新高考数学二轮复习巩固练习05 数列经典题型精练（2份打包，原卷版+解析版）

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1、给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.
2、在利用放缩法证明数列不等式时，要注意放缩的方向，在放缩方向明确之后，放大得太多，或者缩小得太多，可以适当进行调整，比如从第二项开始放缩或者第三项开始放缩.
3、几种常见的数列放缩方法：
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ；
（4） SKIPIF 1 < 0 ；
（5） SKIPIF 1 < 0 ；
（6） SKIPIF 1 < 0 ；
（7） SKIPIF 1 < 0 ；
（8） SKIPIF 1 < 0 ；
（9） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
（10） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
（11） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
（12） SKIPIF 1 < 0 ；
（13） SKIPIF 1 < 0 .
【典型例题】
例1．（2023·上海·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 各项均为正数， SKIPIF 1 < 0 为前n项的和，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）设 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项积，是否存在实数a，使得不等式 SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．
例2．（2023·浙江·高三开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
例3．（2023·浙江·温州中学高三阶段练习）如图，已知曲线 SKIPIF 1 < 0 及曲线 SKIPIF 1 < 0 ．从 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 作直线平行于 SKIPIF 1 < 0 轴，交曲线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，再从点 SKIPIF 1 < 0 作直线平行于 SKIPIF 1 < 0 轴，交曲线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标构成数列 SKIPIF 1 < 0
（Ⅰ）试求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的关系，并证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
例4．（2023·浙江·慈溪中学高三期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是公差大于0的等差数列，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 成等比数列．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则是否存在正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成等差数列？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由．
例5．（2023·江西·高三阶段练习（理））已知首项为1的数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（3）若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
例6．（2023·浙江·无高三期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若对任意的正整数 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【过关测试】
1．（2023·山东日照·高三校联考期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为非零实数，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，并求其前 SKIPIF 1 < 0 项和.
2．（2023·全国·高三专题练习）若正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
4．（2023·广西梧州·统考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 .
5．（2023·全国·高三专题练习）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”．如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a、b、c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为 SKIPIF 1 < 0 ，所有项的和记为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求n的最小值；
(3)是否存在实数a、b、c，使得数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列？若存在，求a、b、c满足的条件；若不存在，说明理由．
6．（2023·全国·高三专题练习）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
7．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
8．（2023·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，证明：
(1)数列 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
10．（2023·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 其前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且分别满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
(2)将数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的各项按 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 … SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 顺序排列组成数列 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
11．（2023·山东滨州·高三统考期末）设公差不为0的等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求满足条件 SKIPIF 1 < 0 的正整数 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
12．（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前n项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的所有数对 SKIPIF 1 < 0 ．
13．（2023·福建·统考一模）已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)将数列 SKIPIF 1 < 0 和数列 SKIPIF 1 < 0 中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的前50项和．
14．（2023·辽宁·校联考模拟预测）记正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前2n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
15．（2023·湖北武汉·高三统考期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和
(1)求证： SKIPIF 1 < 0
(2)求使得 SKIPIF 1 < 0 成立的正整数 SKIPIF 1 < 0 的最大值
16．（2023·湖南株洲·高三校联考期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
17．（2023·天津北辰·高三校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)记 SKIPIF 1 < 0 ．是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；若不存在，说明理由．
18．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）在① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且______，
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
20．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式的各项系数和构成数列 SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 对任意的正整数 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．