新高考数学二轮复习巩固练习09 导数解答题之恒成立与能成立问题（2份打包，原卷版+解析版）

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1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（4） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 ；
（4）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 的值域的子集.
【典型例题】
例1．（2023春·浙江·高三开学考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题易得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得:
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 式等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
所以只需 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
综上，实数m的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
例2．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求f(x)在（ SKIPIF 1 < 0 ，0）上的极值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求实数a的取值范围
【解析】（1）若 SKIPIF 1 < 0 x，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即g(x)在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以f'(x)在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 所以f(x)在（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）上单调递增，在（ SKIPIF 1 < 0 ，0）上单调递减．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以f(x)的极大值是 SKIPIF 1 < 0
（2）由（1）可知函数 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
易知 SKIPIF 1 < 0 为偶函数．
所以f'(x)在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以f(x)在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意;
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，所以f(x)在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意．
综上，实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
例3．（2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数.
（2） SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不满足条件.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 满足条件.
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 .
综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
例4．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 为正整数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求正整数 SKIPIF 1 < 0 的取值的集合.
（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ）
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，此时满足 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 满足条件.
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一的零点 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上，正整数 SKIPIF 1 < 0 的取值的集合为 SKIPIF 1 < 0
例5．（2023·全国·高三专题练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，记 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在整数t，使得关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 有解?若存在，请求出t的最小值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意得函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减.
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
若关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 有解，则 SKIPIF 1 < 0 ，又t为整数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在整数t满足题意，且t的最小值为0.
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(2)求证: SKIPIF 1 < 0 ;对 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 总成立.
【解析】（1）解:由题可知 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立,
因为 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
故只要 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立,
令 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单增,
在 SKIPIF 1 < 0 上单减,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ;
（2）由题意, 因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以只要找出 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ;
SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 即可,
当 SKIPIF 1 < 0 时,显然成立;
现证 SKIPIF 1 < 0 ,满足题意,
即证当 SKIPIF 1 < 0 时,若 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 成立,
若 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 也成立,
当 SKIPIF 1 < 0 时,
若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立,
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单增,
故 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 成立;
当 SKIPIF 1 < 0 时,
若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由(1)知当 SKIPIF 1 < 0 时,
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
因为 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ,
即等价于 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
故当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
因为当 SKIPIF 1 < 0 时,
SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即当 SKIPIF 1 < 0 时,也有 SKIPIF 1 < 0 ．
综上, SKIPIF 1 < 0 ,对 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 总成立．
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，对任意 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，求实数m的取值范围．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
综上：当 SKIPIF 1 < 0 时，单调递减区间有 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间有 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，单调递减区间有 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，单调递增区间有 SKIPIF 1 < 0 ，无单调递减区间；
当 SKIPIF 1 < 0 时，单调递减区间有 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，
由（1）得函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在区间 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
从而函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
即存在 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，
即存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
例8．（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间；
(2)对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
等号仅在 SKIPIF 1 < 0 时取得，
综上， SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间是 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则问题等价于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；
【过关测试】
1．（2023秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直，求 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的极值点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 递增；
在区间 SKIPIF 1 < 0 递减.
所以 SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
极小值为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）若 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的极值点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的正根 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的正根 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
依题意， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)证明：存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，且方程 SKIPIF 1 < 0 有唯一的实根．
【解析】（1）由题意， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
再由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立.
综上所述：存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，且方程 SKIPIF 1 < 0 有唯一的实根．
3．（2023秋·湖北·高三统考期末）设函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最值；
(2)对 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，对于 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，此时 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意
综上所述，a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的最值；
(2)若关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数k的取值范围．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，无最大值.
（2）由 SKIPIF 1 < 0 的定义域可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
等价于 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在唯一 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，也即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，由(1)知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
5．（2023·浙江·统考一模）设函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时,证明: SKIPIF 1 < 0 ;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ,求a的取值范围．
【解析】（1）解:由题知 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
记 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递增,
SKIPIF 1 < 0 上, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 单调递减,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ,得证;
（2）由题,不妨记 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ;
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 有小于零的函数值,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ,故不符合题意舍,
下证 SKIPIF 1 < 0 符合题意:
①若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ;
②若 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 单调递增,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 单调递减,
故 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
将 SKIPIF 1 < 0 替换 SKIPIF 1 < 0 代入上不等式可有: SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
记 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 单调递增,
则 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,又有 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 成立,
当 SKIPIF 1 < 0 时,因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
记 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增,则 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
综上所述: SKIPIF 1 < 0 .
6．（2023·四川凉山·统考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】（1）因 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
即函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取最小值，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为0．
（2）由（1）小题结论可知 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
则 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以不等式成立.
（3）由题可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立
等价于不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则命题等价于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时能取等号，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
7．（2023秋·山东烟台·高三统考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导函数.
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 的根为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
综上所述，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
（2）存在实数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
于是，原命题可转化为存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上成立，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
8．（2023·广东广州·统考二模）已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求导得： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，在 SKIPIF 1 < 0 上递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的递增区间是 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的递增区间是 SKIPIF 1 < 0 ，递减区间是 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，原不等式等价于 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
而 SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
综上得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
9．（2023秋·江西·高三校联考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，证明：对于任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立.（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ）
【解析】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 定义域为R， SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
综上：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
（2）证明:因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
则要证 SKIPIF 1 < 0 对于任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即证 SKIPIF 1 < 0 对于任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即证 SKIPIF 1 < 0 对于任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即证 SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值，也是最大值，
故 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .故 SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
10．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是非零实数.
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域上的单调性;
(2)若关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
综上所述：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
（2）令 SKIPIF 1 < 0 .由题 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故不合题意.
②当 SKIPIF 1 < 0 时，则不等式恒成立的必要条件为： SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
注意到 SKIPIF 1 < 0 ，故由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 .
下证充分性：
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
所以 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
综上所述： SKIPIF 1 < 0 .
11．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .（注： SKIPIF 1 < 0 …是自然对数的底数）
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 只有一个极值点，求实数m的取值范围；
(3)若存在 SKIPIF 1 < 0 ，对与任意的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【解析】（1）（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题意知 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个根且 SKIPIF 1 < 0 有正有负，
构建 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 有一个零点，即为 SKIPIF 1 < 0 的一个极值点；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 无极值点；
③当 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数.
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有两个零点，此时 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 无极值点；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 .
（3）由题意知，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则当 SKIPIF 1 < 0 取最大值时， SKIPIF 1 < 0 取到最小值.
当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 无最小值，即 SKIPIF 1 < 0 无最小值；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由（2）得 SKIPIF 1 < 0 只有一个零点 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
12．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立？若存在，求 SKIPIF 1 < 0 的取值集合，若不存在请说明理由.
【解析】（1）证明：令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
若存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时，由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 不恒为零，、
此时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，合乎题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不合乎题意；
③当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ，则存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 时，可取 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
因此，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不合乎题意.
综上所述，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值集合为 SKIPIF 1 < 0 .
13．（2023·全国·高三专题练习）已知当 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，“=”成立．设 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，总有 SKIPIF 1 < 0 ，求实数m的取值范围；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，证明：存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得，当 SKIPIF 1 < 0 时，总有 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，要使 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以实数m的取值范围 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，则存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)试讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 成立，试求b的最大值．
【解析】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内恒成立，
SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递增， SKIPIF 1 < 0 无极值．
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递减，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值，且极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，无极小值．
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 无极值；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，无极小值．
（2）由 SKIPIF 1 < 0 知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递增．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据零点存在定理可得，
存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两边取对数可得
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 成立， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为0．
15．（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)若不等式 SKIPIF 1 < 0 有解，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】（1）由于 SKIPIF 1 < 0 图像上各点切线斜率的最大值为2，
即 SKIPIF 1 < 0 取得最大值为2，
由题可知 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的二次函数，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 此时 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值．
（2） SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 有解，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内恒成立，
SKIPIF 1 < 0 要求 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则只需 SKIPIF 1 < 0 即可，即 SKIPIF 1 < 0 ，等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的取值范围是： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)曲线 SKIPIF 1 < 0 上是否存在不同两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线AB与曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线平行？若存在，求出A、B坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，舍去，
此时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
综上：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为函数曲线上的不同两点，故 SKIPIF 1 < 0 ，
直线AB的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
接下来证明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，恒成立，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
构造 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，恒成立，
从而不存在不同两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线AB与曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线平行.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（I）求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程：
（II）证明 SKIPIF 1 < 0 存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 成立，求实数b的取值范围．
【解析】（I） SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（II）令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，画出 SKIPIF 1 < 0 大致图像如下：
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 仅有一个交点，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的极大值点，故 SKIPIF 1 < 0 存在唯一的极值点；
（III）由（II）知 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
若存在a，使得 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 成立，等价于存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数b的取值范围 SKIPIF 1 < 0 .