函数，当 SKIPIF 1 < 0 为减函数，当 SKIPIF 1 < 0 时的图象如图所示.
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 恒位于 SKIPIF 1 < 0 的图象上方， SKIPIF 1 < 0 的图象下方，
SKIPIF 1 < 0 代表直线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过 SKIPIF 1 < 0
且与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切时， SKIPIF 1 < 0 最小.
设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
而当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 有唯一的零点1，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
【点睛】不等式恒成立求参数范围时常用的方法：
①完全分离参数，此法比较简单，分离后只需研究不含参函数的最值即可；
②半分离参数，将参数留在一个形式比较简单的函数中，如一次函数或二次函数，另一边的函数可以是稍微复杂一点的不含参函数，将不等式恒成立问题转化为两函数图象位置关系求解；
③不分离参数，含参讨论，常常比较复杂要用导数研究最值.
典例8.（2022·河北·高三期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)记函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，试求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 求出零点，即可得 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2） SKIPIF 1 < 0 恒成立，转化为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，令 SKIPIF 1 < 0 ，求导后，转化成两个函数的交点问题讨论函数单调性，即可求出实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】（1）解：由题意得函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
（2）解：若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可知两个函数均过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的切线，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不在定义域，不合题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
在区间 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
③当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
设零点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 矛盾；
综上所述，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
典例9.（2022·江苏常州·高三期中）已知函数，，．
(1)若在x＝0处的切线与在x＝1处的切线相同，求实数a的值；
(2)令，直线y＝m与函数的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为，，证明：．
【答案】(1)a＝1
(2)证明见解析
【分析】(1) 由于在x＝0处的切线与在x＝1处的切线相同，即可.
(2)本问题为极值点偏移问题，可转化为单变量的不等式证明，构造函数，利用导数证明即可.
【详解】（1），．，，1－a＝a－1，a＝1．
检验a＝1时两个函数切线方程都是y＝1．
（2），x＞0，令，则，
∴在递增，，，
因为函数连续不间断，所以存在唯一实数，
，，从而在递减，递增．
不妨设，则，
当时，．
当，则，，在递增，，
，
令，，
令，，
令，，
，，在递减，
因为，，，在递增，
，所以在递减，
所以，
即，即，
因为，，在递增，
所以，所以．综上可得，．
【点睛】导数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，转化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性，极（最）值问题处理.
典例10. （2022·河南·新安县第一高级中学高三开学考试（理））（1）证明不等式：（第一问必须用隐零点解决，否则不给分）；
（2）已知函数有两个零点.求a的取值范围.（第二问必须用分段讨论解决，否则不给分）
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据给定条件，构造函数，借助导数探讨函数最小值为正即可推理作答.
（2）求出函数的导数，利用导数分类讨论函数的单调性、零点情况作答.
【详解】（1）令函数，，求导得：，显然函数在上单调递增，
而，，则存在，使得，即，有，
当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
，
所以.
（2）函数定义域R，求导得，
当时，由得，，由得，，即函数在上递减，在上递增，
，而，即存在，使得，则函数在上有唯一零点，
取且，则，
即存在，使得，则函数在上有唯一零点，
因此当时，函数有两个零点，
当时，函数只有一个零点2，
当时，若，当或时，，当时，，
即有在上单调递增，在上单调递减，又，，
因此函数在上没有零点，在上最多一个零点，即函数最多一个零点，
若，恒有，即函数在R上单调递增，函数最多一个零点，
若，当或时，，当时，，
即有在上单调递增，在上单调递减，又，，当时，，
因此函数在上没有零点，在上最多一个零点，即函数最多一个零点，
综上得，当时，函数有两个零点，当时，函数最多一个零点，
所以a的取值范围是.
典例11.（2022·重庆·高三阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 有两个相异的实根 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)极小值 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值
(2)证明见解析
【分析】（1）通过二次求导确定 SKIPIF 1 < 0 的导函数有唯一零点，进而确定 SKIPIF 1 < 0 的单调区间以及极值；
（2）先将题中等式变形为 SKIPIF 1 < 0 ，通过构造函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同零点确定参数m的范围，再将方程 SKIPIF 1 < 0 的两相异实根 SKIPIF 1 < 0 代入，并令 SKIPIF 1 < 0 ，将原不等式中 SKIPIF 1 < 0 和m均替换为t表示，最后构造关于t的函数 SKIPIF 1 < 0 ，利用求导判断不等式成立即可.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极小值 SKIPIF 1 < 0 无极大值.
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 有两个相异实根，
即 SKIPIF 1 < 0 有两个相异实根，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 有两个相异实根 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，要证 SKIPIF 1 < 0 ，
只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以只需证 SKIPIF 1 < 0 .即证 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以只需证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 成立.
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题主要考查双变量问题，难度较大，解题关键在于通过实根建立方程，再借助换元将双变量转化为单变量，进而构造函数将恒成立问题转化为最值问题，求导确定单调性，使问题得到解决.
典例12.（2022·上海市进才中学高三阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 成立；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 恰有三个不同的根，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）常数分离法，转化为 SKIPIF 1 < 0 有解，用导数求 SKIPIF 1 < 0 的最小值即可；
（2）即证 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时恒成立，用导数求左边函数的最小值;
（3）确定 SKIPIF 1 < 0 是先减后增，要使 SKIPIF 1 < 0 有三根，要满足 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，可将 SKIPIF 1 < 0 表示为 SKIPIF 1 < 0 的函数，根据 SKIPIF 1 < 0 的范围，求得 SKIPIF 1 < 0 的范围.
【详解】（1）由题， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 有解
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 严格递增，
因而 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时严格增，
因而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时严格增，
因而 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 严格增， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
（3） SKIPIF 1 < 0 在定义域上递增
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
而当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 成立，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因而存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为减函数；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为增函数；
所以 SKIPIF 1 < 0 为极小值点. SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 不可能有三个根.
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
因而存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为减函数；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为增函数；
所以 SKIPIF 1 < 0 为极小值点. SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 不可能有三个根.
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在定义域上递增， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为减函数；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为增函数；
所以 SKIPIF 1 < 0 为极小值点.所以 SKIPIF 1 < 0 为最小值，此时 SKIPIF 1 < 0 不可能有三个根.
④当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为减函数；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为增函数；
所以 SKIPIF 1 < 0 为极小值点， SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 有三个根，得 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】利用导数研究方程根的过程中用的主要数学思想方法就是数形结合,即首先通过导数研究函数的性质，确定函数的单调性，极值，最值等，根据函数的性质画出函数的图象，然后根据函数的图像确定方程根的情况.方程的根的个数可以看成函数图象与x轴交点的个数，也可以转化为两个函数图象的交点个数问题.解决这类问题要注意分类讨论思想，数形结合思想的应用.
【规律方法】
1.不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.
2. 在解题过程中，必要时可作出函数图象，借助几何图形直观分析转化.通过围绕参数分类讨论不等式是否成立，不失为一种好的方法.