新高考数学二轮复习精讲精练专题05 数列放缩（2份打包，原卷版+解析版）

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数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形；在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠拢．
【核心考点目录】
核心考点一：先求和后放缩
核心考点二：裂项放缩
核心考点三：等比放缩
核心考点四：型不等式的证明
核心考点五：型不等式的证明
核心考点六：型不等式的证明
核心考点七：型不等式的证明
【真题回归】
1、（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
【解析】（1）当时，，则，
当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为.
（2）设，则，
又，设，
则，
若，则，
因为为连续不间断函数，
故存在，使得，总有，
故在为增函数，故，
故在为增函数，故，与题设矛盾.
若，则，
下证：对任意，总有成立，
证明：设，故，
故在上为减函数，故即成立.
由上述不等式有，
故总成立，即在上为减函数，
所以.
当时，有，
所以在上为减函数，所以.
综上，.
（3）取，则，总有成立，
令，则，
故即对任意的恒成立.
所以对任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
2、（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【解析】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
3、（2021·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
【解析】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以，所以，
所以；
设等比数列的公比为，
所以，解得（负值舍去），
所以；
（II）（i）由题意，，
所以，
所以，且，
所以数列是等比数列；
（ii）由题意知，，
所以，
所以，
设，
则，
两式相减得，
所以，
所以.
4、（2021·全国·高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【解析】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
【方法技巧与总结】
常见放缩公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
（15）二项式定理
①由于，
于是
②，
；
，
（16）糖水不等式
若，则；若，则．
【核心考点】
核心考点一：先求和后放缩
例1．（2022·全国·模拟预测）己知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且数列的前n项和为，证明：.
【解析】（1）设数列的公比为q，
由，，成等差数列可得，
故，解得，
由可得，
解得，故，即数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，
故.
当时，取得最大值，当时，
，
故.
例2．（2022·江苏南京·模拟预测）记数列的前项和为，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：.
【解析】（1）由，两边同时除以可得：，
故数列为以为公差的等差数列，则，即，
当时，，
将代入上式，可得，则满足上式，
故数列的通项公式.
（2）由，则，即，
，
，
两式相减可得，
，
则，
由（1）可得，
，
令，，则数列为递增数列，
，则，即；
，
令，易知数列为递减数列，，则，即.
综上，不等式恒成立.
例3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列满足，的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记，证明：.
【解析】（1）依题意，
，
，
所以数列是首项为，
公比为的等比数列，所以，
当时，由得，
两式相减并化简得，
也符合上式，所以.
（2），
，
，
两式相减得，
所以
.
例4．（2022·黑龙江·海伦市第一中学高三期中）在各项均为正数的数列中，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，证明：．
【解析】（1）因为各项为正数，，
所以上式两边同时除以，得，
令，则，即，解得（负值舍去），
所以，
又，
所以是以，的等比数列，
故.
（2）由（1）得，
所以，
因为，则，所以.
例5．（2022·山西临汾·高三阶段练习）在各项均为正数的等比数列中，为其前n项和，，，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，证明：．
【解析】（1）设数列的公比为q，由题意知，
即，
因为，，所以，所以，所以．
（2）证明：由（1）得，所以，
所以，
所以．
显然单调递增，所以，
因为，所以，所以．
例6．（2022·浙江·慈溪中学高三期中）已知数列的前项和为，若，
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
【解析】（1）当时，
相减得
当时，符合上式
所以.
当时，
当时，符合上式.
故
（2）由（1）知：
所以
核心考点二：裂项放缩
例7．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）已知为数列的前项和，且，数列前项和为，且，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，设数列的前项和为，求；
(3)证明：.
【解析】（1）由，
当时，，
当时，，
检验时，，所以；
因为，（），
所以，即（），
而，故满足上式，
所以是以，公比等于的等比数列，即；
（2）因为，
所以，
所以
；
（3）因为，
.
所以 ，
，
因为，，所以，
即，即证：；
综上，，， .
例8．（2022·山东·济宁市育才中学高三开学考试）已知数列{an}的前n项和为Sn，且，a1＝1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设，数列{bn}的前n项和为Tn，证明．
【解析】（1）因为，所以.
两式相减，得，
即
所以当时，，
在中，令，得，
所以，
又满足，所以
所以，
故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，且.
（2），
所以，
当时，，
当时，，
所以.
例9．（2022·天津一中高三阶段练习）已知数列满足记.
(1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
(3)设，记数列的前项和为，求证：.
【解析】（1）证明：因为，
所以，
又，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以.
（2）
（3）
例10．（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））记数列​前​项和为，.
(1)证明：​为等差数列；
(2)若​，记​为数列​的前​项积，证明：​.
【解析】（1）由题意，得​.
则​.
两式相减，得​，
即​，
​是等差数列.
（2）因为，由（1）知（也符合此式）
故数列的通项公式为
则
所以
故，得证.
例11．（2022·河南·模拟预测（理））若数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【解析】（1）因为，，
所以，
故；
（2）证明：当n＝1时，；
当时，，
则，
故；
综上，.
核心考点三：等比放缩
例12．（2022·重庆八中高三阶段练习）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
【解析】（1），，即；
当且时，，
即，，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，则.
（2）由（1）得：，
，，
.
例13．（2022·广东·高三阶段练习）已知数列的首项为1，为数列的前n项和，，其中．
(1)若成等差数列，求的通项公式；
(2)设数列满足，且，数列的前n项和为，证明：．
【解析】（1）由得，两式相减得，
由可得，故对所有都成立，
所以数列是首项为1，公比为q的等比数列，从而，
由成等差数列可得，化简得，
又，解得（舍去），
所以．
（2）由题意可知，
由可得，解得（舍去），
又，则，即，
则，
即．
例14．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且.
(1)求的通项公式，并证明数列是等比数列；
(2)若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.
(3)求证：对于任意正整数，.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由，可得，解得或（舍去），
．
又，则，
由，可得，，
数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可得
，
设的前项和为，
则
，
当为奇数时，随着的增大而减小，可得，
当为偶数时，随着的增大而增大，可得，
的最大值为，最小值为．
（3）证明：因为数列是以为首项，为公比的等比数列，
，．
所以，
所以
，
所以．
例15．（2022·浙江大学附属中学高三期中）记为数列的前项和，已知，是公差为2的等差数列.
(1)求证为等比数列，并求的通项公式；
(2)证明：.
【解析】（1）因为是公差为2的等差数列，，
所以，
当时，，
两式相减得，，即，
故，又，
所以是首项为，公比为的等比数列，
故，则.
（2）因为，所以，则，即，
所以.
例16．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列满足，当时，，的前项和为.
(1)求数列的通项公式及；
(2)数列是等比数列，为数列的公比，且，记，证明：
【解析】（1）当时，累加可得且当时，符合，.
由等差数列前项和的公式可得：
（2）由（1）得，
对于左边，，又，
对于右边，,
.
综上：成立.
例17．（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三开学考试）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记数列的前项和为，证明：．
【解析】（1）因为，所以，
所以，
因为，所以，，
故数列为等比数列，首项为，公比为2；
（2）由（1）可知，所以，
所以．
核心考点四：型不等式的证明
例18．（2022·山东省实验中学模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最大值；
(2)若关于x的方程有实数根，求实数k的取值范围；
(3)证明：．
【解析】（1），当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减
所以，即当时，取最大值1．
（2）依题意，，令，，
当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，
即，因此的值域是，方程有解，有，
所以实数k的取值范围是.
（3）由（1）知，当且仅当时取等号，因此当时，，
即当时，，，
所以．
例19．（2022·全国·高三专题练习）设各项均为正数的数列的前项和为，满足.
(1)求的值：
(2)求数列的通项公式：
(3)证明：对一切正整数，有.
【解析】（1）令，，则舍去，所以.
（2），因为数列各项均为正数，舍去，，当时，，
（3）令，所以
例20．（2022·上海·模拟预测）在数列中，，其中．
(1)设，证明数列是等比数列；
(2)记数列的前n项和为，试比较与的大小．
【解析】（1），由得：，而，
则，整理得，而，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）由（1）知，，于是得，，
因此，，
令，显然数列是递增数列，而，
即时，，，当时，，
所以，当时，，当时，.
例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
【解析】（1）当时，，则，
当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为.
（2）设，则，
又，设，
则，
若，则，
因为为连续不间断函数，
故存在，使得，总有，
故在为增函数，故，
故在为增函数，故，与题设矛盾.
若，则，
下证：对任意，总有成立，
证明：设，故，
故在上为减函数，故即成立.
由上述不等式有，
故总成立，即在上为减函数，
所以.
当时，有，
所以在上为减函数，所以.
综上，.
（3）取，则，总有成立，
令，则，
故即对任意的恒成立.
所以对任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
例22．（2022·湖南·周南中学高三阶段练习）已知函数．
(1)求函数的最大值；
(2)证明：
【解析】（1）因为定义域为，所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即当时，取最大值1．
（2）证明：由（1）知，当且仅当时取等号，因此当时，，
即当时，，
所以，
所以
．
例23．（2022·全国·高三专题练习）已知单调递减的正项数列，时满足． 为前n项和．
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
【解析】（1）由，
得，
即，
由是单调递减的正项数列，得，
则，即，
故是以为首项，1为公差的等差数列，
则，即.
（2）要证：，
只需证：，
即证：，
即证：，
即证：，
即证：，
即证：，
而此不等式显然成立，
所以成立.
例24．（2022·广东·铁一中学高三阶段练习）记为数列的前项和，已知是首项为3，公差为1的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，.
【解析】（1）∵是首项为3，公差为1的等差数列，∴，
∴.∴当时，，.
又不满足，
∴的通项公式.
（2）当时，，
，
∴，
∴.
例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列和满足，且对任意都有，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)证明：．
【解析】（1）对任意都有，，．，即．数列是首项为，公差为1的等差数列．，且，．．，，
（2），，．所证不等式，即．①先证右边不等式：．令，则．当时，，所以函数在上单调递减．当时，，即．分别取．得．即．也即．即．②再证左边不等式：．令，则．当时，，所以函数在上单调递增．当时，，即．分别取．得．即．也即．即．．
例26．（2022·福建·莆田第五中学高三期中）数列满足，.
(1)求数列前项和；
(2)证明：对任意的且时，
【解析】（1）当时，
当时，
两式相减得：
所以，又符合此式，
综上所述，
所以数列为等比数列，首项为1，公比为，所以
（2）由（1）可知，所以
故只需证明
下面先证明对任意的且都有
记，则在上恒成立，
所以在上是增函数，又，故
当且时，，所以，即
所以，，…，累加的原式得证
例27．（2022·天津河西·高三期中）设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝，已知a1，3a2，9a3成等差数列．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜．
(3)求证：
【解析】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，设公比为，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
（3）由（1）知，
，
，当时，显然，当时，
.
综上：.
核心考点五：型不等式的证明
例28．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数.
（1）判断函数的单调性；
（2）已知数列，，求证：.
【解析】（1）的定义域为，.
设.
∵，∴当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴在处取得最大值.
又∵，∴对任意的，恒成立，即对任意的，都有
恒成立，故在定义域上是减函数.
（2）由是减函数，且可得，当时，，
∴，即，
两边同除以得，即，
从而，
所以. ①
下面证.
记，，
∴.
∵在上单调递减，而，
∴当时，恒成立，
∴在上单调递减，即，，
∴当时，.
∵，
∴当时，，即. ②
综合①②可得，.
例29．（2022·黑龙江·大庆一中高二阶段练习（理））已知曲线Cn：x2﹣2nx+y2=0，（n=1，2，…）.从点P（﹣1，0）向曲线Cn引斜率为kn（kn>0）的切线ln，切点为Pn（xn，yn）.
(1)求数列{xn}与{yn}的通项公式；
(2)证明：.
【解析】(1)设直线ln：y=kn（x+1），联立x2﹣2nx+y2=0，
得（1+kn2）x2+（2kn2﹣2n）x+kn2=0，
则△=（2kn2﹣2n）2﹣4（1+kn2）kn2=0，
∴kn（负值舍去），
可得xn，yn=kn（1+xn）；
(2)证明：，
由4n2>4n2﹣1，即为，
即有，
x1x3x5…x2n﹣1，
可得x1x3x5…x2n﹣1；
由，设f（x）=xcsx，
f′（x）=1sinx，由0，
可得sinx>0，即f′（x）>0，f（x）在（0，]递增，
由f（0）0，f（）cs（cscs）