新高考数学二轮复习巩固练习11 导数解答题之极最值问题（2份打包，原卷版+解析版）

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1、利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作．
【典型例题】
例1．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为非零常数），记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，证明： SKIPIF 1 < 0 且所有点 SKIPIF 1 < 0 在一条定直线上；
(3)若函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都存在极小值，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
例2．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在极值点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
例3．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求证；函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴相切于原点；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 各恰有一个极值点，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ，且不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，试求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
例5．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）已知函数f（x）＝ae﹣x+lnx﹣1（a∈R）．
(1)当a≤e时，讨论函数f（x）的单调性：
(2)若函数f（x）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1+x2≤2ln3，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
例6．（2023·重庆·统考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的零点个数；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，记 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
例7．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域上单调递增,求 SKIPIF 1 < 0 的最大值;
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域上有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
例8．（2023秋·山西运城·高三统考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 恒成立；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，讨论 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的极值点个数．
【过关测试】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中a为大于0的常数，若 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 取得极小值，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的所有零点；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，证明函数 SKIPIF 1 < 0 不存在极值．
3．（2023·四川内江·统考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求f（x）的单调递增区间：
(2)若函数f（x）恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为M、m，求证： SKIPIF 1 < 0 .
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 为常数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在定义域内有两个极值点.
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）设函数 SKIPIF 1 < 0 的两个极值点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的范围.
5．（2023·四川攀枝花·统考二模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的唯一极值点，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ．
①求m的取值范围；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
7．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 .
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个极值
（i）求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（ii）求 SKIPIF 1 < 0 极大值的取值范围.
(2)对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上是凸函数.利用上述定义证明，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是凸函数.
9．（2023秋·黑龙江绥化·高三校考期末）已知实数 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数.
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 存在极值点 SKIPIF 1 < 0 ，并求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
10．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为实数， SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导函数， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个极值点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
11．（2023·福建·统考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的极值点个数；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
12．（2023秋·安徽合肥·高三校考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 恰好有两个极值点，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
13．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）设函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有极值，求实数a的取值范围.
14．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，设函数 SKIPIF 1 < 0 的两个极值点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
15．（2023秋·河南开封·高三统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，求a的取值范围．
16．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极值点，求a；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的零点和极值点，当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个极值点，求 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 有零点，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线与 SKIPIF 1 < 0 轴平行，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2) SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ，比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间；
(2)设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在极值，求a的取值范围.