新高考数学二轮复习强化讲与练专题20 解析几何中的范围、最值和探索性问题（讲）（2份打包，原卷版+解析版）

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1．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ．设A，B是椭圆上异于 SKIPIF 1 < 0 的两点，且点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，直线 SKIPIF 1 < 0 分别交直线 SKIPIF 1 < 0 于C，D两点．
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
2.（2021·北京·统考高考真题）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 一个顶 点 SKIPIF 1 < 0 ，以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的四个顶点为顶点的四边形面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
3.（2021·全国·高考真题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： SKIPIF 1 < 0 交C于P，Q两点，且 SKIPIF 1 < 0 ．已知点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与l相切．
（1）求C， SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 是C上的三个点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均与 SKIPIF 1 < 0 相切．判断直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系，并说明理由．
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，选择题、填空题、解答题三种题型均有，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查抛物线、双曲线的几何性质；四是考查直线与圆锥曲线（椭圆、抛物线较多）位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等.
近几年，小题多用于考查抛物线、双曲线的定义、标准方程、几何性质等，命题角度呈现较强的灵活性；解答题主要考查直线与椭圆的位置关系，涉及三角形面积、参数范围、最值、定值、定点、定直线等问题，命题方向多变，难度基本稳定.近两年，直线与与双曲线的位置关系的主观题连续出现！
（二）本专题考向展示

考点突破 典例分析
考向一 范围、最值问题
【核心知识】
1.几何法:通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解.
2.代数法:把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数解析式，然后利用函数方法、不等式方
法等进行求解.或合理构建函数关系式后，用换元法，求导法，配方法等求最值.
【典例分析】
典例1.（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 上点的距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两条切线， SKIPIF 1 < 0 是切点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
典例2.（2023春·广东清远·高三校联考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称的点为 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 的外心为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
典例3.（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知椭圆C: SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,且过 SKIPIF 1 < 0
(1)求C的方程.
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上不与 SKIPIF 1 < 0 重合的两点, SKIPIF 1 < 0 为原点,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
①求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率;
②与 SKIPIF 1 < 0 平行的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
典例4. （2020·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，点A是椭圆 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的交点，过点A的直线l交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于点B，交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若 SKIPIF 1 < 0 ，求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
典例5. （2023春·云南·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，动直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点， SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ．设D为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 分别相切于点E，F，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【规律方法】
1.最值问题的常见方法
(1)利用判别式来构造不等关系．
(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系．
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式．
(4)利用基本不等式．
2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
考向二 探索性问题
【核心知识】
1.圆锥曲线中探索问题的求解策略
（1）此类问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．
（2）求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
2.存在性问题常用方法：
法1：特值探路；
法2：假设存在..
【典例分析】
典例6.（2022·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）在平面直角坐标系中，已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 .过原点 SKIPIF 1 < 0 作两条互相垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点和 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴同侧.
(1)求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的两渐近线分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点，是否存在直线 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的三等分点？若存在，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，请说明理由.
典例7.（2020·山东·统考高考真题）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程：
（2）点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为垂足．证明：存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值．
典例8.（2020秋·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点.
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)当实数 SKIPIF 1 < 0 为何值时，对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 ?指出 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)已知点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 变化时，动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求动点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标的变化范围.
典例9.（2022春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）已知圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与直线 SKIPIF 1 < 0 相切．
(1)求圆心 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2) SKIPIF 1 < 0 为轨迹 SKIPIF 1 < 0 上的动点， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(3)过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 交轨迹 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ．问 SKIPIF 1 < 0 是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．
典例10.（2023秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为坐标原点，是椭圆上不同的三点，并且为的重心，试探究的面积是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，说明理由.
【总结提升】
探索性问题的求解策略
(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律．
(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论．