新高考数学二轮复习专题四 立体几何第二讲 立体几何解答题 (2份打包，原卷版+解析版）

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突破一：异面直线夹角的向量求法
突破二：已知线线角求其它量
突破三：线面角的向量求法
突破四：已知线面角求其它量
突破五：面面角向量求法
突破六：已知面面角求其它量
突破七：点到平面距离
突破八：空间角的最值问题
第二部分：冲刺重难点特训
第一部分：重难点题型突破
突破一：异面直线夹角的向量求法
1．（2022·广东惠州·高二阶段练习）如图所示，三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，N是AB中点．
(1)若点M是棱 SKIPIF 1 < 0 所在直线上的点，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求异面直线CB与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值．
2．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）如图，正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2, SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)求证：点 SKIPIF 1 < 0 四点共面；
(2)求异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角.
3．（2022·上海·高二专题练习）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 是底面为正方形的长方体， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
(1)求证：直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值．
4．（2022·福建泉州·高二期中）如图，在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中，以顶点 SKIPIF 1 < 0 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点.若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求对角线 SKIPIF 1 < 0 的长；
(3)求异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.
5．（2022·辽宁·大连市第三十六中学高二期中）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，底面四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)证明：直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值；
突破二：已知线线角求其它量
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四中学校高二阶段练习）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，且 SKIPIF 1 < 0 ，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱 SKIPIF 1 < 0 上的点．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)在棱A1B1上是否存在一点M，使得异面直线MF与AC所成的角为30°？ 若存在，指出M的位置；若不存在，说明理由．
2．（2022·广东·广州市协和中学高二阶段练习）如图，空间直角坐标系中，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形，底面OABC在xOy平面内，且抛物线Q： SKIPIF 1 < 0 经过O、A、C三点．点B在y轴正半轴上， SKIPIF 1 < 0 平面OABC，侧棱OP与底面所成角为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求m的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是抛物线Q上的动点，M是棱OP上的一个定点，它到平面OABC的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，写出M、N两点之间的距离 SKIPIF 1 < 0 ，并求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(3)是否存在一个实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时，异面直线MN与OB互相垂直？请说明理由．
3．（2022·上海奉贤区致远高级中学高二期中）如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC= SKIPIF 1 < 0 ，BC=4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图2．
(1)求证：A1O⊥BD；
(2)求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；
(3)线段A1C上是否存在点F，使得直线DF和BC所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ?若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，说明理由．
4．（2022·辽宁·建平县实验中学高二期中）如图①，平面四边形 SKIPIF 1 < 0 由直角梯形 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 组成， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .如图②，沿着直线 SKIPIF 1 < 0 将直角梯形 SKIPIF 1 < 0 折起至点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 重合，点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 重合，使得二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的长度；若不存在，请说明理由.
5．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知正方形 SKIPIF 1 < 0 和矩形 SKIPIF 1 < 0 所在平面互相垂直， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)试在线段 SKIPIF 1 < 0 上确定一点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角是60°.
6．（2022·湖北武汉·高二阶段练习）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上的点，满足异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长.
突破三：线面角的向量求法
1．（2022·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高二阶段练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形， SKIPIF 1 < 0 ，E，F分别是AD，PB的中点．
(1)证明：EF SKIPIF 1 < 0 平面PCD；
(2)求直线PA与平面CEF所成角的度数．
2．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为2，点 SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 的中点，沿着 SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 ，折起，使得点 SKIPIF 1 < 0 重合为一点 SKIPIF 1 < 0 ，得到一个三棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 分别是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，在折起后的图形中：
(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值．
3．（2022·湖北·咸丰春晖学校高二阶段练习）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，PD=4，底面 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正方形， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值.
4．（2022·江西·高二阶段练习）在斜三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在底面 SKIPIF 1 < 0 的射影为边 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为正三角形，侧面 SKIPIF 1 < 0 与底面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值为2，
(1)证明: SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
5．（2022·山东枣庄·高二期中）四棱锥 SKIPIF 1 < 0 底面为平行四边形，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(1)在棱 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .若存在，确定 SKIPIF 1 < 0 点位置；若不存在，说明理由.
(2)求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
突破四：已知线面角求其它量
1．（2022·新疆·伊宁县第二中学高二期中（理））已知正方形的边长为4，E、F分别为AD、BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上．
(1)若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC；
(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°？若存在，求线段AM的长，若不存在，请说明理由．
2．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高二期中）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1= SKIPIF 1 < 0 ，BC=1，AB=C1C=2，E是棱C1C的中点.
(1)求二面角A—EB1—A1的余弦值；
(2)在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.
3．（2022·天津·塘沽二中高二期中）如图，在四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，侧棱 SKIPIF 1 < 0 ⊥底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点．
(1)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的正弦值；
(2)设点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值是 SKIPIF 1 < 0 ，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长．
4．（2022·广东·惠来县第一中学高二期中）已知四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是矩形，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是正三角形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点．
(1)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的大小；
(2)线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，说明理由．
5．（2022·河北衡水中学高三阶段练习）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，已知四边形 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形，点 SKIPIF 1 < 0 在底面 SKIPIF 1 < 0 上的射影为底面 SKIPIF 1 < 0 的中心 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为1.
(1)若点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)在棱 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出点 SKIPIF 1 < 0 的位置；若不存在，说明理由.
6．（2022·河南·高二阶段练习（理））如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 上， 且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
7．（2022·北京市陈经纶中学高二期中）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点.
(1)证明：若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值；
(3)是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，试求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.
突破五：面面角向量求法
1．（2022·山西·晋城市第二中学校高二阶段练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是菱形. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点E是棱PC的中点.
(1)证明：PC⊥BD.
(2)求平面PAB与平面BDE所成角的余弦值.
2．（2022·全国·高三专题练习）如图， SKIPIF 1 < 0 是三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
3．（2022·湖北·高二阶段练习）如图1，在梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，将梯形 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折叠成如图2所示的几何体， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若图1中， SKIPIF 1 < 0 ，求当四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大时，平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成锐角的正弦值.
4．（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
5．（2022·湖南省桃源县第一中学高三期中）如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的菱形， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.
6．（2022·江苏·南京师大附中高三阶段练习）如图 SKIPIF 1 < 0 ，梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿对角线 SKIPIF 1 < 0 翻折，使点 SKIPIF 1 < 0 至点 SKIPIF 1 < 0 ，且使平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，如图 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 ，当四面体 SKIPIF 1 < 0 体积最大时，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小．
7．（2022·江苏常州·高三阶段练习）如图， SKIPIF 1 < 0 为三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值.
突破六：已知面面角求其它量
1．（2022·河北·涉县第一中学高三期中）如图1，在等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿着 SKIPIF 1 < 0 折起，使得点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，如图2.
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
2．（2022·河北南宫中学高三阶段练习）如图1，在边长为4的菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 .沿 SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 翻折到 SKIPIF 1 < 0 的位置，连接 SKIPIF 1 < 0 ，得到如图2所示的五棱锥 SKIPIF 1 < 0 .
(1)在翻折过程中是否总有平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ？证明你的结论；
(2)当四棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积最大时，求点 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离；
(3)在（2）的条件下，在线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，试确定点 SKIPIF 1 < 0 的位置；若不存在，请说明理由.
3．（2022·浙江·高二阶段练习）如图1，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折到 SKIPIF 1 < 0 的位置，使得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，如图2所示.
(1)设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交线为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上（点 SKIPIF 1 < 0 不与端点重合），平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
4．（2022·广东·广州市第十七中学高三阶段练习）如图所示，在梯形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，四边形ACFE为矩形，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面BCF；
(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2022·福建省厦门第二中学高二阶段练习）在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是正方形，平面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E是 SKIPIF 1 < 0 的中点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，则棱PB上是否存在一点F，使得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面EBD的夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，请计算出 SKIPIF 1 < 0 的值，若不存在，请说明理由.
6．（2022·山西大同·高二期中）如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，侧面 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，则在棱 SKIPIF 1 < 0 上是否存在动点 SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成二面角的大小为 SKIPIF 1 < 0 .
7．（2022·四川省遂宁市第二中学校高三阶段练习（理））如图，直角梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 沿着 SKIPIF 1 < 0 翻折至 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的锐二面角为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
突破七：点到平面距离
1．（2022·贵州贵阳·高三阶段练习（文））在直棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，底面 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
2．（2022·福建·德化第八中学高二阶段练习）已知：在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形，侧棱 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
3．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 和梯形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的平面交平面 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点时，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离；
4．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）如图1，已知梯形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，E是AB边的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .将 SKIPIF 1 < 0 沿DE折起，使点A到达点P的位置，且 SKIPIF 1 < 0 ，如图2，M，N分别是PD，PB的中点.
(1)求平面MCN与平面BCDE夹角的余弦值；
(2)求点P到平面MCN的距离.
5．（2022·福建福州·高二期中）如图，菱形ABCD中，AB=2， SKIPIF 1 < 0 ，P为平面ABCD外一点，且平面PAD SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，O为AD的中点，M为PC的中点.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，求点M到平面PAB的距离.
6．（2022·福建南平·高二期中）如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．以 SKIPIF 1 < 0 为折痕把 SKIPIF 1 < 0 折起，便点 SKIPIF 1 < 0 到达点 SKIPIF 1 < 0 的位置，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
突破八：空间角的最值问题
1．（2022·福建·高三阶段练习）四棱锥 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的点，求 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值的最大值.
2．（2022·上海市进才中学高二期中）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由；
(3)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长.
3．（2022·山东潍坊·高二期中）如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，底面是边长为2的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 分别是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，二面角 SKIPIF 1 < 0 为直二面角.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点（不包括端点），求锐二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值的取值范围.
4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期中）如图所示，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形，侧面 SKIPIF 1 < 0 为正三角形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上的点.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，求证： SKIPIF 1 < 0 //平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值的范围.
5．（2022·山西太原·高二期中）如图，在四棱椎 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值的取值范围.
6．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校高二期中）如图①所示，长方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 靠近点 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，将△ SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折到△ SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到图②的四棱锥 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积的最大值；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 夹角余弦值的最小值.
7．（2022·海南华侨中学高三阶段练习）已知四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面ABCD是平行四边形，侧棱 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，点M在棱DP上，且 SKIPIF 1 < 0 ，点N是在棱PC上的动点（不为端点）.
(1)若N是棱PC中点，完成：
（i）画出 SKIPIF 1 < 0 的重心G（在图中作出虚线），并指出点G与线段AN的关系：
（ii）求证： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面AMN；
(2)若四边形ABCD是正方形，且 SKIPIF 1 < 0 ，当点N在何处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值取最大值.
8．（2022·山东省青岛第十七中学高二期中）如图，C是以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆O上异于A，B的点，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，E，F分别是 SKIPIF 1 < 0 上的动点.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若E，F分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点且异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 ，记平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的取值范围.
第二部分：冲刺重难点特训
1．（2022·四川·广安二中模拟预测（理））在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
2．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））如图，已知 SKIPIF 1 < 0 为圆锥 SKIPIF 1 < 0 底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，D是 SKIPIF 1 < 0 上一点，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值.
3．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠BAD＝60°，过点A作CD的垂线交CD的延长线于点E，连接EB交AD于点F，如图1.将 SKIPIF 1 < 0 沿AD折起，使得点E到达点P的位置，如图2.
(1)证明：直线 SKIPIF 1 < 0 平面BFP；
(2)若∠BFP＝120°，求点F到平面BCP的距离．
4．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））如图，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，E为BC中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，F为线段 SKIPIF 1 < 0 上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的锐二面角的余弦值．
5．（2022·河南开封·一模（理））如图， SKIPIF 1 < 0 是正三角形，在等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，M，N分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值．
6．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）已知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 （如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形 SKIPIF 1 < 0 为边长等于 SKIPIF 1 < 0 的正方形， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均为正三角形，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中：
(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上运动，当直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角最大时，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
7．（2022·上海松江·一模）已知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值大小.
8．（2022·全国·模拟预测）如图，在直线三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，己知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D为棱AC的中点.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.
9．（2022·浙江·三门县观澜中学模拟预测）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形，点 SKIPIF 1 < 0 在底面 SKIPIF 1 < 0 内的投影恰为 SKIPIF 1 < 0 中点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的锐二面角为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
10．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是边长为1的等边三角形，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
11．（2022·云南云南·模拟预测）如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面ABCD是直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面ABCD；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，当平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
12．（2022·北京西城·二模）如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 是边长为4的菱形， SKIPIF 1 < 0 ，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面 SKIPIF 1 < 0 与棱 SKIPIF 1 < 0 交于点E.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.条件①：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；条件②： SKIPIF 1 < 0 ；条件③： SKIPIF 1 < 0 .
13．（2022·天津二中模拟预测）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值；
(3)若点E在棱 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长．
14．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)设P是棱 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积．
15．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）如图，C是以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆O上异于A，B的点，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，E，F分别是 SKIPIF 1 < 0 上的动点.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若E，F分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点且异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 ，记平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的取值范围.
16．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（文））在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积．