新高考数学二轮复习强化讲与练专题17 直线与圆及相关的最值问题（讲）（2份打包，原卷版+解析版）

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1．（2020·全国·统考高考真题）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2021·北京·统考高考真题）已知直线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数）与圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 变化时，若 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2，则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2020·全国·统考高考真题）若直线l与曲线y= SKIPIF 1 < 0 和x2+y2= SKIPIF 1 < 0 都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+ SKIPIF 1 < 0 C．y= SKIPIF 1 < 0 x+1D．y= SKIPIF 1 < 0 x+ SKIPIF 1 < 0
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
（1）直线、圆的方程及位置关系问题，多以选择题或填空题的形式呈现，此类试题难度中等偏下.有时也会出现在压轴题的位置，难度较大.
（2）和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，中低难度.
（3）和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．
（二）本专题考向展示

考点突破 典例分析
考向一 求直线方程
【核心知识】
直线方程的几种形式：
两直线平行、垂直的条件：
【典例分析】
典例1.（2020·山东·统考高考真题）直线 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称的直线方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
典例2.（2022·全国·统考高考真题）写出与圆 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都相切的一条直线的方程________________．
【规律方法】
解决直线方程问题的注意点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用 SKIPIF 1 < 0 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程即不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．
(4)直线与圆相切时,利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，一般求切线方程时主要选择点斜式．
考向二 求圆的方程
【核心知识】
圆的标准方程：
圆的一般方程：
【典例分析】
典例3.（2023·全国·模拟预测）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，写出一个半径为 SKIPIF 1 < 0 ，且与圆 SKIPIF 1 < 0 及直线都相切的圆的方程：______．
典例4.（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均在 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为______________．
典例5.（2022·全国·统考高考真题）过四点 SKIPIF 1 < 0 中的三点的一个圆的方程为____________．
【总结提升】
求圆的方程一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
考向三 直线、圆的距离问题
【核心知识】
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 不同时为零)的距离 SKIPIF 1 < 0 .
【典例分析】
典例6.（2023秋·江西赣州·高三统考期末）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最大值为（ ）．
A．3B．4C．5D．6
典例7.（2023·四川绵阳·统考二模）已知 SKIPIF 1 < 0 ，点A为直线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线与 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．4
典例8.【多选题】（2021·全国·统考高考真题）已知点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离小于 SKIPIF 1 < 0
B．点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离大于 SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 最小时， SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 最大时， SKIPIF 1 < 0
典例9.（2023·重庆·统考一模）已知圆： SKIPIF 1 < 0 上恰有3个点到直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的距离等于2，则 SKIPIF 1 < 0 的值为_________．
【规律方法】
（1）求点到直线的距离时，应先将直线方程化为一般式.
（2）求两平行线之间的距离时，应先将两直线方程化为一般式且 SKIPIF 1 < 0 的系数对应相等.
（3）求曲线上任意一点到已知直线的最小距离时，要利用数形结合和转化与化归的思想解题.
考向四 直线与圆、圆与圆位置关系判断
【核心知识】
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法
(1)点线距离法．
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组 SKIPIF 1 < 0
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ0.
2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．
【典例分析】
典例10.【多选题】（2021·全国·统考高考真题）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
典例11.【多选题】（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 必过定点B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 可能相切D．直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 不可能相离
典例12.（2022·全国·统考高考真题）设点 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称的直线与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点，则a的取值范围是________．
【总结提升】
判断直线与圆的位置关系主要通过比较圆心到直线的距离和半径的大小，两个圆的位置关系的判断依据是两个圆的圆心距与两个圆的半径差的绝对值或和的大小关系.
过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．
考向五 直线与圆、圆与圆弦长问题
【核心知识】
半径、弦心距、弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 为弦长， SKIPIF 1 < 0 为圆的半径, SKIPIF 1 < 0 为圆心到弦的距离).
【典例分析】
典例13.【多选题】（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）过圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 内一点 SKIPIF 1 < 0 作两条互相垂直的弦 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到四边形 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为4
B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
C．四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为16
D． SKIPIF 1 < 0 为定值
典例14.（2023秋·天津河西·高三校考期末）若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若弦长 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为______.
典例15. （2023·安徽淮南·统考一模）已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于A，B两点，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为______； SKIPIF 1 < 0 的面积为______.
【总结提升】
求解圆的弦长的方法
1.几何法:根据半径、弦心距、弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 为弦长， SKIPIF 1 < 0 为圆的半径, SKIPIF 1 < 0 为圆心到弦的距离).
2.公式法:根据公式 SKIPIF 1 < 0 求解(其中 SKIPIF 1 < 0 为 弦长 SKIPIF 1 < 0 直线与圆相交所得两个交点的横坐标， SKIPIF 1 < 0 为直线的斜率).
3.距离法:联立直线与圆的方程，解方程组先求出两交点坐标，再利用两点间的距离公式求解.
考向六 直线、圆与圆锥曲线
【核心知识】
圆锥曲线方程及其几何性质
【典例分析】
典例16.（2023·全国·高三对口高考）设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点，与直线 SKIPIF 1 < 0 相切的圆 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切的切点，则椭圆焦距与长轴长之比为________．
典例17.（2022·全国·统考高考真题）若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
典例18.（2021·全国·高考真题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： SKIPIF 1 < 0 交C于P，Q两点，且 SKIPIF 1 < 0 ．已知点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与l相切．
（1）求C， SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 是C上的三个点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均与 SKIPIF 1 < 0 相切．判断直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系，并说明理由．
考向七 隐圆问题
【核心知识】
1.在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中的，要通过分析、转化发现圆(或圆的方程)，从而利用圆的知识来求解，称这类问题为隐圆问题.
2.发现隐圆的方法
（1）利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆.
（2）在平面上给定相异的两点 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 在 同一平面上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是一个圆，这个圆我们称为阿波罗尼斯圆.
（3）两定点 SKIPIF 1 < 0 与动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，确定隐圆.
（4）两定点 SKIPIF 1 < 0 与动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 是定值，确定隐圆.
【典例分析】
典例19.（2020·全国·统考高考真题）已知⊙M： SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作⊙M的切线 SKIPIF 1 < 0 ，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 最小时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
典例20.（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ，点P满足 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，当点P到直线l的距离最大时，此时m的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
典例21.（2023秋·河北石家庄·高三统考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ，B在直线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，动点M满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________.