新高考数学二轮复习强化讲与练专题20 解析几何中的范围、最值和探索性问题（练）（2份打包，原卷版+解析版）

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【对点演练】
一、单选题
1．（2023秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）在平面直角坐标系xOv中，M为双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上的一个动点，若点M到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．2 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】先求出渐近线方程，利用平行线直接的距离公式即可求解.
【详解】由点M到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离大于m恒成立，可得点M到直线 SKIPIF 1 < 0 的最近距离大于m.因为双曲线的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 即为最近距离，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知点P在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）．
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．3D．4
【答案】A
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，利用两点间的距离公式结合二次函数的性质求解即可
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2，
故选：A
3．（2023秋·河南信阳·高三信阳高中校考期末）已知点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，则点 SKIPIF 1 < 0 到抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线和直线 SKIPIF 1 < 0 的距离之和的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C． SKIPIF 1 < 0 D．5
【答案】C
【分析】点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，到准线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，利用抛物线的定义得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 共线时，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 和准线 SKIPIF 1 < 0 的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案．
【详解】解：由抛物线 SKIPIF 1 < 0 知，焦点 SKIPIF 1 < 0 ，
准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意作图如下；
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ；
由抛物线的定义知： SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 和准线 SKIPIF 1 < 0 的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
且点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 和准线 SKIPIF 1 < 0 的距离之和最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，若抛物线 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据题意可以求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用两点间的距离公式表示出 SKIPIF 1 < 0 ，整理得到关于 SKIPIF 1 < 0 的一个一元二次方程，利用根的判别式列出关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式，解不等式即可
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 有非负实根
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
故选：A
二、填空题
5．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是其左、右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上且满足 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则问题转化为求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，即右焦点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，即可得解.
【详解】解：在 SKIPIF 1 < 0 中由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，要求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，即求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 垂直直线 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
6.（2022秋·安徽·高三校联考开学考试）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 在同一象限，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_____．
【答案】12
【分析】设直线 SKIPIF 1 < 0 ，联立抛物线方程可得到 SKIPIF 1 < 0 ，利用焦半径公式化简 SKIPIF 1 < 0 ，结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 为圆心以3为半径，
由题意可知直线l不与y轴垂直，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为12，
故答案为：12
7．（2022·湖南·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ，点P满足 SKIPIF 1 < 0 ，动点M，N满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是____________．
【答案】3
【分析】以 SKIPIF 1 < 0 的中点O为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，由双曲线定义得点P的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为焦点，实轴长为6的双曲线的左支，然后根据双曲线的性质，数量积的运算律求解．
【详解】以 SKIPIF 1 < 0 的中点O为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线定义可知，点P的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为焦点，实轴长为6的双曲线的左支，即点P的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值是3．
故答案为：3.
三、解答题
8．（2023·四川成都·统考一模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形．经过焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 的周长为8．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值及此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)最大值3，此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，得到 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆定义得到 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到椭圆方程；
（2）推理出直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不为0，设出直线 SKIPIF 1 < 0 ，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，表达出 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，换元后结合基本不等式求出最大值及此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不为0．
设直线 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值3，此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
9．（2023·陕西渭南·统考一模）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）
步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点到圆心的距离为4，按上述方法折纸.
(1)以点、所在的直线为轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；
(2)若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线，斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在点，使得直线与斜率之积为定值.
【分析】（1）根据椭圆的定义对照折纸的方法求出 ；
（2）设直线l的方程，与椭圆方程联立，再根据斜率的定义求解即可.
【详解】（1）如图，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系
设为椭圆上一点，由题意可知，，
所以点轨迹是以，为焦点，长轴长 的椭圆，
因为，，所以，，
则，所以椭圆的标准方程为；
（2）
由已知：直线过，设的方程为，由题意m必定是存在的，
联立两个方程得 ，消去得，
得，
设，，则，（*），
，
将（*）代入上式，可得上式，
要使为定值，则有， ，
又∵，∴，此时，
∴存在点，使得直线与斜率之积为定值；
综上，椭圆的标准方程为，存在点，使得直线与斜率之积为定值.
10．（江西省上饶市六校2023届高三第一次联考数学（理）试题）已知点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且长轴长为4.
(1)求椭圆C的方程：
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 .求 SKIPIF 1 < 0 的面积的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由长轴长为4得 SKIPIF 1 < 0 ，再将 SKIPIF 1 < 0 代入解方程可得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 两点坐标表示出直线 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 利用直线方程和韦达定理化简得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，结合函数知识易得面积的取值范围.
【详解】（1）因为长轴长为4，所以 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入解方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）易知直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在且不为0，
设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
化简得 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0
代回得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
【冲刺提升】
一、单选题
1．（2022秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在同一象限，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．8B．12C．16D．20
【答案】B
【分析】确定抛物线焦点坐标和圆的圆心以及半径，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用抛物线的焦半径公式结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由已知 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．显然，直线 SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直．
圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ,半径为3,
设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ．联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为12，
故选：B
二、多选题
2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一动点，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则下列说法正确的有（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 的面积取最大值时的直线 SKIPIF 1 < 0 不唯一，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【分析】若 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线过点 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用焦半径公式可求得 SKIPIF 1 < 0 点坐标，即可算出 SKIPIF 1 < 0 ，可判断A错误；利用椭圆定义和三角形两边之和与差的关系可知当 SKIPIF 1 < 0 四点共线时取到最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，即B正确；设出直线方程与椭圆方程联立，写出 SKIPIF 1 < 0 的面积表达式，再根据基本不等式即可得出面积最大值，可判断C；若 SKIPIF 1 < 0 的面积取最大值时的直线 SKIPIF 1 < 0 不唯一，可知 SKIPIF 1 < 0 面积取最大值时 SKIPIF 1 < 0 的取值不唯一，利用基本不等式可得出 SKIPIF 1 < 0 ，进而确定 SKIPIF 1 < 0 的取值范围即可判断D.
【详解】由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，椭圆离心率 SKIPIF 1 < 0
对于A，若 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，由焦半径公式可知， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以A错误；
对于B，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可知， SKIPIF 1 < 0 三点共线，如下图所示：
利用椭圆定义可知， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 四点共线时等号成立；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以B正确；
对于C，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 即为右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以C正确；
对于D，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
联立直线和椭圆方程整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
此时 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 的面积取最大值时的直线 SKIPIF 1 < 0 不唯一，所以 SKIPIF 1 < 0 取最大值时，满足题意得 SKIPIF 1 < 0 不止一个，即 SKIPIF 1 < 0 等号成立
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 成立
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，直线唯一不合题意，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即D正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中三角形面积问题时，首先利用弦长公式或分割三角形写出面积表达式，再合理变形利用基本不等式或导数求得面积最值，利用基本不等式时要注意等号成立的条件，即可将问题得到解决.
三、填空题
3．（2022·全国·高三专题练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，过 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线交于 SKIPIF 1 < 0 两点，以 SKIPIF 1 < 0 为切点作两条切线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值为___________.
【答案】4
【分析】设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线方程，得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系写出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再利用导数的几何意义求出两条切线的斜率和方程，联立两切线方程求出 SKIPIF 1 < 0 ，利用平面向量的数量积为0判定 SKIPIF 1 < 0 ，再利用三角形的面积公式进行求解.
【详解】由题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
方程为 SKIPIF 1 < 0 ；联立 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号）
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值为4.
故答案为：4.
4．（2023秋·山东德州·高三统考期末）如图所示，已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线的右支交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______；记 SKIPIF 1 < 0 的内切圆 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的内切圆 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】分析可知直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴不重合，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程与双曲线的方程联立，利用韦达定理结合已知条件求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，可求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；设圆 SKIPIF 1 < 0 切 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，分析可知直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，推导出圆 SKIPIF 1 < 0 、圆 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用双勾函数的单调性可求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，
在双曲线 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故点 SKIPIF 1 < 0 ，
若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴重合，则直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线交于该双曲线的两个实轴的端点，不合乎题意，
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴不重合，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 轴，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，则 SKIPIF 1 < 0 ；
设圆 SKIPIF 1 < 0 切 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线的右支交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，可知直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
由切线长定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
故点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标也为 SKIPIF 1 < 0 ，同理可知点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 轴，
故圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 均与 SKIPIF 1 < 0 轴相切于 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 两圆外切.
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增.
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
5．（2022秋·湖南株洲·高三校联考阶段练习）已知抛物线E： SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，与准线交于C点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____________；设点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 点，在 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为_____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##1.5 SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)根据三角形中位线定理即可求解；
(2)根据抛物线的定义 SKIPIF 1 < 0 取最大值即 SKIPIF 1 < 0 最小，此时直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 相切，利用导数即可求解.
【详解】过点 SKIPIF 1 < 0 作准线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作准线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
则可得 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 取到最大值即 SKIPIF 1 < 0 最小，此时直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 相切，
，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，切线方程为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，切线过 SKIPIF 1 < 0 ，代入得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
四、解答题
4．（2023·贵州·校联考一模）已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线与椭圆交于不同的两点P，Q，那么在x轴上是否存在点M，使且，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)详见解析
【分析】（1）根据条件得到关于的方程组，即可求得椭圆方程；
（2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示线段中点坐标，再根据,以及，转化为坐标表示，代入韦达定理后，即可求
【详解】（1）由条件可知，，解得：，，
所以椭圆C的方程是；
（2）假设在轴上存在点，使且，
联立，设，，
方程整理为，
，解得：或，
，，
则线段的中点的横坐标是，中点纵坐标，
即中点坐标，，
则，即，化简为，①
又,
则，，
整理为，
，
化简为②
由①得，即，代入②得，整理得③，又由①得，代入③得，即，整理得，即.
当时，，当时，，满足，
所以存在定点,此时直线方程是，当定点,此时直线方程是.
5．（2023·福建·统考一模）已知椭圆的离心率为，其左焦点为．
(1)求的方程；
(2)如图，过的上顶点作动圆的切线分别交于两点，是否存在圆使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据待定系数法求椭圆标准方程即可；（2）假设存在圆满足题意，当圆过原点时，直线与轴重合，直线的斜率为0，不合题意；不妨设为：，：，，，圆的半径为，得圆心到直线的距离为，得，联立直线与椭圆方程得，进而得，由得，即可解决.
【详解】（1）由题意设焦距为，则，
由离心率为，所以，
则，
的方程为．
（2）不存在，
证明如下：假设存在圆满足题意，当圆过原点时，直线与轴重合，
直线的斜率为0，不合题意．
依题意不妨设为：，
：，，，圆的半径为，
则圆心到直线的距离为，
即是关于的方程的两异根，
此时，
再联立直线与椭圆方程得，
所以，即，得
所以，同理
由，得，
由题意，，即，此时
，
所以，
因为，
所以方程无解，命题得证．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为F，过点的直线与相交于A，B两点.当直线经过点时，点A恰好为线段PF的中点.
(1)求的方程；
(2)是否存在定点T，使得为常数?若存在，求出点T的坐标及该常数﹔若不存在，说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，，.
【分析】（1）根据中点坐标公式求出点的坐标，代入抛物线方程即可得出的值；
（2）假设存在，设，.联立直线与抛物线的方程，得到，根据韦达定理求出，.进而整理得到，解，得出，即可得出定点坐标以及常数的值.
【详解】（1）解：因为，，且点A恰好为线段PF中点，所以，
又因为A在C上，所以，即，
解得，所以C的方程为.
（2）解：存在定点，使得.
假设存在定点T，使得为常数.
设，由题意可知直线斜率存在.
设直线的斜率为，则的方程为，设，.
联立直线的方程以及抛物线的方程，可得.
，所以且.
由韦达定理可得，.
又，，
，.
所以
.
由可得，.
所以存在定点，使得为常数，此时.
7．（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 满足直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程，并说明 SKIPIF 1 < 0 是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交C于A，B两点，点A在第一象限， SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 .
（i）证明：直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为定值；
（ii）求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是一个长轴长为6，短轴长为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的椭圆
(2)（i）证明见解析（ii） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）直接利用斜率公式即可求解；
（2）（i）设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，根据坐标之间的联系，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 联立消 SKIPIF 1 < 0 ，运用韦达定理求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再利用斜率公式求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后代入 SKIPIF 1 < 0 化简即可证明；
（ii）将点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）依题知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 是一个长轴长为6，短轴长为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的椭圆.
（2）（i）如图所示：
设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 两点关于原点中心对称，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消 SKIPIF 1 < 0 整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为定值，其值为： SKIPIF 1 < 0 .
（ii）由（i）知， SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．（3）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
8．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆右焦点 SKIPIF 1 < 0 作两条互相垂直的弦AB与CD，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）根据题意，由离心率可得 SKIPIF 1 < 0 的关系，再将点的坐标代入即可得到椭圆方程；
（2）根据题意，先讨论两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，再讨论两条弦斜率均存在且不为0，此时设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立椭圆与直线 SKIPIF 1 < 0 方程，结合韦达定理与弦长公式分别表示出弦长 SKIPIF 1 < 0 与弦长 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到结果.
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入，得 SKIPIF 1 < 0 .
故椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
易得其中一条弦为长轴 SKIPIF 1 < 0 ，另一条弦长为椭圆的通径为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
②当两条弦斜率均存在且不为0时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程代入椭圆方程中，并整理得：
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
同理， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
综合②可知， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
9．（2023·安徽淮南·统考一模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为F，C上任意一点M到F的距离最大值和最小值之积为3，离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求C的方程；
(2)若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l交C于A，B两点，且点A关于x轴的对称点落在直线 SKIPIF 1 < 0 上，求n的值及 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）由已知 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .根据已知得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据离心率值即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .联立直线与椭圆方程，根据 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 .根据韦达定理求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .根据坐标表示出弦长 SKIPIF 1 < 0 以及点 SKIPIF 1 < 0 到直线l的距离 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出
SKIPIF 1 < 0 .进而根据基本不等式，结合 SKIPIF 1 < 0 的范围换元即可求出面积的最小值.
【详解】（1）解：由题意可得，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又椭圆C的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
化简整理得 SKIPIF 1 < 0 ①.
设直线 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线与椭圆方程 SKIPIF 1 < 0
化简整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ②，
由韦达定理，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ③，
将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入①，
可得 SKIPIF 1 < 0 ④，
再将③代入④，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
且由②可得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由点 SKIPIF 1 < 0 到直线l的距离 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 面积S最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
11．（2023秋·河北石家庄·高三石家庄精英中学校考阶段练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上，右焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线E的方程；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在双曲线E上，满足 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，求 SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入椭圆方程，再利用 SKIPIF 1 < 0 即可求解；
(2) 不妨设等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 的定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 逆时针排列， SKIPIF 1 < 0 为直角顶点.且在第三象限.将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程分别与曲线方程联立，利用韦达定理将 SKIPIF 1 < 0 的面积用 SKIPIF 1 < 0 表示出来，令 SKIPIF 1 < 0 ，则面积可表示为 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用导数求出面积的最小值即可.
【详解】（1）因为点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入双曲线方程可得： SKIPIF 1 < 0 ①，又因为双曲线的右焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，将其代入①式，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线E的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）不妨设等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 的定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 逆时针排列， SKIPIF 1 < 0 为直角顶点.且在第三象限.
若直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在，易知不符合题意.
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 不妨设 SKIPIF 1 < 0 ）.
则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
与双曲线的方程联立得 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 .
于是 SKIPIF 1 < 0 .
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
再次联立得 SKIPIF 1 < 0 ，解得， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
所以当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
11．（2022秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）如图，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与等轴双曲线 SKIPIF 1 < 0 共顶点 SKIPIF 1 < 0 ，过椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点P（2，－1）作两直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于相异的两点A，B，直线PA、PB的倾斜角互补，直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N.
(1)求直线AB的斜率；
(2)若直线AB与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左，右两支分别交于Q，R，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)先求出椭圆方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求解 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 坐标，直接计算直线 SKIPIF 1 < 0 斜率即可.
(2)联立直线与双曲线的方程，利用求根公式表示出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标，化简 SKIPIF 1 < 0 的表达式，整理求出 SKIPIF 1 < 0 的
取值范围即可得出结果.
【详解】（1）由题椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，顶点 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，又因为点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，
即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设等轴双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意等轴双曲线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线PA、PB的倾斜角互补，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是不同的点，所以直线PA、PB都必须有斜率，设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为
SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 点横坐标即为方程两个根，可得
SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，代入直线 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即
SKIPIF 1 < 0 ，又因为直线PA、PB的倾斜角互补，将 SKIPIF 1 < 0 换成 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
两点求斜率可得出 SKIPIF 1 < 0
所以直线AB的斜率为 SKIPIF 1 < 0
（2）由(1)可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程： SKIPIF 1 < 0 ，又因为直线AB与x，y轴正半轴相交，则 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组
SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
联立直线 SKIPIF 1 < 0 和双曲线方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
利用求根公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
12．（2021·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）如图，椭圆 SKIPIF 1 < 0 、双曲线 SKIPIF 1 < 0 中心为坐标原点 SKIPIF 1 < 0 ，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，且有相同的顶点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恰为线段 SKIPIF 1 < 0 的六等分点，我们把 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 合成为曲线 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 的长轴长为4.
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一动点， SKIPIF 1 < 0 为定点，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(3)若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 位于同一象限，且直线 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
(3)直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）设出椭圆和双曲线的方程，由已知求得待定系数，得到所求方程；
（2）分 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上两种情况讨论， SKIPIF 1 < 0 的最小值；
（3）设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线与曲线联立方程组，求出点的坐标，利用 SKIPIF 1 < 0 解出 SKIPIF 1 < 0 可得直线方程.
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此曲线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的动点，显然当 SKIPIF 1 < 0 为椭圆的上顶点 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最短，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的动点，以 SKIPIF 1 < 0 为圆心 SKIPIF 1 < 0 为半径作圆，当圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切时，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 最小，且 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 圆与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一动点， SKIPIF 1 < 0 为定点， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
（3）设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由对称性可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由(1)知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 坐标代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方化简得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ..