新高考数学二轮复习强化讲与练专题19 解析几何中的定值、定点和定线问题（讲）（2份打包，原卷版+解析版）

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真题体验 感悟高考
1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 SKIPIF 1 < 0 两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足 SKIPIF 1 < 0 ．证明：直线HN过定点．
2．（2020·山东·统考高考真题）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程：
（2）点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为垂足．证明：存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值．
3.（2020·全国·统考高考真题）已知A、B分别为椭圆E： SKIPIF 1 < 0 （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， SKIPIF 1 < 0 ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，选择题、填空题、解答题三种题型均有，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查抛物线、双曲线的几何性质；四是考查直线与圆锥曲线（椭圆、抛物线较多）位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等.
近几年，小题多用于考查抛物线、双曲线的定义、标准方程、几何性质等，命题角度呈现较强的灵活性；解答题主要考查直线与椭圆的位置关系，涉及三角形面积、参数范围、最值、定值、定点、定直线等问题，命题方向多变，难度基本稳定.近两年，直线与与双曲线的位置关系的主观题连续出现！
（二）本专题考向展示

考点突破 典例分析
考向一 定点问题
【核心知识】
动线过定点问题的两大类型及解法
(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．
(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
【典例分析】
典例1. （2022秋·上海宝山·高三统考期末）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，四点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中恰有三点在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若斜率存在且不为0的直线 SKIPIF 1 < 0 经过C的右焦点F，且与C交于A、B两点，设A关于x轴的对称点为D，证明：直线BD过x轴上的定点.
典例2.（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为F，P，Q分别为右顶点和上顶点，O为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 （e为椭圆的离心率）， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求E的方程；
(2)设四边形 SKIPIF 1 < 0 是椭圆E的内接四边形，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角互补，且交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于定点．
典例3.（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 有两个不同交点 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 斜率的取值范围；
(2)证明：存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
【规律方法】
解答直线和曲线过定点问题的基本思路:
（1）把直线或曲线方程中的变量 SKIPIF 1 < 0 当作常数看待，把方程一端化为零.既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 SKIPIF 1 < 0 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.
（2）由直线方程确定定点，若得到了直线的点斜式方程: SKIPIF 1 < 0 ，则直线必过定点 SKIPIF 1 < 0 ，若得到了直线的斜截式方程: SKIPIF 1 < 0 ，则直线必过定点 SKIPIF 1 < 0 .
考向二 定值问题
【核心知识】
定值问题常见解法：
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关.
（2）直接推理、计算，并在推理计算的过程中消去变量，从而得到定值.
【典例分析】
典例4.（2023秋·河南开封·高三统考期末）已知O为坐标原点，M是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，点N满足 SKIPIF 1 < 0 ，设点N的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
(2)若点A，B，C，D在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点P，点P在 SKIPIF 1 < 0 上．证明： SKIPIF 1 < 0 的面积为定值．
典例5.（2023·浙江·校联考模拟预测）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若点M，N在双曲线C上，且 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 不与y轴平行，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 为定值.
典例6.（2023秋·山东烟台·高三统考期末）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的任意一点，满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 且斜率不为0的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在一定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值？若存在，求定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标和相应的定值；若不存在，说明理由.
【总结提升】
解答定值问题的两大途径
(1)由特例得出一个值(此值一般就是定值)→证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关．
(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．
考向三 定线问题
【核心知识】
定线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．
【典例分析】
典例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，过抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D．
(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上．
典例8.（2022秋·江苏徐州·高三期末）已知双曲线E的中心在坐标原点，对称轴为x轴、y轴，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求E的方程；
(2)过平面上一点M分别作E的两条渐近线的平行线，分别交E于P、Q两点，若直线PQ的斜率为2，证明：点M在定直线上．
典例9.（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且双曲线C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)如图，若直线l与双曲线C的两支分别于A，B两点，直线l与两渐近线分别交于M，N两点，是否存在直线l使得坐标原点O在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上且满足 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
典例10.（2022秋·广东广州·高三统考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)已知点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上异于顶点 SKIPIF 1 < 0 的任意点，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点在某定曲线上．
【总结提升】
1.公共弦方程的确定，往往利用“点差法”；
2.研究点在定直线上问题，可以选定参数，确定含参数直线方程.