新高考数学二轮复习精讲精练专题04 数列的通项、求和及综合应用（2份打包，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习精讲精练专题04 数列的通项、求和及综合应用（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮复习精讲精练专题04数列的通项求和及综合应用原卷版doc、新高考数学二轮复习精讲精练专题04数列的通项求和及综合应用解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共86页， 欢迎下载使用。
数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有．其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度．往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合．在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．数列与数学归纳法的结合问题，也应适度关注．
【核心考点目录】
核心考点一：等差、等比数列的基本量问题
核心考点二：证明等差等比数列
核心考点三：等差等比数列的交汇问题
核心考点四：数列的通项公式
核心考点五：数列求和
核心考点六：数列性质的综合问题
核心考点六：实际应用中的数列问题
核心考点七：以数列为载体的情境题
【真题回归】
1．（2022·浙江·高考真题）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·全国·高考真题（文））记 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和．若 SKIPIF 1 < 0 ，则公差 SKIPIF 1 < 0 _______．
3．（2022·全国·高考真题）已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 是公比为2的等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求集合 SKIPIF 1 < 0 中元素个数．
4．（2022·全国·高考真题（理））记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和．已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
5．（2022·天津·高考真题）设 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)求 SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ．记 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若对于每个 SKIPIF 1 < 0 ，存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，求d的取值范围．
【方法技巧与总结】
1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （常数）（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）不能判断数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，需要补充证明 SKIPIF 1 < 0 ；
2、数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
3、数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为非零常数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
4、在处理含 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的式子时，一般情况下利用公式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；但是有些题目虽然要求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，但是并不便于运用 SKIPIF 1 < 0 ，这时可以考虑先消去 SKIPIF 1 < 0 ，得到关于 SKIPIF 1 < 0 的递推公式，求出 SKIPIF 1 < 0 后再求解 SKIPIF 1 < 0 ．
5、遇到形如 SKIPIF 1 < 0 的递推关系式，可利用累加法求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，遇到形如 SKIPIF 1 < 0 的递推关系式，可利用累乘法求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验．
6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式：
（1）形如 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），可变形为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，由此可以求出 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）形如 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），此类问题可两边同时除以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，从而变成 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，从而将问题转化为第（1）个问题；
（3）形如 SKIPIF 1 < 0 ，可以考虑两边同时除以 SKIPIF 1 < 0 ，转化为 SKIPIF 1 < 0 的形式，设 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，从而将问题转化为第（1）个问题．
7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为 SKIPIF 1 < 0 进行讨论．
8、用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．
常见的裂项公式：
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ；
（4） SKIPIF 1 < 0 ；
（5） SKIPIF 1 < 0 ．
9、用错位相减法求和时的注意点：
（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
（2）在写出“ SKIPIF 1 < 0 ”与“ SKIPIF 1 < 0 ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ SKIPIF 1 < 0 ”的表达式；
（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
10、分组转化法求和的常见类型：
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等差或等比数列，可采用分组求和法求 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和；
（2）通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，其中数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和；
（3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题．
11、在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 ．
在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 ．
12、前 SKIPIF 1 < 0 项和与积的性质
（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
= 1 \* GB3 ① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…也成等差数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 ．
= 2 \* GB3 ② SKIPIF 1 < 0 也是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ．
= 3 \* GB3 ③若项数为偶数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
若项数为奇数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0
= 1 \* GB3 ①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…也成等比数列，公比为 SKIPIF 1 < 0
= 2 \* GB3 ②相邻 SKIPIF 1 < 0 项积 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…也成等比数列，公比为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
= 3 \* GB3 ③若项数为偶数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；项数为奇数时，没有较好性质．
13、衍生数列
（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均是等差数列，且等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为常数．
= 1 \* GB3 ① SKIPIF 1 < 0 的等距子数列 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 也是等差数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 ．
= 2 \* GB3 ②数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 也是等差数列，而 SKIPIF 1 < 0 是等比数列．
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均是等比数列，且等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为常数．
= 1 \* GB3 ① SKIPIF 1 < 0 的等距子数列 SKIPIF 1 < 0 也是等比数列，公比为 SKIPIF 1 < 0 ．
= 2 \* GB3 ②数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
也是等比数列，而 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是等差数列．
14、判断数列单调性的方法
（1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）．
15、求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理）
方法 SKIPIF 1 < 0 ：利用数列的单调性；
方法2：设最大值项为 SKIPIF 1 < 0 ，解方程组 SKIPIF 1 < 0 ，再与首项比较大小．
【核心考点】
核心考点一：等差、等比数列的基本量问题
【规律方法】
利用等差数列中的基本量（首项，公差，项数），等比数列的基本量（首项，公比，项数）翻译条件，将问题转换成含基本量的方程或不等式问题求解．
【典型例题】
例1．（2022·全国·模拟预测）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B．3C．2D．1
例2．（2022·江西·临川一中高三阶段练习（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A．80B．100C．120D．143
例3．（2022·新疆·高三期中（理））已知一个项数为偶数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前4项之积为64，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．1或 SKIPIF 1 < 0
例4．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知公差不为零的等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前9项的和为（ ）
A．1B．2C．81D．80
例5．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例6．（2022·湖北·高三阶段练习）在公差不为零的等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例7．（2022·江苏无锡·高三期中）已知两个等差数列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ）
A．1460B．1472
C．1666D．1678
核心考点二：证明等差等比数列
【规律方法】
判断或证明数列是等差、等比数列常见的方法如下．
（1）定义法：对于 SKIPIF 1 < 0 的任意正整数：
①若 SKIPIF 1 < 0 为一常数，则 SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
②若 SKIPIF 1 < 0 为常数，则 SKIPIF 1 < 0 为等比数列．
（2）通项公式法：
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等比数列．
（3）中项公式法：
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等比数列．
（4）前 SKIPIF 1 < 0 项和法：若 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 满足：
① SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等差数列．
② SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等比数列．
【典型例题】
例8．（2022·吉林长春·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
例9．（2022·河南·高三期中（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
例10．（2022·全国·高三专题练习）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
例11．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理））现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．
(1)设乙接到球的次数为 SKIPIF 1 < 0 ，通过三次传球，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列与期望；
(2)设第 SKIPIF 1 < 0 次传球后，甲接到球的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，
（i）试证明数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
（ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．
例12．（2022·湖南·宁乡一中高三期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求其通项公式；
(3)求数列 SKIPIF 1 < 0 前10项中所有奇数项的和．
例13．（2022·河南·高三期中（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均不为0，其前 SKIPIF 1 < 0 项的乘积 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 为常数列，求这个常数；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式;
例15．（2022·全国·高三专题练习）问题：已知 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在数列 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，__________﹖若存在．求通项公式 SKIPIF 1 < 0 ﹔若不存在，说明理由．
在① SKIPIF 1 < 0 ﹔② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
核心考点三：等差等比数列的交汇问题
【规律方法】
在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可以达到减少运算量的目的．
【典型例题】
例16．（2022·河南·一模（理））已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间插入 SKIPIF 1 < 0 个数，使这 SKIPIF 1 < 0 个数组成一个公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，在数列 SKIPIF 1 < 0 中是否存在 SKIPIF 1 < 0 项 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 是公差不为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列）成等比数列？若存在，求出这 SKIPIF 1 < 0 项；若不存在，请说明理由．
例17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)判断数列 SKIPIF 1 < 0 中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论．
例18．（2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习）已知在正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
例19．（2022·湖北·高三期中）已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是等比数列， SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =______．
例20．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项利为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，1成等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______．
例21．（2022·上海·华东师范大学第一附属中学高三阶段练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 不为零，等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比 SKIPIF 1 < 0 是小于1的正有理数．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是正整数，则 SKIPIF 1 < 0 的值可以是______．
例22．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））对于集合A， SKIPIF 1 < 0 ，定义集合 SKIPIF 1 < 0 . 己知等差数列 SKIPIF 1 < 0 和正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．设数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中的所有项分别构成集合A， SKIPIF 1 < 0 ，将集合 SKIPIF 1 < 0 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前30项和 SKIPIF 1 < 0 _________.
例23．（2022·全国·模拟预测（文））设数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则它们的公共项由小到大排列后组成新数列 SKIPIF 1 < 0 ．在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中插入 SKIPIF 1 < 0 个数构成一个新数列 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，1， SKIPIF 1 < 0 ，3，5， SKIPIF 1 < 0 ，7，9，11， SKIPIF 1 < 0 ，…，插入的所有数构成首项为1，公差为2的等差数列，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前20项和 SKIPIF 1 < 0 ______．
核心考点四：数列的通项公式
【规律方法】
常见求解数列通项公式的方法有如下六种：
（1）观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式．
（2）累加法：形如 SKIPIF 1 < 0 的解析式．
（3）累乘法：形如 SKIPIF 1 < 0
（4）公式法
（5）取倒数法：形如 SKIPIF 1 < 0 的关系式
（6）构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差（比）数列构造为等差（比）数列来求通项公式．
【典型例题】
例24．（2022·上海市南洋模范中学高三期中）在数列 SKIPIF 1 < 0 中. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是其前n项和，当 SKIPIF 1 < 0 时，恒有 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ___________
例25．（2022·黑龙江·肇州县第二中学高三阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 _____________．
例26．（2022·福建·高三阶段练习）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
例27．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ______．
例28．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
例29．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
例30．（2022·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 是首项为1的正项数列且 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式_________
例31．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 ___________
例32．（2022·全国·高三专题练习）数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为_____________.
例33．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，则第n次由甲掷的概率 SKIPIF 1 < 0 ______（用含n的式子表示）．
核心考点五：数列求和
【规律方法】
求数列前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 的常见方法有以下四种．
（1）公式法：利用等差、等比数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和公式求数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和．
（2）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项．其方法核心有两点：一是裂项，将一个式子分裂成两个式子差的形式；二是要能相消．常见的裂项相消变换有以下形式．
①分式裂项： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
②根式裂项： SKIPIF 1 < 0 ；
③对数式裂项 SKIPIF 1 < 0 ；
④指数式裂项
（3）错位相减法
（4）分组转化法
【典型例题】
例34．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 均在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)令 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前2020项和 SKIPIF 1 < 0 .
例35．（2022·陕西渭南·一模（理））已知各项均为正数的数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .各项均为正数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
例36．（2022·陕西渭南·一模（文））已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
例37．（2022·全国·模拟预测）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
例38．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
例39．（2022·四川省蓬溪县蓬南中学高三阶段练习）给定数列 SKIPIF 1 < 0 ，若满足 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为“指数型数列”.若数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ；
(1)判断 SKIPIF 1 < 0 是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
例40．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为正常数），且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
例41．（2022·全国·高三专题练习） SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 表示不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大整数，如 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前2022项和.
例42．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
核心考点六：数列性质的综合问题
【典型例题】
例43．（2022·全国·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．-15B．-14C．-11D．-6
例44．（2022·福建三明·高三期中）设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项积为 SKIPIF 1 < 0 ，并满足条件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 中的最大值
C． SKIPIF 1 < 0 D．数列 SKIPIF 1 < 0 无最大值
例45．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 中的最大项为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例46．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例47．（2022·山西运城·高三期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且对于任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例48．（2022·山东聊城·高三期中）若函数 SKIPIF 1 < 0 使得数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为递增数列，则称函数 SKIPIF 1 < 0 为“数列保增函数”．已知函数 SKIPIF 1 < 0 为“数列保增函数”，则a的取值范围为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例49．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前5项积为32， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例50．（2022·北京八中高三阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例51．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，若对于任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
核心考点六：实际应用中的数列问题
【规律方法】
解数列应用题的一般步骤
（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
（2）根据题意数列问题模型．
（3）应用数列知识求解．
（4）将数列问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．
【典型例题】
例52．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，总房价1150万元.约定：2021年7月1日先付款150万元，以后每月1日都交付50万元，并加付此前欠款利息，月利率 SKIPIF 1 < 0 ，当付清全部房款时，各次付款的总和为（ ）
A．1205万元B．1255万元C．1305万元D．1360万元
例53．（2022·全国·高三专题练习）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
① SKIPIF 1 < 0
② SKIPIF 1 < 0
③2020年小王的年利润约为40000元
④两年后，小王手中现款约达41万
A．②③④B．②④C．①②④D．②③
例54．（2022·全国·高三专题练习）为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
A．32500元B．40000元C．42500元D．50000元
例55．（2022·云南昭通·高三阶段练习（文））某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（ ）
A．2806万元B．2906万元C．3106万元D．3206万元
例56．（2022·全国·高三专题练习）在流行病学中，基本传染数 SKIPIF 1 < 0 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数． SKIPIF 1 < 0 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于 SKIPIF 1 < 0 ，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数 SKIPIF 1 < 0 ，平均感染周期为7天（初始感染者传染 SKIPIF 1 < 0 个人为第一轮传染，经过一个周期后这 SKIPIF 1 < 0 个人每人再传染 SKIPIF 1 < 0 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）（ ）
A．35B．42C．49D．56
核心考点七：以数列为载体的情境题
【规律方法】
1、应用数列知识解决此类问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——等差、等比数列模型．
2、需要读懂题目所表达的具体含义，观察给定数列的特征，进而判断出该数列的通项与求和公式．
3、求解时要明确目标，认清是求和、求通项、还是解递推关系问题，然后通过数学推理与计算得出结果，并回归实际问题中，进行检验，最终得出结论．
【典型例题】
例57．（2022·上海市行知中学高三期中）定义：对于各项均为整数的数列 SKIPIF 1 < 0 ，如果 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 =1，2，3，…)为完全平方数，则称数列 SKIPIF 1 < 0 具有“ SKIPIF 1 < 0 性质”；不论数列 SKIPIF 1 < 0 是否具有“ SKIPIF 1 < 0 性质”，如果存在数列 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不是同一数列，且 SKIPIF 1 < 0 满足下面两个条件：
（1） SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个排列；
（2）数列 SKIPIF 1 < 0 具有“ SKIPIF 1 < 0 性质”，则称数列 SKIPIF 1 < 0 具有“变换 SKIPIF 1 < 0 性质”.给出下面三个数列：
①数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ；
②数列 SKIPIF 1 < 0 ：1，2，3，4，5；
③数列 SKIPIF 1 < 0 ：1，2，3，4，5，6.
具有“ SKIPIF 1 < 0 性质”的为________；具有“变换 SKIPIF 1 < 0 性质”的为_________.
例58．（2022·江苏·沭阳县建陵高级中学高三阶段练习）在数列的每相邻两项之间插入这两项的和，组成一个新的数列，这样的操作叫做这个数列的一次“拓展”.先将数列1，2进行拓展，第一次拓展得到 SKIPIF 1 < 0 ；第二次拓展得到数列 SKIPIF 1 < 0 ；第 SKIPIF 1 < 0 次拓展得到数列 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ___________， SKIPIF 1 < 0 ___________.
例59．（2022·河北唐山·三模）角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 SKIPIF 1 < 0 ．如取正整数 SKIPIF 1 < 0 ，根据上述运算法则得出 SKIPIF 1 < 0 ，共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 （m为正整数）， SKIPIF 1 < 0 ①若 SKIPIF 1 < 0 ，则使得 SKIPIF 1 < 0 至少需要_______步雹程；②若 SKIPIF 1 < 0 ；则m所有可能取值的和为_______．
例60．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 为1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 SKIPIF 1 < 0 ，接下来的两项是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再接下来的三项是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，依此规律类推．若其前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，则称k为 SKIPIF 1 < 0 的一个理想数．将 SKIPIF 1 < 0 的理想数从小到大依次排成一列，则第二个理想数是______；当 SKIPIF 1 < 0 的项数 SKIPIF 1 < 0 时，其所有理想数的和为______．
例61．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“ SKIPIF 1 < 0 数列”.已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ___________；若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且数列 SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 数列”，则t的取值范围是___________.
例62．（2022·全国·模拟预测）将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级Kch曲线“”，将1级Kch曲线上每一线段重复上述步骤得到2级Kch曲线，同理可得3级Kch曲线（如图1），…，Kch曲线是几何中最简单的分形．若一个图形由N个与它的上一级图形相似，相似比为r的部分组成，称 SKIPIF 1 < 0 为该图形分形维数，则Kch曲线的分形维数是________．（精确到0.01， SKIPIF 1 < 0 ）在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花（如图2）飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Kch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Kch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3），…，依次得到n级Kn（ SKIPIF 1 < 0 ）角雪花曲线．若正三角形边长为1，则n级Kn角雪花曲线的周长 SKIPIF 1 < 0 ________．
【新题速递】
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B．50C．100D．2525
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（ ）
A．17B．18C．19D．20
3．（2022·江苏·常熟市中学高三阶段练习）等差数列 SKIPIF 1 < 0 各项均为正数，首项与公差相等， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．9069B．9079C．9089D．9099
4．（2022·浙江·绍兴市越州中学高三阶段练习）记 SKIPIF 1 < 0 表示不超过实数 SKIPIF 1 < 0 的最大整数，如 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·上海市洋泾中学高三阶段练习）设等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，首项 SKIPIF 1 < 0 ，实系数一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的两根为 SKIPIF 1 < 0 ．若存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则公比 SKIPIF 1 < 0 的取值可能为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·全国·高三阶段练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前n项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则满足 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．16B．15C．14D．13
8．（2022·福建省福州第十一中学高三期中）已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），且 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
9．（2022·江苏盐城·模拟预测）设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，前n项积为 SKIPIF 1 < 0 ，并满足条件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 中的最大值
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则n最大为4038．
10．（2022·江苏南京·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．（2022·山西临汾·高三阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是等差数列
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是等比数列
C．若 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
12．（2022·山东·微山县第二中学高三期中）设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，前n项积为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足条件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为递减数列B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 中的最大项D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
13．（2022·全国·模拟预测）已知正实数b是实数a和实数c的等差中项，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
14．（2022·全国·模拟预测）若定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 恰有 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）个根 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，2，…， SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ___________.
15．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，前n项积为 SKIPIF 1 < 0 ，则使不等式 SKIPIF 1 < 0 成立的n的最大值为___________.
16．（2022·河北·高三期中）定义n个正数 SKIPIF 1 < 0 的“均倒数”为 SKIPIF 1 < 0 ，若各项均为正数的数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项的“均倒数”为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为______
四、解答题
17．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，公比为q， SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
18．（2022·全国·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均不为零， SKIPIF 1 < 0 ，前n项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
19．（2022·全国·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的前n项和.
20．（2022·全国·模拟预测）在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列这三个条件中选出两个，补充在下面的横线上，并解答这个问题.
问题：已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，___________.
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
21．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
22．（2022·上海市洋泾中学高三阶段练习）已知各项均为正数的数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若对任意正整数 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 成立，求 SKIPIF 1 < 0 ．
23．（2022·江苏盐城·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，且 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和．