高考物理一轮复习第十四章热学学案

这是一份高考物理一轮复习第十四章热学学案，共61页。学案主要包含了分子动理论，温度与物体的内能，能量守恒定律等内容，欢迎下载使用。

一、分子动理论
1．物体是由大量分子组成的
(1)分子的直径：数量级为10－10 m。
(2)分子的质量：数量级为10－26 kg。
(3)阿伏加德罗常数：NA＝6.02×1023 ml－1。
2．分子永不停息地做无规则运动
(1)扩散现象：由于分子的无规则运动产生的物质迁移现象。温度越高，扩散现象越明显。
(2)布朗运动：悬浮在液体中的小颗粒的无规则运动，颗粒越小，运动越明显；温度越高，运动越明显。
(3)热运动：分子永不停息的无规则运动。温度越高，分子运动越剧烈。
3．分子间的作用力
(1)引力和斥力总是同时存在，实际表现出的分子力是引力和斥力的合力。
(2)分子引力和斥力都随距离的增大而减小，但斥力变化得更快。
二、温度与物体的内能
1．温度与温标
(1)温度：表示物体的冷热程度，一切达到热平衡的系统都具有相同的温度。
(2)温标：包括摄氏温标(t)和热力学温标(T)，两者的关系是T＝t＋273.15_K。
2．分子的动能
(1)分子动能是分子热运动所具有的动能。
(2)温度是分子热运动的平均动能的标志。
3．分子的势能
(1)分子势能是由分子间的相对位置决定的能。
(2)决定因素
①微观上：决定于分子间距离和分子排列情况；
②宏观上：决定于体积和状态。
4．物体的内能
(1)物体的内能是物体中所有分子动能和分子势能的总和，是状态量。
(2)决定因素
①对于给定的物体，其内能大小是由物体的温度和体积决定，即由物体的内部状态决定；
②物体的内能与物体位置的高低、运行速度的大小无关。
微点判断
(1)扩散现象只能在气体中进行。(×)
(2)布朗运动是指液体分子的无规则运动。(×)
(3)温度越高，布朗运动越剧烈。(√)
(4)分子间的引力和斥力都随分子间距的增大而增大。(×)
(5)分子动能指的是由于分子定向移动具有的能。(×)
(6)当分子力表现为引力时，分子势能随分子间距离的增大而增大。(√)
(7)内能相同的物体，它们的分子平均动能一定相同。(×)
(8)分子势能随着分子间距离的增大，可能先减小后增大。(√)
(9)两分子间不可能同时存在斥力和引力。(×)
(一) 微观量的估算
1．两种分子模型
(1)球体模型：把分子看成球形，分子的直径：d＝ eq \r(3,\f(6V0,π))。适用于固体和液体。
(2)立方体模型：把分子看成小立方体，其边长：d＝eq \r(3,V0)。适用于固体、液体和气体。
[注意] 对于气体，利用d＝eq \r(3,V0)计算出的d不是分子直径，而是气体分子间的平均距离。
2．宏观量与微观量的相互关系
(1)宏观量：物体的体积V、密度ρ、质量m、摩尔质量Mml、摩尔体积Vml、物质的量n等。
(2)微观量：分子体积V0、分子直径d、分子质量m0等。
(3)相互关系。
①一个分子的质量：m0＝eq \f(Mml,NA)＝eq \f(ρVml,NA)。
②一个分子的体积：V0＝eq \f(Vml,NA)＝eq \f(Mml,ρNA)。
[注意] 阿伏加德罗常数是联系宏观量(摩尔质量Mml、摩尔体积Vml、密度ρ等)与微观量(分子直径d、分子质量m0、分子体积V0等)的“桥梁”。如图所示。
[多维训练]
1．[固体微观量的估算]钻石是首饰和高强度钻头、刻刀等工具中的主要材料，设钻石的密度为ρ(单位为kg/m3)，摩尔质量为M(单位为g/ml)，阿伏加德罗常数为NA。已知1克拉＝0.2克，则( )
A．a克拉钻石所含有的分子数为eq \f(0.2aNA,M)
B．a克拉钻石所含有的分子数为eq \f(aNA,M)
C．每个钻石分子直径的表达式为 eq \r(3,\f(3M×10－3,NAρπ))(单位为m)
D．每个钻石分子直径的表达式为 eq \r(\f(6M,NAρπ))(单位为m)
解析：选A a克拉钻石物质的量(摩尔数)为n＝eq \f(0.2a,M)，所含分子数为N＝nNA＝eq \f(0.2aNA,M)，A正确，B错误；钻石的摩尔体积V＝eq \f(M×10－3,ρ)(单位为m3/ml)，每个钻石分子体积为V0＝eq \f(V,NA)＝eq \f(M×10－3,NAρ)，设钻石分子直径为d，则V0＝eq \f(4,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(d,2)))3，联立解得d＝ eq \r(3,\f(6M×10－3,NAρπ))(单位为m)，C、D错误。
2.[液体微观量的估算]已知阿伏加德罗常数为NA(ml－1)，某液体的摩尔质量为M(kg/ml)，该液体的密度为ρ(kg/m3)，则下列叙述中正确的是( )
A．1 kg该液体所含的分子个数是ρNA
B．1 kg该液体所含的分子个数是eq \f(1,M)NA
C．该液体1个分子的质量是eq \f(ρ,NA)
D．该液体1个分子占有的空间是eq \f(MNA,ρ)
解析：选B 1 kg该液体的物质的量为eq \f(1,M)，所含分子数目为：n＝NA·eq \f(1,M)＝eq \f(NA,M)，故A错误，B正确；每个分子的质量为：m0＝eq \f(1,n)＝eq \f(M,NA)，故C错误；每个分子所占空间为：V0＝eq \f(m0,ρ)＝eq \f(M,ρNA)，故D错误。
3．[气体微观量的估算]很多轿车为了改善夜间行驶时的照明问题，在车灯的设计上选择了氙气灯，因为氙气灯灯光的亮度是普通灯灯光亮度的3倍，但是耗电量仅是普通灯的一半，氙气灯使用寿命则是普通灯的5倍，很多车主会选择含有氙气灯的汽车。若氙气充入灯头后的容积V＝1.6 L，氙气密度ρ＝6.0 kg/m3。已知氙气摩尔质量M＝0.131 kg/ml，阿伏加德罗常数NA＝6×1023 ml－1。试估算：(结果保留一位有效数字)
(1)灯头中氙气分子的总个数N；
(2)灯头中氙气分子间的平均距离。
解析：(1)设氙气的物质的量为n，则n＝eq \f(ρV,M)，氙气分子的总数N＝eq \f(ρV,M)NA≈4×1022个。
(2)每个氙气分子所占的空间为V0＝eq \f(V,N)，设氙气分子间平均距离为a，则有V0＝a3，即a＝ eq \r(3,\f(V,N))≈3×10－9 m。
答案：(1)4×1022个 (2)3×10－9 m
(二) 布朗运动与分子热运动
扩散现象、布朗运动与热运动的比较
[多维训练]
1．[扩散现象的理解]关于扩散现象，下列说法错误的是( )
A．温度越高，扩散进行得越快
B．扩散现象是不同物质间的一种化学反应
C．扩散现象是由物质分子无规则运动产生的
D．扩散现象在气体、液体和固体中都能发生
解析：选B 根据分子动理论，温度越高，扩散进行得越快，A正确；扩散现象是由物质分子无规则运动产生的，不是化学反应，C正确，B错误；扩散现象在气体、液体和固体中都能发生，D正确。
2．[布朗运动的理解](多选)我国已开展空气中PM2.5浓度的监测工作，PM2.5是指空气中直径等于或小于2.5 μm的悬浮颗粒物，其飘浮在空中做无规则运动，很难自然沉降到地面，吸入后对人体形成危害。矿物燃料燃烧的排放物是形成PM2.5的主要原因。下列关于PM2.5的说法中正确的是( )
A．PM2.5的尺寸与空气中氧分子的尺寸的数量级相当
B．PM2.5在空气中的运动属于分子热运动
C．减少煤和石油等燃料的使用，能有效减小PM2.5在空气中的浓度
D．PM2.5的内能不为零
解析：选CD “PM2.5”是指直径小于等于2.5μm的颗粒物，PM2.5尺度大于空气中氧分子的尺寸的数量级，故A错误；PM2.5在空气中的运动是固体颗粒、分子团的运动，不是分子的热运动，故B错误；煤和石油的燃烧会产生大量的粉尘颗粒，如果减少煤和石油等燃料的使用，能有效减小PM2.5在空气中的浓度，故C正确；分子在不停地做无规则运动，PM2.5内能不为零，故D正确。
3．[分子热运动的理解](多选)同学们都吃过味道鲜美的烤鸭，烤鸭的烤制过程没有添加任何调料，只是在烤制之前，把烤鸭放在腌制汤中腌制一定的时间，盐就会进入肉里。下列说法正确的是( )
A．如果让腌制汤温度升高，盐进入鸭肉的速度就会加快
B．烤鸭的腌制过程说明分子之间有引力，把盐分子吸进鸭肉里
C．在腌制汤中，有的盐分子进入鸭肉，有的盐分子从鸭肉里面出来
D．把鸭肉放入腌制汤后立刻冷冻，将不会有盐分子进入鸭肉
解析：选AC 盐分子进入鸭肉是因为发生了扩散，温度越高，扩散得越快，A正确；盐进入鸭肉是因为盐分子的无规则运动，并不是因为分子引力，B错误；盐分子永不停息地做无规则运动，有的进入鸭肉，有的离开鸭肉，C正确；冷冻后，仍然会有盐分子进入鸭肉，只不过速度慢一些，D错误。
(三) 分子力、分子势能与物体内能
研清微点1 分子力、分子势能与分子间距离的关系
1．(2023·海南高考)如图为两分子靠近过程中的示意图，r0为分子间平衡距离，下列关于分子力和分子势能的说法正确的是( )
A．分子间距离大于r0时，分子间表现为斥力
B．分子从无限远靠近到距离r0处的过程中分子势能变大
C．分子势能在r0处最小
D．分子间距离在小于r0且减小时，分子势能在减小
解析：选C 分子间距离大于r0时，分子间表现为引力，分子从无限远靠近到距离r0处的过程中，引力做正功，分子势能减小，则在r0处分子势能最小；继续减小分子间距离，分子间表现为斥力，分子力做负功，分子势能增大。
一点一过
分子力、分子势能与分子间距离的关系
分子力F、分子势能Ep与分子间距离r的关系图线如图所示(取无穷远处分子势能Ep＝0)。
(1)当r＞r0时，分子力表现为引力，当r增大时，分子力做负功，分子势能增加。
(2)当r＜r0时，分子力表现为斥力，当r减小时，分子力做负功，分子势能增加。
(3)当r＝r0时，分子势能最小。
研清微点2 对内能的理解
2．关于物体的内能，下列说法正确的是( )
A．相同质量的两种物质，升高相同的温度，内能的增加量一定相同
B．物体的内能改变时温度不一定改变
C．内能与物体的温度有关，所以0 ℃的物体内能为零
D．分子数和温度都相同的物体一定具有相同的内能
解析：选B 相同质量的同种物质，升高相同的温度，吸收的热量相同，相同质量的不同种物质，升高相同的温度，吸收的热量不同，故A错误；物体内能改变时温度不一定改变，比如零摄氏度的冰融化为零摄氏度的水，内能增加，故B正确；分子在永不停息地做无规则运动，可知任何物体在任何状态下都有内能，故C错误；物体的内能与分子数、物体的温度和体积三个因素有关，分子数和温度都相同的物体不一定有相同的内能，故D错误。
一点一过
分析物体内能问题的四点提醒
(1)内能是对物体的大量分子而言的，不存在某个分子内能的说法。
(2)决定内能大小的因素为物质的量、温度、体积。
(3)通过做功或热传递可以改变物体的内能。
(4)温度是分子平均动能的标志，相同温度的任何物体，分子的平均动能均相同。
研清微点3 内能与机械能的比较
3．下列有关热现象和内能的说法中正确的是( )
A．把物体缓慢举高，其机械能增加，内能增加
B．盛有气体的容器做加速运动时，容器中气体的内能必定会随之增大，容器的机械能一定增大
C．电流通过电阻后电阻发热，它的内能增加是通过“做功”方式实现的
D．分子间引力和斥力相等时，分子势能最大
解析：选C 把物体缓慢举高，外力做功，其机械能增加，由于温度不变，物体内能不变，A错误；物体的内能与物体做什么性质的运动没有直接关系，B错误；电流通过电阻后电阻发热，是通过电流“做功”的方式改变电阻内能的，C正确；根据分子间作用力的特点，当分子间距离等于r0时，引力和斥力相等，不管分子间距离从r0增大还是减小，分子间作用力都做负功，分子势能都增加，故分子间距离等于r0时分子势能最小，D错误。
一点一过
内能和机械能的对比
[课时跟踪检测]
1．(2023·长沙高三质检)严冬时节，梅花凌寒盛开，淡淡的花香沁人心脾。我们能够闻到花香，这与分子的热运动有关，关于热学中的分子，下列说法中正确的是( )
A．布朗运动就是液体分子的无规则运动
B．扩散现象是由物质分子的无规则运动产生的，扩散能在气体和液体中进行，也能在固体中进行
C．两个分子间距离小于r0时，分子间只有斥力没有引力
D．两个分子间的距离增大时，分子间的分子势能一定减小
解析：选B 布朗运动是悬浮于液体中的固体小颗粒的运动，A错误；扩散现象是由物质分子的无规则运动产生的，扩散能在气体和液体中进行，也能在固体中进行，B正确；两个分子间距离小于r0时，分子间斥力和引力都有，只是分子力表现为斥力，C错误；当rr0时，分子势能随分子间距离增大而增大，D错误。
2．(多选)已知铜的摩尔质量为M(kg/ml)，铜的密度为ρ(kg/m3)，阿伏加德罗常数为NA(ml－1)。下列判断正确的是( )
A．1 kg铜所含的原子数为NA
B．1 m3铜所含的原子数为eq \f(MNA,ρ)
C．1个铜原子的体积为eq \f(M,ρNA)(m3)
D．铜原子的直径为eq \r(3,\f(6M,πρNA))(m)
解析：选CD 1 kg铜所含的原子数为N＝eq \f(1,M)·NA，故A错误；1 m3铜所含的原子数为N＝nNA＝eq \f(ρNA,M)，故B错误；1个铜原子的体积为V＝eq \f(M,ρNA)(m3)，体积为V＝eq \f(4,3)π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(d,2)))3，联立解得d＝eq \r(3,\f(6M,πρNA))(m)，故C、D正确。
3．(多选)关于分子动理论，下列说法正确的有( )
A．扩散现象是物质分子永不停息地做无规则运动的证明
B．压缩气体时，体积越小，压强越大，说明气体分子间存在着斥力
C．从微观角度来看，气体的压强与气体分子的平均动能和分子的密集程度有关
D．当分子间作用力表现为引力时，分子势能随距离的增大而减少
解析：选AC 扩散现象是物质分子永不停息地做无规则运动的证明，A正确；压缩气体时，体积越小，压强越大，这是因为体积越小时，气体分子的密度越大，单位时间内气体分子对单位面积器壁的碰撞次数越多，压强越大，这与气体分子间的斥力无关，B错误；从微观角度来看，气体的压强与气体分子的平均动能和分子的密集程度有关，气体分子的动能越大，气体分子对器壁的碰撞力越大，分子密度越大，单位时间内气体分子对单位面积器壁的碰撞次数越多，压强越大，C正确；当分子间作用力表现为引力时，分子距离变大，则分子力做负功，分子势能增加，即分子势能随距离的增大而增加，D错误。
4．一定质量的乙醚液体全部蒸发，变为同温度的乙醚气体，在这一过程中乙醚的( )
A．分子间作用力保持不变
B．分子平均动能保持不变
C．分子平均势能保持不变
D．内能保持不变
解析：选B 乙醚液体蒸发过程，分子间的距离变大，分子间的引力和斥力都会减小，则分子间作用力发生变化，故A错误；一定质量的乙醚液体全部蒸发，变为同温度的乙醚气体过程中，要从外界吸收热量，由于温度不变，故分子平均动能不变，而蒸发过程中乙醚分子要克服分子间的引力做功，分子势能增加，故内能增加，故B正确，C、D错误。
5．比较45 ℃的热水和100 ℃的水蒸气，下列说法正确的是( )
A．热水分子的平均动能比水蒸气的大
B．热水的内能比相同质量的水蒸气的小
C．热水分子的速率都比水蒸气的小
D．热水分子的热运动比水蒸气的剧烈
解析：选B 温度是分子平均动能的标志，温度升高，分子的平均动能增大，故热水分子的平均动能比水蒸气的小，故A错误；内能与物质的量、温度、体积有关，相同质量的热水和水蒸气，热水变成水蒸气，温度升高，体积增大，吸收热量，故热水的内能比相同质量的水蒸气的小，故B正确；温度越高，分子热运动的平均速率越大，45 ℃的热水中的分子平均速率比100 ℃的水蒸气中的分子平均速率小，由于分子运动是无规则的，并不是每个分子的速率都小，故C错误；温度越高，分子热运动越剧烈，故D错误。
6．(多选)某气体的摩尔质量为M，摩尔体积为Vml，密度为ρ，每个气体分子的质量和体积分别为m和V0，则阿伏加德罗常数NA不可表示为( )
A．NA＝eq \f(M,m) B．NA＝eq \f(ρVml,m)
C．NA＝eq \f(Vml,V0) D．NA＝eq \f(M,ρV0)
解析：选CD 对于气体来说，eq \f(Vml,NA)表示一个分子平均占用的空间，不表示分子体积，所以C、D错误。
7.如图所示，甲分子固定在坐标原点O，乙分子位于x轴上，甲分子对乙分子的作用力与两分子间距离的关系如图中曲线所示。F>0为斥力，FT2
D．T1r1时，分子间的引力大于斥力
B．固体相邻分子间的距离约等于r1
C．液体存在表面张力是因为表面层中相邻分子的平均间距大于r2
D．将分子间距由r1增大到r2，分子间引力与斥力的合力会变大
解析：选C 分子间同时存在相互作用的引力和斥力，当二者大小相等时分子势能最小，此时分子间距离为平衡距离，即固体相邻分子间的距离约等于r2，B错误；当分子间距离r>r2时分子间的引力大于斥力，A错误；液体存在表面张力是因为表面层中相邻分子的平均间距大于r2，C正确；将分子间距由r1增大到平衡距离r2时，分子间引力与斥力的合力会变小，D错误。
10.(多选)如图所示是医院给病人输液的部分装置示意图。在输液过程中，下列说法正确的是( )
A．A瓶中的药液先用完
B．当A瓶中液面下降时，B瓶内液面高度保持不变
C．随着液面下降，A瓶内C处气体压强逐渐增大
D．随着液面下降，A瓶内C处气体压强保持不变
解析：选ABC 在药液从B瓶中流出时，B瓶中封闭气体体积增大，温度不变，根据玻意耳定律知，气体压强减小，A瓶中气体将A瓶中药液压入B瓶补充，所以B中流出多少药液，A瓶就会有多少药液流入B瓶 ，所以B瓶液面高度保持不变，直到A瓶药液全部流入B瓶，所以A瓶药液先用完，故A、B正确；A瓶瓶口处压强和大气压相等，但液面下降，药液产生的压强减小，因此A瓶内封闭气体压强增大，故C正确，D错误。
11.如图所示，表示一定质量的气体的状态A→B→C→A的图像，其中AB的延长线通过坐标原点，BC和AC分别与T轴和V轴平行。则下列说法正确的是( )
A．A→B过程气体压强增加
B．B→C过程气体压强不变
C．C→A过程气体单位体积内的分子数减小
D．A→B过程气体分子平均动能增加
解析：选D 过各点的等压线如图所示，从状态A到状态B，在同一条过原点的倾斜直线上，所以A→B过程气体压强不变，A错误；从状态B到状态C，斜率变大，则压强变小，B错误；从状态C到状态A，体积减小，则单位体积内的分子数增大，C错误；从状态A到状态B，温度升高，则分子平均动能增大，D正确。
12.某同学用如图装置“研究一定质量气体在体积不变时，其压强与温度的关系”。测得初始状态的压强为p0，温度为t0。现逐渐加入热水使水温升高，同时测量压强p和温度t，并记录下每次测量结果与初始值的差值Δp和Δt。该过程中下列图像一定正确的是( )
解析：选C 气体做等容变化时eq \f(p,T)＝eq \f(Δp,ΔT)＝C，故p＝CT，Δp＝C·ΔT，又T＝273.15＋t，故p＝C(273.15＋t)，Δp＝CΔt，所以C一定正确，A、D一定错误，而B可能正确。
13．一定质量的理想气体的p­t图像如图所示，在从状态A变到状态B的过程中，气体体积的变化情况是( )
A．一定不变
B．一定减小
C．一定增加
D．不能判定怎样变化
解析：选D 如图所示，把图线反向延长，交横轴于点M，如果点M的横坐标为－273.15 ℃，则气体的压强与热力学温度成正比，气体发生等容变化，由状态A到状态B气体体积不变，即VA＝VB；如果M的横坐标不是－273.15 ℃，因为不知道A、B两状态的压强与温度的具体数值，无法判断体积的变化，故D正确。
14．如图，一定量的理想气体经历的两个不同过程，分别由体积—温度(V­t)图上的两条直线Ⅰ和Ⅱ表示，V1和V2分别为两直线与纵轴交点的纵坐标；t0为它们的延长线与横轴交点的横坐标，t0＝－273.15 ℃；a为直线Ⅰ上的一点。由图可知，气体在状态a和b的压强之比eq \f(pa,pb)＝______；气体在状态b和c的压强之比eq \f(pb,pc)＝________。
解析：根据盖­吕萨克定律有eq \f(V,t＋273.15)＝k，整理得V＝kt＋273.15k，由体积—温度(V­t)图像可知，直线Ⅰ为等压线，则a、b两点压强相等，则有eq \f(pa,pb)＝1，设t＝0 ℃时，当气体体积为V1 时，其压强为p1 ，当气体体积为V2 时，其压强为p2，根据等温变化，则有p1V1＝p2V2，由于直线Ⅰ和Ⅱ各为两条等压线，则有p1＝pb，p2＝pc，联立解得eq \f(pb,pc)＝eq \f(p1,p2)＝eq \f(V2,V1)。
答案：1 eq \f(V2,V1)
第3讲 气体实验定律与理想气体状态方程的综合应用
(一) 理想气体状态变化的三类典型模型
1．理想气体状态方程与气体实验定律的关系
eq \f(p1V1,T1)＝eq \f(p2V2,T2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(温度不变：p1V1＝p2V2玻意耳定律,体积不变：\f(p1,T1)＝\f(p2,T2)查理定律,压强不变：\f(V1,T1)＝\f(V2,T2)盖­吕萨克定律))
[注意] 理想气体状态方程与气体实验定律的适用条件：一定质量的某种理想气体。
2．解决问题的基本思路

模型一 “活塞＋汽缸”模型
解决“活塞＋汽缸”类问题的一般思路
(1)弄清题意，确定研究对象。一般研究对象分两类：一类是热学研究对象(一定质量的理想气体)；另一类是力学研究对象(汽缸、活塞或某系统)。
(2)分析清楚题目所述的物理过程，对热学研究对象分析清楚初、末状态及状态变化过程，依据气体实验定律或理想气体状态方程列出方程；对力学研究对象要正确地进行受力分析，依据力学规律列出方程。
(3)注意挖掘题目中的隐含条件，如几何关系、体积关系等，列出辅助方程。
(4)多个方程联立求解。对求解的结果注意分析它们的合理性。
[例1] 如图所示，一导热性能良好的汽缸放置在水平面上，其横截面积S＝40 cm2，内壁光滑，固定的卡口A、B与缸底的距离L＝1 m，厚度不计，初始时活塞在汽缸内封闭了一段长为2L的理想气体。环境温度为T0＝320 K。现缓慢调整汽缸开口至竖直向上，稳定时缸内气体高度为1.6 m。随着环境温度的降低，活塞与卡口A、B间距离会逐渐变小。取重力加速度g＝10 m/s2，大气压强为p0＝1.0×105 Pa。求：
(1)活塞的质量；
(2)当活塞与卡口A、B接触且无作用力时的环境温度。
[解析] (1)气体初态p1＝p0，V1＝2LS，设稳定时缸内气体高度为h1，
气体末态p2＝p0＋eq \f(mg,S)，V2＝h1S，
由玻意耳定律得p1V1＝p2V2，解得m＝10 kg。
(2)假定环境温度为T1时，活塞与卡口A、B接触且无作用力，气体发生等压变化，稳定时缸内气体高度为L，则有V3＝LS，
由盖­吕萨克定律可得eq \f(V2,T0)＝eq \f(V3,T1)，
解得T1＝200 K(或－73 ℃)。
[答案] (1)10 kg (2)200 K(或－73 ℃)
模型二 “液柱＋管”模型
解答“液柱＋管”类问题，关键是液柱封闭气体压强的计算，求液柱封闭的气体压强时，一般以液柱为研究对象分析受力、列平衡方程，要注意：
(1)液体因重力产生的压强大小为p＝ρgh(其中h为液面的竖直高度)。
(2)不要漏掉大气压强，同时又要尽可能平衡掉某些大气的压力。
(3)有时可直接应用连通器原理——连通器内静止的液体，同种液体在同一水平面上各处压强相等。
(4)当液体为水银时，可灵活应用压强单位“cmHg”等，使计算过程简捷。
[例2] 如图，两侧粗细均匀、横截面积相等、高度均为H＝18 cm的U形管，左管上端封闭，右管上端开口。右管中有高h0＝4 cm的水银柱，水银柱上表面离管口的距离l＝12 cm。管底水平段的体积可忽略。环境温度为T1＝283 K，大气压强p0＝76 cmHg。
(1)现从右侧端口缓慢注入水银(与原水银柱之间无气隙)，恰好使水银柱下端到达右管底部。此时水银柱的高度为多少？
(2)再将左管中密封气体缓慢加热，使水银柱上表面恰与右管口平齐，此时密封气体的温度为多少？
[解析] (1)设密封气体初始体积为V1，压强为p1，左、右管的截面积均为S，密封气体先经等温压缩过程体积变为V2，压强变为p2。由玻意耳定律有
p1V1＝p2V2①
设注入水银后水银柱高度为h，水银的密度为ρ，按题设条件有p1＝p0＋ρgh0②
p2＝p0＋ρgh③
V1＝(2H－l－h0)S，V2＝HS④
联立①②③④式并代入题给数据得
h＝12.9 cm。⑤
(2)密封气体再经等压膨胀过程体积变为V3，温度变为T2，由盖­吕萨克定律有eq \f(V2,T1)＝eq \f(V3,T2)⑥
按题设条件有V3＝(2H－h)S⑦
联立④⑤⑥⑦式并代入题给数据得T2＝363 K。⑧
[答案] (1)12.9 cm (2)363 K
eq \a\vs4\al(模型三 “两团气”模型)
处理“两团气”问题的技巧
(1)分析“两团气”初状态和末状态的压强关系。
(2)分析“两团气”的体积及其变化关系。
(3)分析“两团气”状态参量的变化特点，选取理想气体状态方程或合适的实验定律列方程求解。
[例3] (2023·全国乙卷)如图，竖直放置的封闭玻璃管由管径不同、长度均为20 cm的A、B两段细管组成，A管的内径是B管的2倍，B管在上方。管内空气被一段水银柱隔开，水银柱在两管中的长度均为10 cm。现将玻璃管倒置使A管在上方，平衡后，A管内的空气柱长度改变1 cm。求B管在上方时，玻璃管内两部分气体的压强。(气体温度保持不变，以cmHg为压强单位)
[解析] 设B管的横截面积为S，由题意可知，A管的内径是B管的2倍，由S＝eq \f(πd2,4)得，A管的横截面积为4S，B管在上方时，两管内气柱长度为l＝10 cm＝0.1 m
设B管内气体压强为pB1，体积为VB1＝lS＝0.1S
设A管内气体压强为pA1，体积为VA1＝l·4S＝0.1×4S＝0.4S
由题意得：pA1＝pB1＋20 cmHg
A管在上方时，A管内空气柱长度改变Δl＝1 cm＝0.01 m
所以A管中水银柱长度减小Δl，A管中气柱体积增大ΔV＝Δl·4S＝0.01×4S＝0.04S
设A管内气体压强为pA2，体积为VA2＝VA1＋ΔV＝0.4S＋0.04S＝0.44S
B管内气柱体积减小ΔV，设气体压强为pB2，体积为VB2＝VB1－ΔV＝0.1S－0.04S＝0.06S
水银柱长度增大Δl′＝eq \f(ΔV,S)＝eq \f(0.04S,S)＝0.04 m＝4 cm
则pB2＝pA2＋20 cmHg＋4 cmHg－1 cmHg＝pA2＋23 cmHg
由玻意耳定律，对A中气体：pA1VA1＝pA2VA2
对B中气体：pB1VB1＝pB2VB2
代入数据联立解得：
pB1＝54.36 cmHg
pB2＝90.6 cmHg
pA1＝74.36 cmHg
pA2＝67.6 cmHg。
[答案] A管气体压强为74.36 cmHg B管气体压强为54.36 cmHg
(二) 理想气体的四类变质量问题
eq \a\vs4\al(类型一 充气问题)
在充气时，将充进容器内的气体和容器内的原有气体为研究对象时，这些气体的总质量是不变的。这样，可将“变质量”的问题转化成“定质量”问题。
[例1] 得益于我们国家经济的高速发展，普通人的住
房条件得到不断改善，越来越多的人搬进了漂亮的楼房，但是马桶阻塞却成了一个越来越让人头疼的问题，疏通器是解决此类问题的工具之一。在疏通马桶时，疏通器气体体积需缩小到原来的eq \f(1,4)才能打通堵塞的管道。疏通器如图所示，通过打气筒将气体打入储气室，拨动开关，储气室内气体喷出。若储气室容积为2V，初始时内部气体压强为p0，每次可打入压强为p0、体积为eq \f(V,2)的气体，以上过程温度变化忽略不计，则要能疏通马桶需要向储气室打气几次？
[解析] 设疏通器内气体初始状态参量分别为p1、T1、V1，气体压缩后状态参量分别为p2、T2、V2，由题意知T1＝T2，p1＝p0，V1＝2V，V2＝eq \f(V,2)，
由玻意耳定律得p1V1＝p2V2，
可得p2＝4p0，
设打气筒需要向储气室打气n次，打气前气体状态参量分别为p3、T3、V3，打气后气体状态参量分别为p4、T4、V4，由题意知T3＝T4，p3＝p0，V3＝2V＋neq \f(V,2)，p4＝p2＝4p0，V4＝2V，
由玻意耳定律得p3V3＝p4V4，解得n＝12。
[答案] 12
eq \a\vs4\al(类型二 抽气问题)
在对容器抽气的过程中，对每一次抽气而言，气体质量发生变化，解决该类变质量问题的方法与充气问题类似：假设把每次抽出的气体包含在气体变化的始末状态中，即用等效法把“变质量”问题转化为“定质量”的问题。
[例2] (2023·湖南高考)汽车刹车助力装置能有效为驾驶员踩刹车省力。如图，刹车助力装置可简化为助力气室和抽气气室等部分构成，连杆AB与助力活塞固定为一体，驾驶员踩刹车时，在连杆AB上施加水平力推动液压泵实现刹车。助力气室与抽气气室用细管连接，通过抽气降低助力气室压强，利用大气压与助力气室的压强差实现刹车助力。每次抽气时，K1打开，K2闭合，抽气活塞在外力作用下从抽气气室最下端向上运动，助力气室中的气体充满抽气气室，达到两气室压强相等；然后，K1闭合，K2打开，抽气活塞向下运动，抽气气室中的全部气体从K2排出，完成一次抽气过程。已知助力气室容积为V0，初始压强等于外部大气压强p0，助力活塞横截面积为S，抽气气室的容积为V1。假设抽气过程中，助力活塞保持不动，气体可视为理想气体，温度保持不变。
(1)求第1次抽气之后助力气室内的压强p1；
(2)第n次抽气后，求该刹车助力装置为驾驶员省力的大小ΔF。
[解析] (1)以助力气室内的气体为研究对象，则初态压强为p0，体积为V0，第一次抽气后，气体体积为V＝V0＋V1，根据玻意耳定律p0V0＝p1V，解得p1＝eq \f(p0V0,V0＋V1)。
(2)同理第二次抽气p1V0＝p2V，解得p2＝eq \f(p1V0,V0＋V1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(V0,V0＋V1)))2p0，以此类推……
则当第n次抽气后，助力气室内的气体压强pn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(V0,V0＋V1)))np0，
则刹车助力装置为驾驶员省力大小为ΔF＝(p0－pn)S＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(V0,V0＋V1)))n))p0S。
[答案] (1)eq \f(p0V0,V0＋V1) (2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(V0,V0＋V1)))n))p0S
eq \a\vs4\al(类型三 灌气问题)
将一个大容器里的气体分装到多个小容器中的问题也是变质量问题，分析这类问题时，可以把大容器中的气体和多个小容器中的气体作为一个整体来进行研究，即可将“变质量”问题转化为“定质量”问题。
[例3] 甲、乙两个储气罐储存有同种气体(可视为理想气体)。甲罐的容积为V，罐中气体的压强为p；乙罐的容积为2V，罐中气体的压强为eq \f(1,2)p。现通过连接两罐的细管把甲罐中的部分气体调配到乙罐中去，两罐中气体温度相同且在调配过程中保持不变，调配后两罐中气体的压强相等。求调配后
(1)两罐中气体的压强；
(2)甲罐中气体的质量与甲罐中原有气体的质量之比。
[解析] (1)假设乙罐中的气体被压缩到压强为p，其体积变为V1，由玻意耳定律有eq \f(1,2)p(2V)＝pV1①
现两罐气体压强均为p，总体积为(V＋V1)。设调配后两罐中气体的压强为p′，由玻意耳定律有
p(V＋V1)＝p′(V＋2V)②
联立①②式可得p′＝eq \f(2,3)p。③
(2)若调配后甲罐中的气体再被压缩到原来的压强p时，体积为V2，由玻意耳定律有
p′V＝pV2④
设调配后甲罐中气体的质量与甲罐中原有气体的质量之比为k，由密度的定义有k＝eq \f(V2,V)⑤
联立③④⑤式可得k＝eq \f(2,3)。
[答案] (1)eq \f(2,3)p (2)eq \f(2,3)
eq \a\vs4\al(类型四 漏气问题)
容器漏气过程中气体的质量不断发生变化，属于变质量问题，如果选容器内剩余气体和漏掉的气体为研究对象，便可使“变质量”转化成“定质量”问题。
[例4] 容器内装有1 kg的氧气，开始时，氧气压强为1.0×106 Pa，温度为57 ℃，因为漏气，经过一段时间后，容器内氧气压强变为原来的eq \f(3,5)，温度降为27 ℃，求漏掉多少千克氧气？
[解析] 由题意知，初状态气体质量m＝1 kg，压强p1＝1.0×106 Pa，温度T1＝(273＋57)K＝330 K，
经一段时间后温度降为T2＝(273＋27)K＝300 K，p2＝eq \f(3,5)p1＝eq \f(3,5)×1×106 Pa＝6.0×105 Pa，设容器的体积为V，以全部气体为研究对象，由理想气体状态方程得：eq \f(p1V,T1)＝eq \f(p2V′,T2)，
代入数据解得：
V′＝eq \f(p1VT2,p2T1)＝eq \f(1×106×300V,6×105×330)＝eq \f(50,33)V，
所以漏掉的氧气质量为：
Δm＝eq \f(ΔV,V′)×m＝eq \f(\f(50V,33)－V,\f(50V,33))×1 kg＝0.34 kg。
[答案] 0.34 kg
[课时跟踪检测]
一、立足主干知识，注重基础性和综合性
1．(2023·济宁高三质检)某探究小组同学尝试用如图所示装置测定大气压强。实验过程中温度保持不变。最初U形管两臂中的水银面齐平，烧瓶内密封体积为800 mL的理想气体，烧瓶中无水。当用注射器缓慢往烧瓶中注入200 mL的水，稳定后U形管两臂中的水银面出现25 cm的高度差。不计玻璃管中气体的体积，环境温度不变。则所测得的大气压强为( )
A．74 cmHg B．75 cmHg
C．75.5 cmHg D．76 cmHg
解析：选B 烧瓶中的气体初状态为p1＝p0，V1＝800 mL，注入水后p2＝p0＋25 cmHg，V2＝600 mL。由玻意耳定律可得p1V1＝p2V2，代入数值解得p0＝75 cmHg，B正确。
2.血压仪由加压气囊、臂带、压强计等构成，如图所示。加压气囊可将外界空气充入臂带，压强计示数为臂带内气体的压强高于大气压强的数值。充气前臂带内气体压强为大气压强，体积为V；每次挤压气囊都能将60 cm3的外界空气充入臂带中，经5次充气后，臂带内气体体积变为5V，压强计示数为150 mmHg。已知大气压强等于750 mmHg，气体温度不变。忽略细管和压强计内的气体体积。则V等于( )
A．30 cm3 B．40 cm3
C．50 cm3 D．60 cm3
解析：选D 设每次挤压气囊将体积为V0＝60 cm3的空气充入臂带中，压强计的示数为p′＝150 mmHg，则以充气后臂带内的空气为研究对象，由玻意耳定律得：p0V＋p0×5V0＝(p0＋p′)5V，代入数据解得：V＝60 cm3，故D正确，A、B、C错误。
3.如图所示，水平放置的封闭绝热汽缸，被一锁定的绝热活塞分为体积相等的a、b两部分。已知a部分气体为1 ml氧气，b部分气体为2 ml氧气，两部分气体温度相等，均可视为理想气体。解除锁定，活塞滑动一段距离后，两部分气体各自再次达到平衡态时，它们的体积分别为Va、Vb，温度分别为Ta、Tb。下列说法正确的是( )
A．Va>Vb，Ta>Tb B．Va>Vb，Ta0，由eq \f(pV,T)＝C知温度降低，即内能减少，ΔU