新高考数学二轮复习专题六 解析几何第三讲 双曲线 (2份打包，原卷版+解析版）

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第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：双曲线的定义及其应用
突破二：求双曲线的轨迹方程
突破三：双曲线的渐近线
突破四：双曲线的离心率
突破五：双曲线中焦点三角形
突破六：双曲线中中点弦问题
突破七：双曲线弦长及面积
突破八：双曲线中定点，定值问题
突破九：双曲线中定直线问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、双曲线的定义
（1）定义:一般地,我们把平面内与两个定点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于 SKIPIF 1 < 0 )的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
（2）集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合: SKIPIF 1 < 0 .
（3）说明
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小.
①若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是靠近定点 SKIPIF 1 < 0 的那一支;
②若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是靠近定点 SKIPIF 1 < 0 的那一支.
2、双曲线的简单几何性质
3、等轴双曲线
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）当 SKIPIF 1 < 0 时称双曲线为等轴双曲线
① SKIPIF 1 < 0 ； ②离心率 SKIPIF 1 < 0 ； ③两渐近线互相垂直，分别为 SKIPIF 1 < 0 ；
④等轴双曲线的方程 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
4、直线与双曲线的位置关系
（1）代数法：设直线 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 联立解得：
SKIPIF 1 < 0
① SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；
② SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 存在时，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，直线与双曲线相交于两点；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，直线与双曲线相离，没有交点；
SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线与双曲线有一个交点；相切
SKIPIF 1 < 0 不存在， SKIPIF 1 < 0 时，直线与双曲线没有交点；
SKIPIF 1 < 0 直线与双曲线相交于两点；
5、弦长公式
（1）直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为直线斜率
（2）通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，则弦长 SKIPIF 1 < 0 .
6、双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 渐近线方程： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
2、若双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ） SKIPIF 1 < 0 渐近线方程： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
3、若渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线方程可设为 SKIPIF 1 < 0 ，
4、若双曲线与 SKIPIF 1 < 0 有公共渐近线，则双曲线的方程可设为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 ，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上）
7、双曲线中点弦的斜率公式
设 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 弦 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 不平行 SKIPIF 1 < 0 轴）的中点，则有 SKIPIF 1 < 0
证明：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两式相减得： SKIPIF 1 < 0
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 是弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以： SKIPIF 1 < 0 ， 所以 SKIPIF 1 < 0
第二部分：重难点题型突破
突破一：双曲线的定义及其应用
1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））双曲线 SKIPIF 1 < 0 上一点P到它的一个焦点的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离为（ ）
A．2B．10C．14D．2或10
2．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足方程 SKIPIF 1 < 0 ，且有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 和双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一个公共点，且 SKIPIF 1 < 0 在第一象限， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的左焦点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·江西·模拟预测（理））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线的右支上，过点 SKIPIF 1 < 0 作渐近线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·青海西宁·二模（文））设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线右支上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．2
6．（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、有焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，实轴长为4，离心率 SKIPIF 1 < 0 ，点Q为双曲线右支上的一点，点 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时， SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司模拟预测（理））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，其左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 且与x轴垂直的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，P为双曲线右支上一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
9．（2022·河北邯郸·一模）已知点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上， SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线的右焦点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________.
突破二：求双曲线的轨迹方程
1．（2022·湖南·长沙一中高二期中）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为圆上任意一点，定点 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则当点 SKIPIF 1 < 0 在圆上运动时，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·湖北省天门外国语学校高二阶段练习）直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上各有一点 SKIPIF 1 < 0 （其中点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 且满足 SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 的面积为4，则 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·云南省玉溪第一中学高三开学考试）方程 SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝12的化简结果为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1B． SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1C． SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1(x＞0)D． SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1(x＞0)
4．（2022·全国·高二课时练习）动圆M与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 均外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高二阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，其左､右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，一条垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为___________.
6．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，作垂直于y轴的直线m交椭圆于C，D两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，直线l与直线m交于P点，则点P的轨迹方程为______．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为一个焦点作过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的椭圆，则椭圆的另一个焦点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程是________.
突破三：双曲线的渐近线
1．（2022·福建·莆田二中高二阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线C的一条渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·山东省实验中学高二阶段练习）与曲线 SKIPIF 1 < 0 共焦点，且与双曲线 SKIPIF 1 < 0 共渐近线的双曲线的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·贵州·高三阶段练习（理））点 SKIPIF 1 < 0 到双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·上海松江·一模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点（不是顶点），过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的角平分线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的延长线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是坐标原点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为______
5．（2022·江苏连云港·高二期中）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 为原点，若以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与 SKIPIF 1 < 0 的渐近线的一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为__________.
突破四：双曲线的离心率
1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的上、下焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若双曲线C上存在点P使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则其离心率的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．3
2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的上、下焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 若双曲线C上存在点P使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则其离心率的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·江西·南昌二中高二阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线C： SKIPIF 1 < 0 左、右焦点，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线C的离心率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·上海宝山·一模）双曲线C的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点A在y轴上.双曲线C与线段 SKIPIF 1 < 0 交于点P，与线段 SKIPIF 1 < 0 交于点Q，直线 SKIPIF 1 < 0 平行于双曲线C的渐近线，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线C的离心率为______.
5．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于两个不同的点，且双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率的取值范围是__________．
突破五：双曲线中焦点三角形
1．（2022·陕西·乾县第二中学高二阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 的左､右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．4
2．（2022·福建省永泰县城关中学高二期中）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C的渐近线上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·辽宁沈阳·高二期中） SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过左焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 与此双曲线的一个公共点，则 SKIPIF 1 < 0 的面积（ ）
A．有最大值4B．有最小值2C．为 SKIPIF 1 < 0 D．为 SKIPIF 1 < 0
5．（2022·全国·高二单元测试）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两焦点为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点P在双曲线上，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 倾斜角之差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．32D．42
突破六：双曲线中中点弦问题
1．（2022·浙江·高二阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与该双曲线相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．该直线不存在
2．（2022·四川·射洪中学高二期中）直线l交双曲线 SKIPIF 1 < 0 于A，B两点，且 SKIPIF 1 < 0 为AB的中点，则l的斜率为（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．（2022·全国·高三专题练习）过点 SKIPIF 1 < 0 作直线l与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于P，Q两点，且使得A是 SKIPIF 1 < 0 的中点，直线l方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2x+y-3=0C．x=1D．不存在
4．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线交 SKIPIF 1 < 0 两点，且线段 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线方程是_______________.
5．（2022·全国·高二课时练习）点 SKIPIF 1 < 0 平分双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条弦，则这条弦所在直线的方程一般式为_________________.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线中心在原点且一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与其相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 中点横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则此双曲线的方程是______.
突破七：双曲线弦长及面积
1．（2022·四川·简阳市阳安中学高二阶段练习（理））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线相同，且经过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 ，倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
2．（2022·上海市闵行区教育学院附属中学高二期末）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，左焦点为 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点．
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上截距为2，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 的中点横坐标为1，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
3．（2022·四川·成都外国语学校高二期中（理））已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，实轴长为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 被双曲线C截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，求m的值.
4．（2022·湖北·高二阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦距长为8.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
5．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（文））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
6．（2022·上海市延安中学高三阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，虚轴长为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 ，倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
7．（2022·福建省南安国光中学高三阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，焦距为 SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的双曲线上，过点 SKIPIF 1 < 0 作双曲线切线与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)已知斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线左支交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率互为相反数，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
突破八：双曲线中定点，定值问题
1．（2022·上海市朱家角中学高一期末）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程 SKIPIF 1 < 0 ，原点到过 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 点的直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 能否作直线 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 与已知双曲线交于两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点？若存在，请求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，请说明理由．
2．（2022·广东·广州市第十七中学高三阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，四点 SKIPIF 1 < 0 中恰有三点在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为A．证明：直线AQ过定点．
3．（2022·河南新乡·一模（理））在平面直角坐标系xOy中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点C满足直线AC与直线BC的斜率乘积为3．
(1)求动点C的轨迹方程E．
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作直线l交曲线E于P，Q两点（P，Q在y轴两侧），过原点O作直线 SKIPIF 1 < 0 的平行线 SKIPIF 1 < 0 交曲线E于M，N两点（M，N在y轴两侧），试问 SKIPIF 1 < 0 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
4．（2022·江西·赣州市第三中学高二期中）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，线段 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)经过点 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 轴不重合的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于两个不同点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 分别交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率都存在，并分别设为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .是否存在实常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.
5．（2022·河南商丘·高二期中（理））椭圆与双曲线之间有许多优美的对称性质，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 和双曲线 SKIPIF 1 < 0
(1)设AB是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为弦AB的中点，O为坐标原点，则 SKIPIF 1 < 0 为定值.类比双曲线的性质：若AB是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，试猜想 SKIPIF 1 < 0 的值，并证明；
(2)设椭圆 SKIPIF 1 < 0 交x轴于A，B两点，点P是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交y轴于点M，N，则 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 ，类比椭圆的性质：若双曲线 SKIPIF 1 < 0 交x轴于A，B两点，点P是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交y轴于点M，N，试猜想 SKIPIF 1 < 0 的值，并证明.
突破九：双曲线中定直线问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）实轴端点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为2，过 SKIPIF 1 < 0 点且斜率1的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，试探究直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左，右顶点，直线 SKIPIF 1 < 0 （不与坐标轴垂直）过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求证：点 SKIPIF 1 < 0 在定直线上.
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知双曲线的一个顶点是 SKIPIF 1 < 0 ，其渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的标准方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·河南洛阳·模拟预测（文））已知点F是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且PF与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·河南安阳·模拟预测（文））若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线垂直，则a的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C． SKIPIF 1 < 0 D．2
4．（2022·河北·模拟预测（理））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且右焦点 SKIPIF 1 < 0 到其渐近线的距离为4，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点且与双曲线的一条渐近线平行，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·广西广西·模拟预测（理））双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 上的一点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 取到最小值时，双曲线离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C．3D．6
7．（2022·云南·昆明一中模拟预测（理））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，P是双曲线上位于第一象限内的一点，且直线 SKIPIF 1 < 0 与y轴的正半轴交于A点，三角形 SKIPIF 1 < 0 的内切圆在边 SKIPIF 1 < 0 上的切点为Q，双曲线的左焦点 SKIPIF 1 < 0 到双曲线的一条渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知 SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点和右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线l与双曲线的右支交于A，B两点， SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且直线l的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．2B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
9．（2022·湖南益阳·模拟预测）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的实轴长为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的焦距为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程是 SKIPIF 1 < 0
10．（2022·重庆八中模拟预测）已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若某直线上存在点P，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称该直线为“好直线”，下列直线是“好直线”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
11．（2022·全国·大化瑶族自治县高级中学模拟预测（文））若圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线相切，则双曲线的离心率为___________.
12．（2022·上海闵行·二模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴为 SKIPIF 1 < 0 ，对于实轴 SKIPIF 1 < 0 上的任意点 SKIPIF 1 < 0 ，在实轴 SKIPIF 1 < 0 上都存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线夹角的最大值为___________；
13．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________.
四、解答题
14．（2022·陕西·咸阳市高新一中模拟预测（文））已知焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的双曲线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求弦长 SKIPIF 1 < 0 ．
15．（2022·河南新乡·一模（理））在平面直角坐标系xOy中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点C满足直线AC与直线BC的斜率乘积为3．
(1)求动点C的轨迹方程E．
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作直线l交曲线E于P，Q两点（P，Q在y轴两侧），过原点O作直线 SKIPIF 1 < 0 的平行线 SKIPIF 1 < 0 交曲线E于M，N两点（M，N在y轴两侧），试问 SKIPIF 1 < 0 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
16．（2022·福建漳州·三模）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，动圆P与圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 都外切．圆心P的轨迹为曲线C
(1)求C的方程；
(2)已知A，B是C上不同的两点，AB中点的横坐标为2，且AB的中垂线为直线l，是否存在半径为1的定圆E，使得l被圆E截得的弦长为定值，若存在，求出圆E的方程；若不存在，请说明理由
标准方程
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
图形
性质
范围
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
渐近线
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
离心率
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
a，b，c间的关系
SKIPIF 1 < 0