新高考数学二轮复习精讲精练思想02 运用数形结合的思想方法解题（2份打包，原卷版+解析版）

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高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．
【核心考点目录】
核心考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点
核心考点二：解不等式、求参数范围、最值问题
核心考点三：解决以几何图形为背景的代数问题
核心考点四：解决数学文化、情境问题
【真题回归】
1．（2022·北京·统考高考真题）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．P为 SKIPIF 1 < 0 所在平面内的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆上运动，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：D

2．（2022·天津·统考高考真题）设 SKIPIF 1 < 0 ，对任意实数x，记 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 至少有3个零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ．
要使得函数 SKIPIF 1 < 0 至少有 SKIPIF 1 < 0 个零点，则函数 SKIPIF 1 < 0 至少有一个零点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，作出函数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示：
此时函数 SKIPIF 1 < 0 只有两个零点，不合乎题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，设函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
要使得函数 SKIPIF 1 < 0 至少有 SKIPIF 1 < 0 个零点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，作出函数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示：
由图可知，函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数为 SKIPIF 1 < 0 ，合乎题意；
④当 SKIPIF 1 < 0 时，设函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
要使得函数 SKIPIF 1 < 0 至少有 SKIPIF 1 < 0 个零点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，C的上顶点为A，两个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．过 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直线与C交于D，E两点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长是________________．
【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 为正三角形，∵过 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直线与C交于D，E两点， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，∴直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，斜率倒数为 SKIPIF 1 < 0 ， 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程： SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，整理化简得到： SKIPIF 1 < 0 ，
判别式 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， 得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，根据对称性， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的周长等于 SKIPIF 1 < 0 的周长，利用椭圆的定义得到 SKIPIF 1 < 0 周长为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：13．

4．（2022·浙江·统考高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】以圆心为原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2022·天津·统考高考真题）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D是AC中点， SKIPIF 1 < 0 ，试用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 为___________，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为____________
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【解析】方法一：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
方法二：如图所示，建立坐标系：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切时， SKIPIF 1 < 0 最大，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
【方法技巧与总结】
1、以形助数（数题形解）：借助形的生动性和直观性来阐述数与形之间的关系，把抽象问题具体化，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想．
2、以数辅形（形题数解）：借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性，把直观图形数量化，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想．
【核心考点】
核心考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点
【典型例题】
例1．（2023·河北衡水·高三周测）设 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则在区间 SKIPIF 1 < 0 内关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 的根的个数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，分别作出函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象，如图所示，
则由图象可知两个函数的图象的交点个数为 SKIPIF 1 < 0 个，即方程 SKIPIF 1 < 0 的零点个数为 SKIPIF 1 < 0 个．
故选：D．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点在 SKIPIF 1 < 0 的图象上，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设函数 SKIPIF 1 < 0 任意一点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
而P在函数 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
在 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象相交有2个交点；
在 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象相交有2个交点，
故函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象相交有4个交点时的 SKIPIF 1 < 0 的范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．

例3．（2023·上海·高三专题练习）已知函数f（x）＝x2＋ex－ SKIPIF 1 < 0 （x