新高考数学二轮复习巩固练习13 导数解答题之双变量问题（2份打包，原卷版+解析版）

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1、破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果；
四是主元法.
【典型例题】
例1．（2023·上海·高三专题练习）已知函数，其中为自然对数的底数，约为.
(1)求函数的极小值；
(2)若实数满足且，证明：.
【解析】（1）由题意可知，.
令，则，解得，
当时，，
当时，，
所以在上递减，在上递增.
所以当时，函数取得极小值为.
（2）若，则显然成立；
若，令，因为.
当时，单调递增；当时，单调递减；
，
令，
则
.
令，
则.
令，则，
所以，即，
所以在时递增，从而，即，
所以在时递减，所以，
从而，
所以，
所以，即.
例2．（2023·上海·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)当，求函数的最大值；
(3)若函数在定义域内有两个不相等的零点，证明：.
【解析】（1）当时，，
，，切线方程为：.
（2），
①当时，，在[1，2]单调递减，
②当时，
在单调递增，
③当时，，
（i）当即时，
在单调递减，上递增
（ii）当即时，
在单调递减，，
综上：.
（3）证明：要证，
只需证，
只需证，
因为，，
两式相减得：.
整理得.
所以只需证，
即证，
即，不妨设，令，
只需证，
只需证，
设，
只需证当时，即可.
，
在单调递减，
当时，，
在单调递增，当时，
原不等式得证.
例3．（2023·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）已知函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求的取值范围；
(3)证明：当时，．
【解析】（1）当时, ,
,故，
所以在处的切线方程为，即.
（2）由题意得，
由当时，恒成立，而，即时函数取得最小值，
由于 ，，
故，
当时，，等号仅会在时取得，则，
此时当时，递增，且；
下面证明只有时，当时，恒成立.
因为，所以，
只需证明恒成立；
设，
令，仅在时取得等号，
故单调递增，则，
故单调递增，
所以，即此时当时，恒成立.
当时，，
则，令，
则，在上为增函数，
且，，
故存在使得，
则时，，则递减，
且，
即在上递减，
而，则当时，，与题设矛盾，
故当时，不合题意，
综合上述可知：.
（3）当时，令 ，则，即 ，
故要证明当时，，
只需证明：，
令 ，则，
故需证明：，
令 ，则需证：恒成立，
由（2）知恒成立，即恒成立，
故当时，.
例4．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知，记的导函数为．
(1)讨论的单调性；
(2)若有三个零点，且，证明：．
【解析】（1）由题意知：定义域为，，
即，；
令，则；
①当，即时，恒成立，即恒成立，
在上单调递增；
②当，即或时，令，解得：；
当时，，在上恒成立，即恒成立，
在上单调递增；
当时，，
当时，，即；当时，，即；
在上单调递增，，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，，在上单调递减.
（2）若有三个零点，则由（1）知：，
又，，
，，；
，，
又，；
要证，只需证，即证；
由得：，即，
即证，又，只需证；
令，则，
在上单调递增，，
即当时，恒成立，
，，则原不等式得证.
例5．（2023·浙江·高三校联考期末）已知函数．
(1)若，求的值；
(2)证明：．
【解析】（1）设，则，
，令，可得，
令，其中，则，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，.
①当时，，则且不恒为零，
所以，函数在上单调递减，
所以，当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以，，即；
②当时，，则，
所以，函数在上单调递减，
因为，，
此时，存在，使得，且当，，单调递减，
所以，，不合乎题意；
③当时，，
因为，，
由于函数在上单调递减，故存在，使得当时，，
此时，，则函数在上单调递增，
故当时，，单调递增，
所以，，不合乎题意.
综上所述，若，.
（2）证明：设，则，
，令，可得.
当时，设，
则，
设，则，
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，当时，，
因为当时，且，此时，
当时，，此时也有，
所以，当时，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，当时，，所以，，
所以，，故原不等式得证.
例6．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知直线l与曲线相切于点．证明：
(1)l与曲线恰存在两个公共点 ；
(2) ．
【解析】（1） ，所以在 处的切线方程为 ，
令，则原问题转化为 存在2个零点： ，并且 ，
令，则 ，
显然 在递增，递减， ， ， ，故存在唯一的，
使得 在递减，递增，递减，
并且 ，
， ，
，
，下面证明 ：
令 ，则 ， ，则 ，由于 ，即 ，
考察函数 ，则 ，当 时单调递减， 时单调递增， ，并且当 时， ， 的图像大致如下图：
下面证明极值点偏移问题：令 ，
， ， ，
是减函数， ， ，即 ，
，
由于 ， 的大致图像如下图：
故存在 ，并且只有当 时，，当 时 ；
（2）先证明 ，即 ，
由（1）的结论知，只需证明，即，
即 ，整理，只需 ，
令，即证 ，即，
在递增 ，得证．
由均值不等式： ，故．
例7．（2023·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)若为方程的两个不相等的实根，证明：
（i）；
（ii）.
【解析】（1），，又，
所求切线方程为：，即.
（2）（i）令，则定义域为，，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；，
即，，即；
（ii）令，则，
令，则，
在上单调递增，又，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
，即；
不妨设，
与的交点为，；与的交点为，
由图象可知：，；
.
例8．（2023·河北邯郸·高三统考期末）已知函数（其中e为自然对数的底数）.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)已知是的极大值点，若，且.证明：.
【解析】（1），
则，
则曲线在处的切线的斜率为，
，则切点坐标为，
则曲线在处的切线方程为，
整理得：；
（2），
则，
设，
则，
则当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
则，
则，
，，
则存在，使得，即，
，则当时，，
则在上单调递减，
，则，
则要证明，即证明，
即，
在上单调递减，且，且，
，
，，
则要证明，即证明，
，
证明即可，
令，
则，
，
，
，
则在单调递增，
则，
则，
即证得.
例9．（2023·江苏无锡·高三统考期末）已知函数．
(1)若有两个零点，求a的取值范围；
(2)若方程有两个实数根，且，证明：．
【解析】（1）．
当时，，在R上单调递增，不可能有两个零点；
当时，令且在上单调递减，在上单调递增，
要使有两个零点，首先必有，
当时，注意到，，，
∴在和上各有一个零点符合条件．
综上：实数a的取值范围为．
（2）由有两个实根，不妨设，
∴令，
∴有两个实根，，故，
要证：，
只需证：，
由，结合①知
①②得：，
要证：，即证：，
而由可得：，
下证：，，
即证，，
令，则，
令，，
在上恒成立，
故在上单调递增，
故，
所以，解得：，证毕.
【过关测试】
1．（2023·浙江绍兴·高三期末）已知函数．
(1)若，记的最小值为m，求证：．
(2)方程有两个不同的实根，且，求证：．
【解析】（1）若，，，
设，，
在上单调递增，即在上单调递增，又，，
使，
时，，单调递减，时，，单调递增．
，
函数在上单调递减，.
（2）设，当，有，
设，则存在两个不相等的实根，且
，
要证，只要证：，只要证：
设，，
要证：，只要证：，只要证：
设，则，
设，
单调递增，，在上单调递增，
，，在上单调递增
，得证．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
2．（2023·浙江·高三期末）已知函数．
(1)证明：函数在区间上有2个零点；
(2)若函数有两个极值点：，且．求证：（其中为自然对数的底数）.
【解析】（1）记函数，由，
则，所以函数在区间上单调递减，
又．根据零点存在定理，
存在时，，
即函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
而，，
所以函数在区间上有一个零点，在区间上有一个零点，
故函数在区间上有2个零点．
（2）由函数有两个极值点，
则时，方程有两个不等实根．记，则，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
因此有极大值，且时，时，，
于是，且．
先证明，只要证，即证，
设，
则，因为，所以，
即函数在区间上单调递增，于是，
所以．
再证明．
先证当时，；当时，．
设，则，
于是，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因此，所以函数在区间上单调递增，而，
即当时，；当时，，
于是，当时，；
当时，，
设方程的两个根为，则，
即方程的两个根为，
于是
故．
3．（2023·河南三门峡·高三统考期末）已知函数与函数有相同的极值点与极值.
(1)求a，b；
(2)若方程与分别有两个解p，q（）和r，s（）.
①分别用p，q表示出r，s；
②求证：.
【解析】（1）由的定义域为，，
得，得，得，
所以在单调递减，在单调递增，故在处取得极小值，且，
由，由题意可得，，，解得，.
（2）①由（1）知，，且在单调递减，在单调递增，
所以，，，.
且，，，，
又可化为，，
即是的解，同理也是它的解，所以，.
②由①知，证明即证，
令，则，，
则，所以在上单调递减，
因为，所以，即，因为，
所以，由在单调递增，
所以，，
即.
4．（2023·河北石家庄·高三统考期末）已知函数.
(1)设，若在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)设，若存在正实数，满足，证明：.
【解析】（1），，；
①当时，恒成立，在上单调递减，
，满足题意；
②当时，恒成立，在上单调递增，
，不合题意；
③当时，当时，单调递减，又，，
在上存在唯一零点，使得，
则当时，，
在上单调递增，此时，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
（2）由题意知：，
则，
整理可得：，
不妨设，
由（1）可知：当时，在上单调递减，
则当时，有成立，
即，整理可得：，
，
则，
要证：，只需证：即可，
即证：，
设，令，则，
在上单调递增，，
，则原不等式得证.
5．（2023·河北唐山·高三统考期末）已知函数.
(1)求的极值；
(2)若，证明:函数有两个零点，且.
【解析】（1）的定义域为，
，
在区间递减；
在区间递增.
所以的极小值是，无极大值.
（2）由（1）知至多有两个零点，且，
构造函数，
所以在区间递减；在区间递增，
所以当时，取得最小值，所以，
所以当时，，
则，
故存在一个零点.
由于，所以，
所以，
故存在另一个零点.
由得，故，
，，要证，
只需证，即证，即证，
构造函数，
，
由于，所以，
而（当且仅当时等号成立），
所以在区间上单调递增，
所以，则，
因此.
6．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）已知函数，．
(1)若的最值和的最值相等，求m的值；
(2)证明：若函数有两个零点，，则．
【解析】（1）对函数求导可得：，令，可得：，
所以函数在上递增，在上递减，
则，又，所以，，
令，可得：，所以函数在单调递减，在单调递增，
则，
由题意可知：，，
所以m的值为．
（2）若有两个零点，，不妨设，
，设，，
由，得，
因为函数是增函数，所以，
则，设，则，，
欲证，即证，即证，
只需证（*）
设，，
，在上，，单调递减，
所以，所以，
令即得（*）成立，
从而，命题得证．
7．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知函数，为函数的导函数
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，若，，且，证明：.
【解析】（1）因为定义域为，
则，即，
所以，
当时恒成立，所以在上单调递增，
当时，令解得，令解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上可得，当时在上单调递增，
当时在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：当时，
所以，，
所以，
令，则，所以当时，当时，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，所以在上单调递增，
不妨设，因为，所以有①或②两种情况，
当①时，因为在上单调递增，
所以，所以，
当②时，由，得，所以，
则，
由，所以，
令，，
则，
所以，即在上单调递减，且当趋向于1时趋向于0，则，
所以，则，即，
综上可得当，，且时，.
8．（2023·江西吉安·高三统考期末）已知函数，.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，是的两个不同零点，证明：.
【解析】（1）当时，，
，，，
曲线在处的切线方程为，即；
（2）令，可得，
令，，设函数与相切于，
由、、可得，，，
，的大致图象如下，
当时，与有两个不同的交点，
即有两个零点，所以的取值范围为，
，当时，，在上递增，
当时，，在上递减，
要证，只要证，
不妨设，由，则，
构造函数，
，
∵，∴，∴在是递增，
又，∴，∴，
∴，又，∴，
而，，在上递减，∴，即，
∴.
9．（2023·天津南开·高三崇化中学校考期末）已知函数．
(1)若实数，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)设，若且，使得，证明：．
【解析】（1）时，，，
，所以切线的斜率为，
切线方程为即.
（2）的定义域为，，
若，则恒成立，则在单调递增，
若，令解得，令解得，
所以则在单调递减，单调递增.
（3）
由题知，且，不妨设，使得
所以
整理得
令
所以在单调递增，
又因为，所以
所以
所以
因为，所以，即，
所以，
下面证明，即证，
设，即证明，只需证明，
设则，
所以在单调递增，
所以所以，
所以，即.
10．（2023·江西·高三校联考期末）已知函数（是自然对数的底数）有两个零点.
(1)求实数的取值范围：
(2)若的两个零点分别为，证明：
【解析】（1）的定义域为.
由题意可得，有2个零点，
令，则在时恒成立，故在上单调递增，
所以有2个零点可转化为有2个零点，
因为，由可得，由可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
若，则，此时恒成立，函数没有零点，
若，则，函数有且仅有一个零点，
若，则，因为，所以在上恰有一个零点，
令，则，
令，则，故为增函数，
所以，即，故为增函数，
所以，即，所以，所以，
所以在上恰有1个零点，
故 在和上各有1个零点，符合题意.
综上所述，的取值范围为.
（2）由（1）可知，有两个零点，设为和，则，，
要证，只要证，即证，即证，
又，，所以，，
所以，只要证，
设，令，，所以只要证，即证，
令，，则，
所以在上为增函数，∴，
即当时，，所以，
即，故.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)讨论的单调区间；
(2)当时，证明．
【解析】（1）函数的定义域为，，
当时，，此时函数的减区间为，无增区间；
当时，由可得，由可得，
此时函数的减区间为，增区间为；
当时，由可得，由可得，
此时函数的增区间为，减区间为.
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的减区间为，增区间为；
当时，函数的增区间为，减区间为.
（2）证明：设函数，其中，则，
当时，，所以
由（1）可知，函数在上为增函数，
故当时，，则，
所以，函数在上为减函数，
因为，则，即，
所以，，即.
12．（2023·山东菏泽·高三统考期末）已知函数，．
(1)证明：存在唯一零点；
(2)设，若存在，使得，证明：．
【解析】（1）由题意可得，
记，则，
因为时，恒成立，所以在上单调递增，
因为，所以在上恒小于0，在上恒大于0，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以有唯一零点0．
（2）由可得，
若是方程的根，则是方程的根，
因为，都单调递增，
所以，，
设，，
所以的解为，的解为，
所以在上递减，在上递增，
所以的最小值为，即的最小值为．
故原不等式成立.
13．（2023·全国·高三专题练习）设，.
(1)设，讨论函数的单调性；
(2)若函数在有两个零点，，证明：.
【解析】（1），，
时，，当时，是单调递增函数，
当时，，是单调递减函数；
时，令，得，
当，即时，
当或时，，是单调增函数，
当时，，是单调递减函数，
当，即时，
当或时，，是单调增函数，
当时，是单调递减函数，
当，即时，，在上是单调增函数，
综上所述：时，在是单调递增函数，在上是单调递减函数；
时，在，上是单调增函数， 在是单调递减函数，
时，在， 上是单调增函数， 在是单调递减函数，
时，在上是单调增函数.
（2）令，因为，所以，
令， ，所以有
， ①
不妨设，令，则，，
代入①得：，反解出：，则，
故要证即证，又因为，
等价于证明：，
构造函数，
则，，
故在上单调递增，，
从而在上单调递增，.
即.
14．（2023·四川成都·高三树德中学校考期末）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设是两个不相等的正数，且，证明：.
【解析】（1）的定义域为，
，
令，得：，
当变化时的关系如下表：
在上单调递减；在上单调递增.
（2）证明：要证，
只需证：
根据，只需证：
不妨设，由得：；
两边取指数，，化简得：
令：，则，
根据（1）得在上单调递减；
在上单调递增（如下图所示），
由于在上单调递减，在上单调递增，
要使且，
则必有，即
由得：.
要证，只需证：，
由于在上单调递增，要证：，
只需证：，
又，只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
即证，
令，
只需证：，
，
令，
在上单调递减，
所以，
所以
所以在上单调递减，所以
所以
所以：.
15．（2023·安徽马鞍山·统考一模）设函数.
(1)若对恒成立，求实数的取值范围；
(2)已知方程有两个不同的根、，求证：，其中为自然对数的底数.
【解析】（1）由，得.
令，，则，
令，则.
所以，函数在上单增，故.
①当时，则，所以在上单增，，
此时对恒成立，符合题意；
②当时，，，
故存在使得，
当时，，则单调递减，此时，不符合题意.
综上，实数的取值范围.
（2）证明：由（1）中结论，取，有，即.
不妨设，，则，整理得.
于是，
即.
16．（2023·江苏·高三统考期末）已知函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个零点，求的范围，并证明
【解析】（1）的定义域为，
当时，，导函数，
令，得或；
令，得且；
所以的单调增区间为和，单调减区间为和；
（2）当时，只有1个零点，不符合题意；
当时，若，则；若，则，不符合题意，所以.
当时，，所以在和均单调递增.
当时，由，
，
所以在上有一个零点；
当，同理，
所以在上有一个零点，所以的范围是，
因为的两个零点为，
所以，即，所以，
同理，，
所以，
若，即，
则，
所以的两个零点互为倒数，即，
所以（等号不成立），所以，
所以，
所以得证.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设曲线在点处的切线方程为.
(1)证明：对定义域内任意，都有；
(2)当时，关于的方程有两个不等的实数根，证明：.
【解析】（1）证明：，，
又，；
令，
在上单调递增，且，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，恒成立，所以恒成立.
（2）证明：当时，，则，
显然在定义域内单调递增，而，，
存在，使，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，令，解得或，
由（1）（2）可知在处的切线方程为，
且恒成立，同理可得在处的切线方程为，
令，
当时，，，当时，，
恒成立，即恒成立.
设函数在两个零点处的切线方程与直线的交点的横坐标分别为和，
不妨设，则，，
令，解得，，
得证.
18．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，证明：对任意，，．
【解析】（1）当时，，，切点为
求导，切线斜率
曲线在处的切线方程为．
（2），的定义域为，求导，
在上单调递减．
不妨假设，∴等价于 ．
即．
令，则．
，，．
从而在单调减少，故，即，
故对任意 ．
19．（2023·四川·校联考一模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，证明：.
【解析】（1），有，
所以，，所以切点坐标为，切线斜率为1，
因此在点处的切线方程为，即
（2）证明：因为，所以
由于，
等价于，令，
设函数
当时，，所以，
所以在上是单调递增函数，又，
所以 ，
所以，即
等价于，
令，
设函数
当时，，所以，
所以在上是单调递减函数，又，
所以
所以，即
综上①②可得：.
2.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
20．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）设函数.
(1)讨论的单调性；
(2)时， 若， 求证：.
【解析】（1）因为，
所以
令，
则，
令，得，
当时，，则在单调递减；
当时，，则在单调递增；
所以，
当时，，
即， 则在上单调递增；
当时，，
易知当趋于时，趋于，
当趋于时，趋于，
由零点存在性定理知， ， 不妨设， 使得，
当 时，， 即，
当 时，， 即
当 时，， 即
所以 在和上单调递增， 在单调递减；
综上所述：当 时，在上单调递增；
当 时，在和上单调递增， 在单调递减；
（2）证明： 构造函数，
+ -2，，
整理得 ，
，
(当时等号成立)，
所以在上单调递增， 则，
所以在上单调递增，，
这里不妨设， 欲证，
即证,
由 (1) 知时，在上单调递增，
则需证，
由已知，
所以有，
只需证，
即证 ，
由在上单调递增， 且时，
有，
故 成立，
从而，得证.
21．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)记的零点为（），的极值点为，证明：.
【解析】（1）记，
①当时，取，不符条件；
②当时，，
令，
∴在单调递减，在单调递增，
所以，即，
则的取值范围为；
（2）∵，
令，
则，
且，
令，
∴在单调递增，在单调递减，
且，
∴，
取，则，
∴，
取，
则，
记，
在中，，
∴在单调递增，
∴，
即
∵
∴
从而.
22．（2023·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知函数，为常数，
(1)若函数在原点的切线与函数的图象也相切，求b；
(2)当时，，使成立，求M的最大值；
(3)若函数的图象与x轴有两个不同的交点，且，证明：
【解析】（1）由，所以，
所以函数在原点的切线方程为：，
将该切线方程代入可得：，
依据题意可得或，
所以或；
（2）当时，，
，当时，，
所以在单调递增，则，
由题可知：使得成立等价于，
所以，
所以的最大值为；
（3）由题可知：，
所以两式相减可得：，
由，所以，
所以，
由，要证，即证，
即，
令，所以即证明：，
令，所以，
当时，，所以在单调递减，
所以，
所以.
23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若单调递增，求a的取值范围；
(2)若有两个极值点，其中，求证：．
【解析】（1）由得，
由单调递增，则，得，
设，则，
可知时，，单调递增；时，﹐单调递减，则时，取得极大值，也即为最大值，则．
所以，a的取值范围是．
（2）由题，函数有两个极值点，则即有两个不相等实数根，
由（1），可知时，取得极大值，且时，时，故有两个不等实根时，且．
过点与的直线方程为，
构造函数，，
令，则，
则时，，即单调递减；时，，即单调递增，所以时，极小值为，
所以时，，则，
即，故当时，，
设方程根为，则．构造函数，
设，
可知时，则，
所以时，，
设方程解为，则．
于是有，如图，
所以，证毕．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)试比较与的大小，并说明理由；
(2)若函数有两个不同的零点，证明：.
【解析】（1）由题可知：，
，而直线的斜率，
所以有，解得：或，
又因为函数在处有意义，所以，故，
所以，，
时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
即，
即有，
所以.
（2）不妨设，
所以有，
化简得
即，，
要证，即证，
即证，因为，
所以即证：，
即，
设，因为，所以，
即证 ()
设()，
，
所以函数在上单调递增，
所以，即，
即，即.
25．（2023·全国·高三专题练习）已知为自然对数的底数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个不同零点，求证：.
【解析】（1）由题可得，
当时，，当时，；
所以当时，在上是增函数，在上是减函数；
当时，在上是减函数，在上是增函数；
（2）因为有两个不同零点，，则，，
因此，即，
要证，只要证明，即证，
不妨设，记，则，，
因此只要证明，即，
记，则，
令，则，
所以函数在上递增，
则，即，
∴在上单调递增，
∴，
即成立，
∴.
26．（2023·四川·校联考模拟预测）设m为实数，函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，直线是曲线的切线，求的最小值；
(3)若方程有两个实数根，，证明：．
【解析】（1），函数定义域为，
，
当时，在上恒成立，函数在上单调递增；
当时，，解得，函数在上单调递增；，解得，函数在上单调递减．
（2）当时，，
设切点为，，则切线斜率，
切线方程为，，
，，，
令，函数定义域为，，
，；，
在上单调递减，在上单调递增，
，即的最小值为
（3）证明：，即，则，
令，函数定义域为，，
，；，
∴在上单调递增，在上单调递减，，
，不妨设，，
令，，所以，，，
要证，只要证，只要证，
令，，
，
，；，
在上单调递减，在上单调递增，
，，（1），则存在，使得，
在上单调递增，在上单调递减，在，上单调递增，
，，
在上恒成立，
得证．
1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．
2.研究函数的最值则要注意区分函数最值与极值的区别.
3.导数的几何意义是:导函数在切点处的函数值就是切线的斜率.
4.证明不等式时,根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，有着非凡的功效.
27．（2023·全国·高三专题练习）设函数（​为常数）.
(1)讨论​的单调性；
(2)若函数​有两个不相同的零点​， 证明:​.
【解析】（1）由（），
得，
令，则，
所以在上单调递增，
因为，
所以当时，，当时，，
所以​在​上单调递减，​上单调递增.
（2）由（1）的结论，不妨设​.
又​均​，
只需证​.
构造函数​.
则，
因为，所以，
所以，
所以
，
当且仅当时取等号，而，所以取不到等号，
所以，
所以在上单递增，
所以，
所以​恒成立，结论得证.
28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个不同的零点，.
(1)当时，求证：；
(2)求实数a的取值范围；
(3)求证：.
【解析】（1）令，则，
当时，，得在上单调递减，
所以，所以.
（2）
当a≥0时，， 此时为增函数，不合题意;
当时，， 得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
如果有两个不同的零点，必有，
则，得，所以.
此时，又此时，
故在有一个零点；
由（1）知，时，，令，
解得，故当时，，故当时，，故在上有一个零点，(利用当时，也可以)；
所以有两个不同的零点时，；
（3）令，则，
令，
，
因为在上均单调递减，
所以在上单调递减，，
则在上单调递增，故，则，
所以在上单调递减，由（2）知，
不妨设，则，
即，
又，
所以有，又，
则，得，
则，
可得，即.
29．（2023·山西·高三校联考期末）已知函数，其中为非零实数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个极值点，且，证明：.
【解析】（1）函数的定义域为，
则，
①当即时，，函数在上单调递增；
②当即时，令，得，
则当时，，
当时，，
故在和上单调递增，在上单调递减；
③当时，，舍去.
则当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）证明：因为有两个极值点，由（1）知当时，，
所以且，，
因为，所以，所以，，
要证，
，
，
令，
则，
所以在上单调递增，且，
故，即.
0
1
无意义
0
无意义