新高考数学二轮复习巩固练习19 圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究（2份打包，原卷版+解析版）

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1、直线与圆锥曲线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程的形式；
②利用 SKIPIF 1 < 0 求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.
2、定比点差法
3、非对称韦达与对称韦达
4、先猜后证
5、硬解坐标
【典型例题】
例1．（2023·江西赣州·一模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 ，点A，B在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，点N在直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试问 SKIPIF 1 < 0 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
例2．（2023·河北邯郸·高三统考期末）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距为2且过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线E： SKIPIF 1 < 0 的离心率为2，左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线E右支上异于其顶点的动点，过点A作圆C： SKIPIF 1 < 0 的一条切线AM，切点为M，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线左支交于点B，双曲线的右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 AD， BD分别与圆C相交，交点分别为异于点D的点P，Q．判断弦PQ是否过定点，如果过定点，求出定点，如果不过定点，说明理由．
例4．（2023·山西·统考一模）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明直线 SKIPIF 1 < 0 过定点.
例5．（2023·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
（ⅰ）设点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，且直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（ⅱ）连接 SKIPIF 1 < 0 交圆 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，射线 SKIPIF 1 < 0 上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为定值，已知点 SKIPIF 1 < 0 在定直线上，求 SKIPIF 1 < 0 所在定直线方程.
例6．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 （a＞b＞0），左顶点为A，上顶点为B，且 SKIPIF 1 < 0 ，过右焦点F作直线l，当直线l过点B时，斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求C的方程；
(2)若l交C于P，Q两点，在l上存在一点M，且 SKIPIF 1 < 0 ，则在平面内是否存在两个定点，使得点M到这两个定点的距离之和为定值？若存在，求出这两个定点及定值；若不存在，请说明理由．
例7．（2023·河南郑州·高三校联考期末）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过右焦点且与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程．
(2)若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 轴，探究：直线 SKIPIF 1 < 0 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
例8．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点 SKIPIF 1 < 0 不是左右顶点），且 SKIPIF 1 < 0 .求证：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点，并求出该定点的坐标.
【过关测试】
1．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知一动点C与定点 SKIPIF 1 < 0 的距离与C到定直线l： SKIPIF 1 < 0 的距离之比为常数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)过点F做一条不垂直于y轴的直线，与动点C的轨迹交于M，N两点，在直线l上有一点 SKIPIF 1 < 0 ，记直线PM，PF，PN的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 为定值.
2．（2023·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知圆 SKIPIF 1 < 0 和定点 SKIPIF 1 < 0 P是圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点M，设动点M的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线l交曲线E于M，N两点(点M在x轴上方)，设直线AM与BN的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值．
3．（2023春·广东汕头·高三统考开学考试）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且经过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 恒过某定点，并求出该定点.
4．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）如图，椭圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 ，已知圆 SKIPIF 1 < 0 将椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴三等分，椭圆 SKIPIF 1 < 0 右焦点到右顶点的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于点A，B．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 分别与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于另一个交点为点P，M．求证：直线 SKIPIF 1 < 0 经过定点．
5．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知A，B分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点，M为双曲线E上异于A、B的任意一点，直线MA、MB斜率乘积为 SKIPIF 1 < 0 ，焦距为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线E的方程；
(2)P为直线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，若直线PA与E的另一交点为C，直线PB与E的另一交点为D．证明：直线CD过定点．
6．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为F，P，Q分别为右顶点和上顶点，O为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 （e为椭圆的离心率）， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求E的方程；
(2)设四边形 SKIPIF 1 < 0 是椭圆E的内接四边形，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角互补，且交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于定点．
7．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作两条斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交椭圆于点A、B、C、D，点M、N分别为线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，试判断直线 SKIPIF 1 < 0 是否经过定点，并说明理由．
8．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0 ，P为椭圆上一点， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆的左、右焦点，若 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)求椭圆E的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，M，N为椭圆上不同的两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明椭圆上存在定点Q使得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形．
9．（2023·贵州铜仁·高三统考期末）平面内定点 SKIPIF 1 < 0 ，定直线 SKIPIF 1 < 0 ，P为平面内一动点，作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为Q，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)过点F与坐标轴不垂直的直线交动点P的轨迹于A，B两点，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交x轴于点R，试判断 SKIPIF 1 < 0 是否为定值．
10．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 的长轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 为定值；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
11．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，过 SKIPIF 1 < 0 的两条直线分别交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和，并求出该定值．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设D为双曲线C的右顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过点D，且 SKIPIF 1 < 0 于点G，证明：存在定点H，使 SKIPIF 1 < 0 为定值．
13．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为F，双曲线C上一点 SKIPIF 1 < 0 关于原点的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与坐标轴不垂直，且不过点 SKIPIF 1 < 0 及点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 关于原点的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为定值.
14．（2023·山西长治·高三校联考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，其右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，焦距为4，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且当直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 时，恰好与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有一个交点.
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，判断 SKIPIF 1 < 0 是否为常数，并给出理由.
15．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与其相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为双曲线实轴的两个端点，若过F的直线l与双曲线C交于M，N两点，试探究直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
16．（2023·浙江·高三校联考期末）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线过点P SKIPIF 1 < 0 ，交C于A，B两点，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求C的方程；
(2)设C在A，B处的切线交于点Q，证明 SKIPIF 1 < 0 ．
17．（2023·重庆·高三统考学业考试）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于M，N两点，交y轴于P点，点N位于点M和点P之间.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线l的斜率；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 为定值.
18．（2023·江苏南通·高三统考期末）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)动直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是抛物线上异于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的一点，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为非零的常数.
从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
① SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 .
19．（2023·湖北武汉·高三统考期末）如图，在平面直角坐标系，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别： SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点.设点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 为长轴 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，求椭圆方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 （不与 SKIPIF 1 < 0 轴重合）过点 SKIPIF 1 < 0 且与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，延长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请将 SKIPIF 1 < 0 表示成关于 SKIPIF 1 < 0 的函数，即 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值域.
20．（2023·江苏·高三统考期末）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 （与 SKIPIF 1 < 0 轴不重合）交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，且当 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的上顶点时， SKIPIF 1 < 0 的周长为8，面积为 SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的右顶点，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值.